實(shí)驗(yàn)

讓數(shù)學(xué)更有趣

一、問題背景

園外樂木課堂上，有一塊木塊零料形狀如圖（左下角），我們要從中裁出一塊平行四邊形木塊（做七巧板），并使四個(gè)頂點(diǎn)分別落在原木塊的四條邊上，可以如何裁？

二、實(shí)踐操作

學(xué)生們在掌握了平行四邊形判定的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造兩組對(duì)邊分別平行、一組對(duì)邊平行且相等、兩組對(duì)邊分別相等、對(duì)角線互相平分的四邊形得到平行四邊形。通過大量實(shí)踐操作和繪圖，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)順次連接四邊形的各邊對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)圍成的四邊形是平行四邊形。其中順次連接四邊形各邊中點(diǎn)最易操作！

三、理論探究

1、探索中點(diǎn)四邊形的形狀

定義：中點(diǎn)四邊形（瓦里尼翁平行四邊形）：如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊的中點(diǎn)，順次連接EF、FG、GH、HE得到四邊形EFGH，我們把這種四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。

思考：當(dāng)四邊形ABCD是任意四邊形時(shí)，中點(diǎn)四邊形EFGH是什么圖形？

【證明】連接AC

∵E、F分別為AB和BC中點(diǎn)

∴EF//AC且EF=1/2AC

同理，HG//AC，HG=1/2AC

∴EF//HG，EF=HG

∴四邊形EFGH為平行四邊形

精彩花絮：富有質(zhì)疑精神的小周同學(xué)，提出若將原凸四邊形改成凹四邊形或者折四邊形，中點(diǎn)四邊形是否依然是平行四邊形。同學(xué)們，借助幾何畫板改變原四邊形的形狀，發(fā)現(xiàn)任意四邊形的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形。在操作和觀察的過程中，加深了對(duì)該結(jié)論的認(rèn)識(shí)。  

2、探索特殊平行四邊形的中點(diǎn)四邊形

（1）當(dāng)原四邊形為平行四邊形時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為平行四邊形.

 (2)當(dāng)原四邊形為矩形時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為菱形.

(3)當(dāng)原四邊形為菱形時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為矩形.

（4）當(dāng)原四邊形為正方形時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為正方形.

思考：那么反過來是否成立?或者說若使中點(diǎn)四邊形為菱形、矩形或正方形，原四邊形至少滿足什么條件？

3、幾何畫板驗(yàn)證

利用幾何畫板繪制四邊形ABCD，構(gòu)造四邊形ABCD的“中點(diǎn)四邊形EFGH”,拖動(dòng)四邊形ABCD的任一頂點(diǎn)，觀察“中點(diǎn)四邊形EFGH”的變化，試猜想：當(dāng)四邊形ABCD滿足怎樣條件時(shí)，“中點(diǎn)四邊形EFGH”分別為為矩形、菱形、正方形？說明理由。

歸納：中點(diǎn)四邊形與原四邊形對(duì)角線有關(guān)。

（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。

（2）對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形。

 分析：若AC=BD

∵EH=1/2BD,EF=1/2AC,

∴EH=EF

∴平行四邊形EFGH為菱形。

（3）對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形；

分析：若AC⊥BD,易證∠EFG=90,則平行四邊形EFGH為矩形。

（4）對(duì)角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形。

分析：若AC=BD且AC⊥BD，易證平行四邊形EFGH為正方形。

四、推廣與應(yīng)用

1、中點(diǎn)四邊形的周長

中點(diǎn)四邊形的周長等于原四邊形對(duì)角線之和。

【證明】連接AC、BD

∵四邊形EFGH為平行四邊形

∴四邊形EFGH周長=2EF+2FG=AC+BD

2、中點(diǎn)四邊形的面積

中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的1/2。

(1)【凸四邊形證明】

∵S平行四邊形EFPQ=MN·EF

=1/2BN·1/2AC

=1/2·1/2BN·AC

=1/2S?ABC

同理S平行四邊形HGPQ=1/2S?ADC

∴S平行四邊形EFGH=1/2S?ABC+1/2S?ADC

=1/2S四邊形ABCD

(2)【凹四邊形證明】

∵S平行四邊形EFGH=1/2S?ABC

S平行四邊形HGNM=1/2S?ADC

∴S平行四邊形EFGH=S平行四邊形EFGH

－S平行四邊形HGNM

=1/2S?ABC－1/2S?ADC

=1/2S四邊形ABCD

(3)【折四邊形證明】

引言：在折四邊形ABCD中，我們規(guī)定有向線段AB為正值，則有向線段CD為負(fù)值，則折四邊形ABCD的面積為兩三角形面積之差，即正邊所構(gòu)成的三角形與負(fù)邊所在三角形面積之差。

∵S平行四邊形EFGH=FM·EH

=1/2(MN－NF)·BD

=1/2(1/2AP-1/2CQ)·BD

=1/2(1/2AP·BD-1/2CQ·BD)

=1/2(S?ABD－S?BDC)

=1/2(S?AOB－S?COD)

=1/2S折四邊形ABCD

3、通過已知兩條對(duì)角線繪制特殊平行四邊形

利用中點(diǎn)四邊形與對(duì)角線的關(guān)系，為了得到特殊四邊形，我們可以先使對(duì)角線符合相應(yīng)要求，然后再構(gòu)造原四邊形及原四邊形的中點(diǎn)四邊形。

（1）若對(duì)角線相等,與對(duì)角線位置無關(guān)，可繪制菱形。

（2）若對(duì)角線垂直,與對(duì)角線大小無關(guān)，可繪制矩形。

（3）若對(duì)角線垂直且相等，可繪制正方形。