探索：1. 當(dāng)四邊形對角線互相垂直時，中點四邊形為矩形；

例1. 如圖1，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點，要使EFCH為矩形，四邊形ABCD應(yīng)該具備的條件是（    ）

A. 一組對邊平行而另一組對邊不平行

B. 對角線相等

C. 對角線相互垂直

D. 對角線互相平分

解：選C。

（青島2004年中考題）

證明：連結(jié)BD，∵點E、H分別是AB、AD的中點，∴EH是△ABD的中位線。

∴EH∥BD，，

同理：GF∥BD，。

∴EH∥GF，EH＝GF  ∴四邊形EFGH是平行四邊形。

∵AC⊥BD，AC∥EF，BD∥EH，

∴EF⊥EH，即∠HEF＝90°，

∴平行四邊形EFGH是矩形。

2. 當(dāng)四邊形對角線相等時，中點四邊形為菱形；

例2. 如圖2，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BD、CD、DA的中點，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形EFGH為菱形，并說明理由。（深圳南山區(qū)2004中考題）

解：添加的條件：對角線相等

理由：連結(jié)AC、BD，

∵在△ABC中，AE＝BE，BF＝CF，

∴EF為△ABC的中位線

∴。同理可得

又∵AC＝BD（添加條件），∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH為菱形。

說明：若添加的條件：對角線互相垂直，那么四邊形為矩形；若添加的條件：對角線互相垂直且相等，則四邊形為正方形。

例3. 如圖3，四邊形ABCD中，AC＝6，BD＝8，且AC⊥BD。順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形；再順次連結(jié)四邊形各邊中點，得到四邊形……如此進(jìn)行下去得到四邊形。

（貴陽實驗區(qū)2004中考題）

（1）證明：四邊形是矩形；

（2）寫出四邊形和四邊形的面積；

（3）寫出四邊形的面積；

（4）求四邊形的周長。

（1）證明：∵點、分別是AB、AD的中點，

∴是△ABD的中位線

∴，同理：

∴

∴四邊形是平行四邊形。

∵AC⊥BD，，

∴，即。

∴平行四邊形是矩形

（2）連結(jié)AC，∵順次連結(jié)四邊形ABCD的各邊中點得到四邊形

∴則

同理可得：，

∴四邊形的面積四邊形ABCD的面積

∴四邊形的面積四邊形的面積；

（3）依次類推得：四邊形的面積為；

（4）由（1）得矩形的長為4，寬為3；∵矩形~矩形；

∴可設(shè)矩形的長為4x，寬為3x，則

解得∴矩形的周長

說明：有關(guān)相似多邊形的知識將在今后學(xué)習(xí)。

對例3的再探索：

（1）①當(dāng)n為奇數(shù)次時，四邊形的形狀是矩形；

②當(dāng)為偶數(shù)次時，四邊形的形狀是菱形。

（2）四邊形的面積為原四邊形ABCD的面積；

由例3得矩形的長為4，寬為3；矩形的周長

∵矩形~矩形；

∴可設(shè)矩形的長為4x，寬為3x，則

解得：；∴矩形的長，寬

∴矩形的周長

由上可知：矩形的周長

同理可得：矩形的周長

矩形的周長……因此得：

（3）當(dāng)n為奇數(shù)次時，四邊形的形狀是矩形；其周長的周長

因矩形的長為4，寬為3，由勾股定理得對角線

∴菱形的邊長

則菱形的周長

由矩形的長為2，寬為，那么由勾股定理得對角線

∴菱形的邊長

則菱形的周長

菱形的周長

菱形的周長……

②∴當(dāng)n為偶數(shù)次時，四邊形的形狀是菱形；其周長的周長

例4. O點是△ABC所在平面內(nèi)一動點，連結(jié)OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中點D、E、F、G依次連結(jié)起來，設(shè)DEFG能構(gòu)成四邊形。

（1）如圖當(dāng)O點在△ABC內(nèi)時，求證：四邊形DEFG是平行四邊形。

（2）當(dāng)O點移動到△ABC外時，（1）的結(jié)論是否成立？畫出圖形并說明理由。

（3）若四邊形DEFG為矩形，則O點所在位置應(yīng)滿足什么條件，試說明理由。

證明：（1）（2）略，請同學(xué)們根據(jù)右圖自己寫出證明過程。（3）若四邊形DEFG為矩形，則O點所在位置應(yīng)在過A點且垂直BC的直線上（A點除外）。

理由：如圖過A點作BC的垂線MN交BC于K點。

設(shè)O點是MN上任意一點（A點除外），連結(jié)OB、OC，由（1）得四邊形DEFG是平行四邊形。

在△ABO中，DE∥OA，在△ABC中，DG∥BC，AK⊥BC

∴DE⊥DG，即∠EDG＝90°   ∴平行四邊形DEFG是矩形。

例5. 在四邊形ABCD中，E為邊AB上一點，△ADE和△BCE是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，求證：四邊形PQMN為菱形。

證明：連結(jié)AC、BD。

∵△DAE和△CEB是等邊三角形

∴△AEC≌△DEB（SAS）∴AC＝BD

又∵P、Q、M、N是四邊形各邊中點

∴（三角形中位線定理）

∴PQ＝QM＝MN＝NP，∴四邊形PQMN為菱形。

例6. 如果等腰梯形的兩條對角線垂直，那么它的中位線的長和高相等

已知：在等腰梯形ABCD中，MN是中位線，AE⊥BC。

求證：MN＝AE

證明：取BC、AD的中點G、H，連結(jié)MG、GN、NH、HM

∴（三角形的中位線定理）∴四邊形MGNH是平行四邊形

又∵∴MG＝MH，∴MGNH是菱形

又AC⊥BD，∴∠GMH＝90°

∴菱形MGNH是正方形，MN＝GH，

∴AE＝MN

說明：以上的練習(xí)題中，有中點，可考慮利用中位線定理，構(gòu)造中點四邊形。然后運用中點四邊形是平行四邊形且面積是原四邊形面積的一半的性質(zhì)進(jìn)行探索解題。