最全《平行四邊形、矩形菱形、正方形》計(jì)算類(lèi)典型題匯總

一、平行四邊形中，邊(周長(zhǎng))的計(jì)算

例1：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝10，BD＝8，則AD的取值范圍是_________．

解析：利用平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線(xiàn)互相平分，得AO＝5，DO＝4．借助三角形三邊關(guān)系，AO－DO＜AD＜AO＋DO，則1＜AD＜9

變式：

1.已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是12，AC，BD交于點(diǎn)O，△ABO的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)大1，求AB，BC的長(zhǎng)．

解析：對(duì)照上圖，我們知道AO＝CO，BO為公共邊，則△ABO的周長(zhǎng)與△BOC的周長(zhǎng)之差就是AB與BC之差，設(shè)AB＝x，BC＝x－1，根據(jù)周長(zhǎng)＝12，可得2(x＋x－1)＝12，x＝3.5，AB＝3.5，BC＝2.5

例2：如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為16，AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AC于O，則△BCE的周長(zhǎng)為_(kāi)________．

解析：由OE⊥BD，BO＝DO，可知OE垂直平分BD，則BE＝DE，C△BCE＝BC＋CE＋BE＝ BC＋CE＋DE＝BC＋CD＝8

變式：如圖，EF過(guò)平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O，分別交AD于E，交BC于點(diǎn)F，若OE＝5，四邊形CDEF的周長(zhǎng)為25，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．

解析：首先，可證△AEO≌△CFO，則OE＝OF．

(事實(shí)上，經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)稱(chēng)中心的線(xiàn)段，既平分平行四邊形的周長(zhǎng)，也平分面積．)

EF＝2OE＝10，AE＝CF，C四邊形CDEF＝CD＋DE＋CF＋EF＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD＋DA＋EF＝25

CD＋DA＝15，C平行四邊形ABCD＝30

例3：在平行四邊形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分線(xiàn)分別交BC于E、F，EF＝3，則AB＝__________．

解析：

本題是典型的易錯(cuò)題，極易漏解，我們應(yīng)該想到，AE，DF必然相交，且?jiàn)A角為90°，但交點(diǎn)可以在平行四邊形內(nèi)，也可在形外．故而要分類(lèi)討論．

同時(shí)，這里面隱藏著一個(gè)常見(jiàn)的基本模型，平行＋角平分，構(gòu)造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形，且腰相同，AB＝BE＝DC＝CF．

如圖，當(dāng)AE，DF交于形內(nèi)，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7

如圖，當(dāng)AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4

綜上，AB＝7或4

變式：

1.平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32， ∠ABC的角平分線(xiàn)交邊AD所在直線(xiàn)于點(diǎn)E，且AE：ED＝3：2，則AB＝______．

解析：看到'所在直線(xiàn)' 這樣的字眼，第一時(shí)間應(yīng)該想到兩解了吧．

如圖，AD＜AB，則E在AD延長(zhǎng)線(xiàn)上，AE＝AB，

∵AE：ED＝3：2，

∴AE：AD＝3：1，AB：AD＝3：1，

設(shè)AD＝x，AB＝3x，3x＋x＝16，

x＝4，AB＝3x＝12．

如圖，AD＞AB，則E在AD上，AE＝AB，

∵AE：ED＝3：2，

∴AE：AD＝3：5，AB：AD＝3：5，

設(shè)AB＝3x，AD＝5x，3x＋5x＝16，

x＝2，AB＝3x＝6．

綜上，AB＝6或12.

二、平行四邊形面積類(lèi)問(wèn)題

例1：平行四邊形ABCD中， DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝2，DF＝3，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是30，求其面積．

解析：本題其實(shí)早在小學(xué)階段，可能就有同學(xué)做過(guò)，知道平行四邊形周長(zhǎng)，則知道了鄰邊之和為其一半，有了2條高，自然想到面積，用等積法解決．

如圖，設(shè)AB＝x，BC＝15－x，

2x＝3(15－x)，x＝9，S＝2x＝18

例2：如圖，M、N是平行四邊形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)， 連接MN、MC，若陰影四邊形的面積為10，則圖中空白部分的面積是____________．

解析：面對(duì)一般四邊形的面積問(wèn)題，我們通常轉(zhuǎn)化為熟悉的平行四邊形求面積，或者將四邊形分割成2個(gè)小三角形，分別求面積，再求和．

本題顯然不能轉(zhuǎn)化，嘗試分割，若連接NC，則△NMC的面積不好求，所以連接MD．

例3：

解析：初次拿到這樣的題目，很難下手，沒(méi)有具體的底邊和高長(zhǎng)，我們求不出各圖形的面積，但既然平行四邊形對(duì)邊平行，我們不妨過(guò)點(diǎn)P再作一次平行．

如圖，過(guò)點(diǎn)P作EF∥AD，則EF∥BC，四邊形AEFD，四邊形EBCF均為平行四邊形．

本題重要結(jié)論：S1＋S3＝S2＋S4

三、矩形正方形線(xiàn)段和的計(jì)算、菱形中面積，最值類(lèi)問(wèn)題

例1：在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC邊上的一點(diǎn)，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．

解析：拿到題目，有些同學(xué)立刻反應(yīng)，說(shuō)是'將軍飲馬'問(wèn)題，但這里是求值，是定值，而將軍飲馬屬于求最值問(wèn)題．PE，PF分別是高，則想到面積，這才應(yīng)該是第一反應(yīng)．

如圖，連接OP

變式：

1.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為10，P是BC邊上的一點(diǎn)， PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．

解析：

本題同樣也能用上題思路，

PE＋PF＝BO＝5，

也能證明四邊形EPFO是矩形，

PF＝EO，∠EBP＝∠EPB＝45°，

則BE＝PE，

PE＋PF＝BE＋EO＝BO＝5

例2：已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，面積為20，求對(duì)角線(xiàn)AC，BD的長(zhǎng)．

解析：由周長(zhǎng)為20，我們可以知道，邊長(zhǎng)是5，由面積是20，我們可以知道對(duì)角線(xiàn)乘積的一半是20，因此，不妨設(shè)AC＝2x，BD＝2y，x＞y，

例3：如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則PM＋PN的最小值是________．

解析：這才是標(biāo)準(zhǔn)的將軍飲馬問(wèn)題，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，則PM＋PN＝P M'＋PN≥M'N(當(dāng)M'，P，N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)可取等號(hào))，則最小值即為M'N＝5

變式：

1.如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P、N是AC，BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，則PM＋PN的最小值是________．

解析：變成了一定(點(diǎn)M)一動(dòng)問(wèn)題(點(diǎn)N)，方法與之前一致，確定AD邊上的點(diǎn)M'，則當(dāng)M'N⊥BC時(shí)，M'N最短，過(guò)點(diǎn)M'作M'Q⊥BC，利用面積法，S菱形ABCD＝24，BC＝5，M'Q＝4.8，PM＋PN的最小值是4.8