接下來(lái)，我們將用一些篇幅來(lái)講平行線分線段成比例定理以及相似三角形的應(yīng)用。

首先要看的是關(guān)于平行線分線段成比例定理的逆定理。

定理：若OA/OB=OC/OD，求證AB∥CD。

想一想我們是如何判定兩條直線平行的？沒錯(cuò)，通過同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的關(guān)系，還有沒有其他的辦法呢？

沒有。

所以我們打算從角入手。由于OA/OB=OC/OD，且∠O公用，所以△OAB相似于△OCD，∠OAB=∠C，所以AB∥CD。

對(duì)于圖2中的情況，我們也可以類似得到。

這個(gè)逆定理是一種新的判別直線平行的辦法。當(dāng)然，我們其實(shí)有一種更加棒的觀點(diǎn)來(lái)看這個(gè)事情。接下來(lái)這段，如果你的孩子能夠完全理解的話，那可以值得小期待一下了。

在小學(xué)部分，我們?yōu)榱私鉀Q面積比例的問題而引入了梅涅勞斯定理。只不過當(dāng)時(shí)只給出了定理的應(yīng)用，而沒有給出定理的證明?，F(xiàn)在我們已經(jīng)完全具備了這個(gè)能力，因此我們首先來(lái)證明一下。

證明的思路怎么來(lái)？

由于結(jié)論是比例的形式，那么很自然想到要用平行線分線段成比例定理或者相似三角形的辦法。但是圖中又沒有平行線也沒有相似三角形，下一個(gè)問題就是該怎么加輔助線。

這三個(gè)比例相乘等于1是不自然的，那么什么樣的比例乘積等于1是自然的呢？a/b×b/c×c/a=1，這個(gè)就很自然。所以我們想，能不能找到三條線段來(lái)代替上面的a，b，c呢？

于是我們考慮作平行線，因?yàn)槿切蔚南嗨瓶雌饋?lái)太難構(gòu)造了，而這個(gè)平行線作完以后，要能把這些比例給聯(lián)系起來(lái)。于是過B作BG⊥FD，過A作AH⊥FD，過C作CK垂直FD，我們馬上得到AF/FB=AH/BG，BD/DC=BG/CK，CE/EA=CK/AH，把三個(gè)式子相乘，命題得證。

圖二中的情況我們可以用類似的辦法證明，留作練習(xí)。

接下來(lái)我們來(lái)看一些有意思的東西。

如果我們把直線FD向上翹起，會(huì)發(fā)生什么事情？

FD和BD的交點(diǎn)D會(huì)向右移對(duì)不對(duì)？如果我們不斷把FD向上翹起，那么D會(huì)持續(xù)右移，當(dāng)我們把FD翹到一個(gè)極限狀態(tài)的時(shí)候，F(xiàn)D和BD就再也交不到了——此時(shí)FD和BD平行了。

那么梅涅勞斯定理會(huì)變成什么樣呢？AF/FB×BD/DC×CE/EA=1是否還成立呢？

連D點(diǎn)都沒了還怎么成立？

理論上是的。不過我們可以把D點(diǎn)看作是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，也就是說，平行線在無(wú)窮遠(yuǎn)處相交。

但是這句話仍然很空洞，無(wú)窮遠(yuǎn)，那是多遠(yuǎn)？

遠(yuǎn)到BD=DC那么遠(yuǎn)。這個(gè)結(jié)論在有限的情況下是不可能成立的，因?yàn)锽D=BC+CD，所以BD>CD，但是當(dāng)D在無(wú)窮遠(yuǎn)的時(shí)候，BC就可以被忽略了。

此時(shí)由于BD=DC，我們得到AF/FB×CE/EA=1，也就是說：AF/FB=EA/CE。所以我們用梅涅勞斯定理推出了平行線分線段成比例定理，是不是很有意思？

可惜的是，我們并不能這么干。因?yàn)樽C明梅涅勞斯定理的前提是平行線分線段成比例定理，最后又要證明平行線分線段成比例定理，這就陷入了循環(huán)論證的套路，因此不能用這個(gè)看起來(lái)超炫的辦法來(lái)證明，除非你能夠不用平行線分線段成比例定理來(lái)證明梅涅勞斯定理。

好拗口的繞口令，好難的數(shù)學(xué)啊~

順便說一句，梅涅勞斯定理最主要的作用還是在于證明三點(diǎn)共線，但是這個(gè)是純競(jìng)賽內(nèi)容，就不多做展開。至于比例計(jì)算的應(yīng)用可以參見小學(xué)部分，有較為詳細(xì)的舉例說明。

順便正式強(qiáng)推小號(hào)：賊叉說，聊的都是吃喝玩樂以及八卦。相信我，雞娃路上大號(hào)我讓你吃的苦，小號(hào)都讓你補(bǔ)回來(lái)！