整體與完形

【閱讀與思考】

1.許多幾何問(wèn)題，常因圖形復(fù)雜、不規(guī)則而給解題帶來(lái)困難，這些復(fù)雜、不規(guī)則的圖形，從整體考慮，可看作某種圖形的一部分，如果將它們補(bǔ)充完整，就可得到常見的特殊圖形，那么就能利用特殊圖形的特殊性質(zhì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，這就是解幾何問(wèn)題的補(bǔ)形法.

2.常見的補(bǔ)形方法有:

(1)將原圖形補(bǔ)形為最能體現(xiàn)相關(guān)定理、推論、公理的基本圖形；

(2)將原圖形補(bǔ)形為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形；

(3)將原圖形補(bǔ)形為平行四邊形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下圖形:

【例題與求解】

【解析】

根據(jù)a/b=(a+b)/(a+b+c)即可求得a/b=b/(a+c)，延長(zhǎng)CB至D，使BD=AB，即可求證△ABC~△DAC，即可得∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC.即可解題.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，相似三角形的判定，本題中求證△ABC~△DAC是解題的關(guān)鍵.

【解析】

(1)都是內(nèi)角平分線時(shí)，可根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)來(lái)求解，由于DB平分∠ABC，且AF⊥BD，如果延長(zhǎng)AF交BC于K，那么三角形ABK就是個(gè)等腰三角形，AF=FK，如果延長(zhǎng)AG到H，那么同理可證AG=GH，AC=CH，那么GF就是三角形AHK的中位線，GF就是HK的一半，而HK=BK-BH=BK-(BC-CH)，由于BK=AB，CH=AC，那么可得出FG=1/2(AB+AC-BC)；

(2)證法同(1)先根據(jù)題目給出的求法，得出GD是AC的一半，然后按(2)的方法，通過(guò)延長(zhǎng)AF來(lái)得出DF是(BC-AB)的一半，由此可得出FG=1/2(BC+AC-AB)

【點(diǎn)評(píng)】

本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn).

【解析】

作出輔助線，構(gòu)建直角三角形，使AD成為直角三角形的一條邊，根據(jù)勾股定理求解.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查的是直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，作輔助線構(gòu)建可以運(yùn)用勾股定理的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【解析】

1.本題是一個(gè)幾何定值證明問(wèn)題，關(guān)鍵是將八邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形問(wèn)題來(lái)解決，若連接對(duì)角線則破壞一些已知條件，故考慮向外補(bǔ)形.

2.在證明過(guò)程中用到了兩平行線之間某點(diǎn)到兩直線的距離之和為兩平行線間的距離這一性質(zhì).

【點(diǎn)評(píng)】

此題分別考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)與判定構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【能力訓(xùn)練】

【解析】

本題可通過(guò)作輔助線進(jìn)行解決，延長(zhǎng)CB到E，使BE=DC，連接AE，AC，先證兩個(gè)三角形全等，利用直角三角形的面積與四邊形的面積相等進(jìn)行列式求解.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了面積及等積變換問(wèn)題；巧妙地作出輔助線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形來(lái)解決是正確解答本題的關(guān)鍵.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等.

【解析】

延長(zhǎng)并反向延長(zhǎng)AB，CD，EF，構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，再將這個(gè)六邊形以外的多邊形減去即可得這個(gè)六邊形的周長(zhǎng).

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查了多邊形的周長(zhǎng).解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊相等的性質(zhì)求解.

【解析】

作輔助線，延長(zhǎng)AM、EN交于Q，延長(zhǎng)AB、DC交于R，由△DMQ~△RMA，得出線段DQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得NQ的長(zhǎng)，再由△ABP~△QNP，即可求解BP與PN的比值.

【點(diǎn)評(píng)】

本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練利用其性質(zhì)求解一些計(jì)算問(wèn)題.

解法一：

解法二：

【點(diǎn)評(píng)】

此題考查了三角形的面積，利用特殊三角形及正弦定理的面積公式計(jì)算出每個(gè)三角形的面積即可.

【解析】

分析題意構(gòu)造一個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理解答即可.

【點(diǎn)評(píng)】

本題通過(guò)作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.

【解析】

延長(zhǎng)線段BN，交AC于E，利用已知易證ABN≌△AEN，所以BN=EN，從而證得MN是△BCE的中位線，所以求出EC，再運(yùn)用中位線定理求MN.

【點(diǎn)評(píng)】

作出輔助線NE即可:(1)構(gòu)造出全等三角形(△ABN≌△AEN)，從而求出CE的長(zhǎng)；(2)證明MN是中位線，從而輕松解決問(wèn)題.

【解析】

運(yùn)用割補(bǔ)法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，求出BE的長(zhǎng).

【點(diǎn)評(píng)】

本題運(yùn)用割補(bǔ)法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，其面積保持不變，

所求BE就是正方形的邊長(zhǎng)了；也可以看作將三角形ABE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形.

【解析】

通過(guò)對(duì)內(nèi)分割或向外補(bǔ)形，構(gòu)造直角三角形，解出AF、BF的長(zhǎng)，得出AE、DE，解直角三角形ADE求出角D的度數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】

考查了解直角三角形的應(yīng)用.

注:因直角三角形元素之間有很多關(guān)系，故用已知元素與未知元素的途徑常不唯一，選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢?請(qǐng)記住:有斜用弦，無(wú)斜用切，寧乘勿除，在沒有直角的條件下，常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形;在解由多個(gè)直角三角形組合而成的問(wèn)題時(shí)，往往先解已具備條件的直角三角形，使得求解的直角三角形最終可解.

解法一：

解法二：

【解析】

△ABC和△CDE都是一般斜三角形，直接根據(jù)已知條件不易求得結(jié)果，但是由于△ABC中AC已知，且∠BAC=60°，若以AC為一邊和以∠BAC為一內(nèi)角構(gòu)成直角三角形或一個(gè)等邊三角形，則這兩種三角形面積都能求.

【點(diǎn)評(píng)】

本題通過(guò)構(gòu)造三角函數(shù)和等邊三角形可以求解，利用直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)求解.

【點(diǎn)評(píng)】

此題主要考查了面積及等積變換，根據(jù)題意得出所求的八邊形的面積與八邊形各邊長(zhǎng)排列順序無(wú)關(guān)進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵.