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如何理解愛因斯坦廣義相對(duì)論的方程

 我愛你文摘 2021-09-28

從數(shù)學(xué)上講,這是一個(gè)怪物,但我們可以用簡(jiǎn)單的語言理解它。

愛因斯坦場(chǎng)方程看起來非常簡(jiǎn)單,但它們的編碼蘊(yùn)含了巨大的復(fù)雜性。

  • 看起來像一個(gè)緊湊的方程實(shí)際上是16個(gè)復(fù)雜的方程,將時(shí)空的曲率與宇宙中的物質(zhì)和能量聯(lián)系起來。

  • 它展示了重力與所有其他力量的根本不同,然而在許多方面,它是我們唯一可以繞開頭的。

雖然愛因斯坦是科學(xué)界的傳奇人物,原因有很多,最重要的一點(diǎn)是——光電效應(yīng),以及光速對(duì)每個(gè)人都是常數(shù)的概念,但他最持久的發(fā)現(xiàn)也是最不為人所知的:他的引力理論,廣義相對(duì)論。在愛因斯坦之前,我們用牛頓的術(shù)語來思考引力:宇宙中所有具有質(zhì)量的東西都會(huì)瞬間吸引其他質(zhì)量,這取決于質(zhì)量的價(jià)值、引力常數(shù)以及它們之間距離的平方。但愛因斯坦的概念完全不同,基于空間和時(shí)間統(tǒng)一成結(jié)構(gòu),時(shí)空,時(shí)空曲率不僅告訴重要,而且能量如何在它里面移動(dòng)。

這個(gè)基本思想——物質(zhì)和能量告訴時(shí)空如何彎曲,而彎曲的時(shí)空反過來又告訴物質(zhì)和能量如何移動(dòng)——代表了對(duì)宇宙的革命性新看法。愛因斯坦于1915年提出,四年后在日全食期間進(jìn)行了驗(yàn)證——當(dāng)來自太陽(yáng)后面光源的星光彎曲與愛因斯坦的預(yù)測(cè)一致,而不是牛頓的預(yù)測(cè)——廣義相對(duì)論已經(jīng)通過了我們?cè)?jīng)做過的每一次觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)測(cè)試。然而,盡管它在過去100多年中取得了成功,但幾乎沒有人理解支配廣義相對(duì)論的一個(gè)方程究竟是關(guān)于什么的。在這里,用簡(jiǎn)單的英語來說,才是它的真正含義。

如何理解愛因斯坦廣義相對(duì)論的方程

愛因斯坦的原始方程將時(shí)空曲率與系統(tǒng)應(yīng)力能量(頂部)聯(lián)系起來。宇宙常數(shù)可以添加(中間),或者等價(jià)物,它可以被表述為暗能量(底部),另一種形式的能量密度導(dǎo)致壓力能量緊張。

這個(gè)方程看起來很簡(jiǎn)單,因?yàn)橹挥袔讉€(gè)符號(hào)存在。但它是相當(dāng)復(fù)雜的。

  • 第一個(gè),Gμν,被稱為愛因斯坦緊張器,代表空間的曲率。

  • 第二個(gè),\,是宇宙常數(shù):能量量,正或負(fù),這是空間本身結(jié)構(gòu)固有的。

  • 第三個(gè)學(xué)期, gμν,被稱為指標(biāo),它以數(shù)學(xué)方式編碼時(shí)空內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的屬性。

  • 第四個(gè)任期,8+G/c4,只是常數(shù)的產(chǎn)物,被稱為愛因斯坦的引力常數(shù),牛頓的引力常數(shù)(G)的對(duì)應(yīng)物,我們大多數(shù)人更熟悉。

  • 第五學(xué)期, Tμν,被稱為應(yīng)力能量緊張器,它描述了本地(在附近)能量,動(dòng)量和壓力在那個(gè)時(shí)空。

這五個(gè)術(shù)語,都通過我們所說的愛因斯坦場(chǎng)方程相互關(guān)聯(lián),足以將時(shí)空的幾何形狀與其中的所有物質(zhì)和能量聯(lián)系起來:廣義相對(duì)論的標(biāo)志。

如何理解愛因斯坦廣義相對(duì)論的方程

愛因斯坦場(chǎng)方程的壁畫,描繪了光在日食太陽(yáng)周圍彎曲,這些觀測(cè)結(jié)果早在1919年就首次驗(yàn)證了廣義相對(duì)論。愛因斯坦緊張器顯示分解,在左邊,成里奇緊張和里奇鱗片。

你可能想知道所有這些子腳本是什么 - 那些奇怪的'+'組合的希臘字母,你看到在愛因斯坦張力的底部,指標(biāo),和應(yīng)力能量緊張。大多數(shù)情況下,當(dāng)我們寫下一個(gè)方程時(shí),我們寫下一個(gè)縮放方程,即一個(gè)方程,它只代表一個(gè)平等,即左側(cè)所有東西的總和等于右邊的一切。但我們也可以寫下方程系統(tǒng),用編碼這些關(guān)系的簡(jiǎn)單公式來表示它們。

E = mc2 是一個(gè)縮放方程,因?yàn)槟芰?(E)、質(zhì)量 (m) 和光速 (c) 都只有單一的、唯一的值。但牛頓的F =ma不是一個(gè)方程,而是三個(gè)獨(dú)立的方程:Fx· max對(duì)于'x'方向,F(xiàn)y· may為 'y' 方向, 和 Fz· maz用于'z'方向。在廣義相對(duì)論中,我們有四個(gè)維度(三個(gè)空間和一個(gè)時(shí)間)以及兩個(gè)子腳本,物理學(xué)家稱之為指數(shù),這意味著沒有一個(gè)等式,甚至沒有三個(gè)或四個(gè)等式。相反,我們有四個(gè)維度(t、x、y、z)影響其他四個(gè)維度(t、x、y、z),總共影響 4 個(gè)× 4 個(gè)或 16 個(gè)方程。

如何理解愛因斯坦廣義相對(duì)論的方程

而不是一個(gè)空的,空白的,三維網(wǎng)格,把一個(gè)質(zhì)量向下導(dǎo)致什么本來是'直'線,而不是成為彎曲的特定數(shù)量。在廣義相對(duì)論中,空間和時(shí)間是連續(xù)的,所有形式的能量都有助于時(shí)空的曲率。

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為什么我們需要這么多方程來描述引力, 而牛頓只需要一個(gè)?

因?yàn)閹缀螌W(xué)是一個(gè)復(fù)雜的野獸,因?yàn)槲覀冊(cè)谒膫€(gè)維度工作,因?yàn)榘l(fā)生在一個(gè)維度,甚至在一個(gè)位置,可以向外傳播,并影響宇宙中的每一個(gè)位置,如果你有足夠的時(shí)間通過。我們的宇宙具有三個(gè)空間維度和一個(gè)時(shí)間維度,這意味著我們宇宙的幾何形狀可以被數(shù)學(xué)地視為四維多維。

在里曼尼幾何中,多重不要求是直的和剛性的,但可以任意彎曲,你可以把曲率分成兩部分:扭曲物體體積的部分和扭曲物體形狀的部分。'Ricci'部分是音量扭曲,在愛因斯坦張子中起著一定的作用,因?yàn)閻垡蛩固箯堊佑衫埩屠锲貅[片組成,其中有一些常數(shù)和公制。'Weyl'部分是形狀扭曲,而且,與直覺相反,在愛因斯坦場(chǎng)方程中不起任何作用。

因此,愛因斯坦字段方程不僅僅是一個(gè)方程,而是一套16個(gè)不同的方程:每個(gè)方程為'4×4'組合。隨著宇宙的一個(gè)組件或方面的變化,如空間曲率在任何時(shí)候或任何方向,所有其他組件也可能改變的反應(yīng)。這個(gè)框架在許多方面將微分方程的概念提升到一個(gè)新的水平。

差分方程是任何方程,您可以在其中做以下工作:

  • 您可以提供系統(tǒng)的初始條件,例如存在的內(nèi)容、位置、時(shí)間以及移動(dòng)方式,

  • 然后,您可以將這些條件插入您的微分方程,

  • 等式會(huì)告訴你這些事情是如何及時(shí)進(jìn)化的, 前進(jìn)到下一個(gè)瞬間,

  • 在那里你可以把這些信息重新插入微分方程,然后它會(huì)告訴你接下來會(huì)發(fā)生什么,在下一個(gè)瞬間。

這是一個(gè)非常強(qiáng)大的框架,也是牛頓需要發(fā)明微積分,以便運(yùn)動(dòng)和引力等成為可以理解的科學(xué)領(lǐng)域的原因。

如何理解愛因斯坦廣義相對(duì)論的方程

當(dāng)你在時(shí)空中放下一個(gè)點(diǎn)質(zhì)量時(shí),你因此將時(shí)空結(jié)構(gòu)彎曲。愛因斯坦場(chǎng)方程允許您將時(shí)空曲率與物質(zhì)和能量聯(lián)系起來,原則上,對(duì)于您選擇的任何分布。

只有當(dāng)我們開始處理廣義相對(duì)論時(shí),它不僅僅是一個(gè)方程,甚至一系列獨(dú)立的方程,它們都在自己的維度中傳播和進(jìn)化。相反,由于在一個(gè)方向或維度中發(fā)生的情況會(huì)影響所有其他方向,因此我們有 16 個(gè)耦合的相互依存方程,當(dāng)物體在時(shí)空移動(dòng)和加速時(shí),應(yīng)力能量會(huì)發(fā)生變化,空間曲率也會(huì)發(fā)生變化。

然而,這些'16方程'并不完全獨(dú)特!首先,愛因斯坦的張力是對(duì)稱的,這意味著每個(gè)成分之間都有一種關(guān)系,即將一個(gè)方向與另一個(gè)方向結(jié)合在一起。特別是,如果您的時(shí)間和空間的四個(gè)坐標(biāo)是 (t、 x、y、z),則:

  • 'tx'組件將等同于'xt'組件,

  • 'ty'組件將等同于'yt'組件,

  • 'tz'組件將等同于'zt'組件,

  • 'yx'組件將等同于'xy'組件,

  • 'zx'組件將等同于'xz'組件,

  • 'zy'組件將等同于'yz'組件。

突然之間,沒有16個(gè)唯一的方程,只有10個(gè)。

此外,還有四種關(guān)系將這些不同維度的曲率聯(lián)系在一起:Bianchi 身份。在剩下的10個(gè)唯一方程中,只有6個(gè)是獨(dú)立的,因?yàn)檫@4個(gè)關(guān)系使獨(dú)立變量的總數(shù)進(jìn)一步下降。這部分的力量使我們能夠自由地選擇任何我們喜歡的坐標(biāo)系統(tǒng),這實(shí)際上是相對(duì)論的力量:每個(gè)觀察者,無論他們的位置或運(yùn)動(dòng),都看到相同的物理定律,如廣義相對(duì)論的相同規(guī)則。

如何理解愛因斯坦廣義相對(duì)論的方程

引力透鏡和星光因質(zhì)量而彎曲的例證??臻g的曲率可能非常嚴(yán)重,光可以沿著多條路徑從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)。

這組方程的其他屬性非常重要。特別是,如果你考慮到壓力能量張力的背離,你總是得到零,不僅僅是整體,而是每個(gè)單獨(dú)的組件。這意味著你有四個(gè)對(duì)稱性:時(shí)間維度或任何空間維度沒有差異,每次你在物理學(xué)上有對(duì)稱性時(shí),你也有一個(gè)保存的數(shù)量。

在廣義相對(duì)論中,這些保存的數(shù)量轉(zhuǎn)化為能量(時(shí)間維度),以及 x、y 和 z 方向(空間維度)中的動(dòng)量。就像那樣,至少在附近的本地,能量和動(dòng)量都保存為個(gè)別系統(tǒng)。盡管不可能在廣義相對(duì)論中定義'全球能源'之類的整體,但對(duì)于廣義相對(duì)論內(nèi)的任何一個(gè)局部系統(tǒng),能源和動(dòng)量始終保持保守:這是理論的要求。

如何理解愛因斯坦廣義相對(duì)論的方程

當(dāng)質(zhì)量相對(duì)于彼此通過時(shí)空移動(dòng)時(shí),它們會(huì)引起引力波的發(fā)射:波紋穿過空間本身的結(jié)構(gòu)。這些波紋在公制滕索中以數(shù)學(xué)方式編碼。

廣義相對(duì)論的另一個(gè)不同于大多數(shù)其他物理理論的特性是廣義相對(duì)論作為一種理論是非線性的。如果你有一個(gè)解決方案,你的理論,如'什么時(shí)空是什么樣的,當(dāng)我把一個(gè)單一的,點(diǎn)質(zhì)量下來,'你會(huì)想作出這樣的聲明,'如果我把兩個(gè)點(diǎn)質(zhì)量下來,那么我可以結(jié)合解決質(zhì)量#1和質(zhì)量#2,并得到另一個(gè)解決方案:兩個(gè)質(zhì)量相結(jié)合的解決方案。

這是事實(shí),但前提是你有一個(gè)線性理論。牛頓重力是一個(gè)線性理論:引力場(chǎng)是每個(gè)物體相加并疊加在一起的引力場(chǎng)。Maxwell 的電磁學(xué)相似:兩個(gè)電荷、兩個(gè)電流或電流和電流的電磁場(chǎng)都可以單獨(dú)計(jì)算并加在一起,以提供凈電磁場(chǎng)。這在量子力學(xué)中甚至都是如此,因?yàn)槭﹨味「穹匠桃彩蔷€性的(在波功能中)。

但愛因斯坦的方程是非線性的,這意味著你不能這樣做。如果你知道一個(gè)點(diǎn)質(zhì)量的時(shí)空曲率,然后你放下第二點(diǎn)質(zhì)量,問,'時(shí)空現(xiàn)在是如何彎曲的?事實(shí)上,即使在廣義相對(duì)論首次提出100多年后的今天,相對(duì)論中仍然只有大約20個(gè)確切的解決方案,其中兩個(gè)點(diǎn)質(zhì)量的時(shí)空仍然不是其中之一。

如何理解愛因斯坦廣義相對(duì)論的方程

2017年,伊森·西格爾在美國(guó)天文學(xué)會(huì)的超級(jí)墻拍攝的照片,以及第一個(gè)弗里德曼方程在右邊——這偶爾被稱為宇宙中最重要的方程,也是廣義相對(duì)論中罕見的精確解決方案之一。

最初,愛因斯坦在方程中只用第一個(gè)和最后一個(gè)術(shù)語來形成廣義相對(duì)論,即一邊是愛因斯坦張力器,另一邊是應(yīng)力能量張量(乘以愛因斯坦引力常數(shù))。他只加入了宇宙常數(shù),至少根據(jù)傳說,因?yàn)樗麩o法承受宇宙被迫擴(kuò)張或收縮的后果。

然而,宇宙常數(shù)本身本來是一個(gè)革命性的補(bǔ)充,即使大自然原來沒有一個(gè)非零的(以今天的暗能量的形式),原因很簡(jiǎn)單,但引人入勝。從數(shù)學(xué)上講,宇宙常數(shù)是你能添加到廣義相對(duì)論中的唯一'額外'事物,而不會(huì)從根本上改變物質(zhì)和能量之間的關(guān)系的性質(zhì)以及時(shí)空的曲率。

然而,廣義相對(duì)論的核心不是宇宙常數(shù),它只是你可以加入的一種特定類型的'能量',而是另外兩個(gè)更籠統(tǒng)的術(shù)語。愛因斯坦緊張, Gμν,告訴我們空間的曲率是怎樣的,它與壓力能量張量,T有關(guān)μν,它告訴我們宇宙中的物質(zhì)和能量是如何分布的。

如何理解愛因斯坦廣義相對(duì)論的方程

量子引力試圖將愛因斯坦的廣義相對(duì)論與量子力學(xué)相結(jié)合。量子對(duì)經(jīng)典重力的校正被形象化為循環(huán)圖,如白色圖所示。

在我們的宇宙中,我們幾乎總是做出近似。如果我們忽略16個(gè)愛因斯坦方程中的15個(gè),而只是保留了'能量'成分,你就會(huì)恢復(fù)它取代的理論:牛頓的引力定律。相反,如果你讓宇宙在所有空間維度上對(duì)稱,并且不允許它旋轉(zhuǎn),你就會(huì)得到一個(gè)同位素和同質(zhì)的宇宙,一個(gè)由弗里德曼方程(因此需要擴(kuò)展或收縮)控制的宇宙。在最大的宇宙尺度上,這似乎描述了我們生活的宇宙。

但是,你也可以把任何物質(zhì)和能量的分布,以及任何你喜歡的字段和粒子的集合,如果你能把它寫下來,愛因斯坦的方程將涉及你的時(shí)空幾何形狀如何宇宙本身彎曲到壓力能量張量,這是能量的分布, 勢(shì)頭,和壓力。

如果真的有一個(gè)'萬物理論'來描述重力和量子宇宙,那么這些概念之間的根本區(qū)別,包括愛因斯坦理論的根本非線性,將需要得到解決。就目前情況而言,鑒于其性質(zhì)大相徑庭,重力與其他量子力的統(tǒng)一仍然是所有理論物理學(xué)中最雄心勃勃的夢(mèng)想之一。

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