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真空災(zāi)難——物理學(xué)史上最大膽的理論預(yù)測,也是物理學(xué)中最著名的未解問題之一

 老胡說科學(xué) 2021-06-03

量子場論(QFT)是粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型的框架。特別是,量子電動力學(xué)(QED)以前所未有的精度預(yù)測了物理量的值。例如,μ子的磁偶極矩的測量值為233 184 600 (1680) × 10^(-11)。而理論預(yù)測值為:233 183 478 (308) ×  10^(-11)。

然而,量子場論也存在分歧,其中最重要的一個是真空能量密度(或真空期望值,通常稱為VEV)。每個量子場都有相應(yīng)的發(fā)散零點能量。對所有模態(tài)求和會導(dǎo)致真空能量密度的一個巨大值。

  • 圖1:代表量子場理論發(fā)散的費曼圖的例子。在第一種情況下,光子產(chǎn)生一個虛擬的電子-正電子對,然后這對電子湮滅(真空極化)。在第二種情況下,電子發(fā)射并重新吸收虛光子。

然而,由廣義相對論預(yù)測和實驗觀測到的真空能量是非常小的。兩種估計的誤差可能高達120個數(shù)量級。

宇宙常數(shù)問題(又稱真空災(zāi)難),正是現(xiàn)代物理學(xué)中最重要的未解決的問題之一(真空能量密度的實驗測量值與用量子場理論得到的理論零點能量之間存在的差異)。霍布森、埃夫斯塔蒂歐和拉森比(HEL)將其稱為“物理學(xué)史上最糟糕的理論預(yù)測”。

當(dāng)考慮引力時,這種能量密度導(dǎo)致了嚴重的問題,因為在廣義相對論中,任何形式的物質(zhì)或能量都必須添加到真空能量中。

愛因斯坦的引力理論速覽

1915年至1916年間,愛因斯坦總結(jié)了廣義相對論的構(gòu)想。他的引力場方程表明,時空區(qū)域的扭曲是由附近物質(zhì)和輻射的能量和動量產(chǎn)生的。

  • 圖二:太陽的存在所造成的時空扭曲的圖解

下圖說明了兩者之間的對應(yīng)關(guān)系:

用張量G, R和T表示,公式如下:

  • 式1:具有愛因斯坦張量G、里奇曲率張量R和標(biāo)量曲率R(R的跡)的愛因斯坦場方程。

里奇曲率張量度量時空的幾何性質(zhì)(局部)不同于通常的歐幾里得空間的程度。

  • 圖3:流形(在這種情況下,具有正曲率)的幾何性質(zhì)(在這個圖中,兩點之間的距離)與通常的歐幾里德空間有所不同。

式1中的張量g是度規(guī)張量g,其形式為:

  • 式2:度規(guī)張量g。

對應(yīng)的線元(表示無窮小位移)可表示為:

  • 式3:對應(yīng)于張量g的線元。

  • 圖4:三維歐幾里得空間中的向量線元dr(綠色)。

右邊的張量T是能量動量張量。它包含了使時空變形的物質(zhì)和能量的信息。

  • 式4:能量動量張量T的分量

宇宙學(xué)

1917年,在發(fā)表他的廣義相對論一年后,愛因斯坦在他的開創(chuàng)性論文《廣義相對論的宇宙學(xué)考慮》中將其應(yīng)用到整個宇宙(當(dāng)時被認為只是銀河系)。這篇論文標(biāo)志著現(xiàn)代宇宙學(xué)的誕生。

在這篇文章中,愛因斯坦假設(shè)宇宙是靜態(tài)的,有一個封閉的空間幾何(一個三維球體,有限但無界)。然而,他的理論不承認靜態(tài)解,他不得不引入一個新量,即式1中的宇宙常數(shù)Λ項:

  • 式5:帶有包含宇宙學(xué)常數(shù)新項Λ的愛因斯坦場方程。

這個已知的宇宙是愛因斯坦靜態(tài)宇宙。

  • 圖5:愛因斯坦和他1917年的論文,其中他將廣義相對論應(yīng)用到整個宇宙

由于以下原因,他能夠?qū)⑦@一項包含等式1中。G和T的協(xié)變導(dǎo)數(shù)都是零:

  • 式6:G和T的協(xié)變導(dǎo)數(shù)都是零。

因為度規(guī)張量也有這個性質(zhì):

  • 式7:度規(guī)張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零。

引入這一項不會破壞方程的一致性。在弱場極限下,我們得到:

  • 式8:根據(jù)牛頓極限,我們可以看到Λ作為引力斥力,線性依賴于距離r。

我們看到Λ作為引力斥力,線性依賴于距離r。

膨脹的宇宙

然而,在1929年,美國天文學(xué)家埃德溫·哈勃發(fā)現(xiàn):

  • 一些被認為是塵埃和氣體云的物體實際上是銀河系之外的星系(當(dāng)愛因斯坦把Λ引入他的方程時,這并不為人所知)。

  • 星系的后退速度隨它們與地球的距離而增加(所謂的“哈勃定律”)。

他的發(fā)現(xiàn)和比利時數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家喬治·勒梅特先前的研究一起得出結(jié)論:宇宙正在膨脹。

  • 圖6:如何計算哈勃常數(shù)

因此,正如愛因斯坦所認為的,宇宙的膨脹意味著沒有必要引入宇宙常數(shù)。在與烏克蘭出生的物理學(xué)家、宇宙學(xué)家喬治·伽莫夫(George Gamow)交談時,他說過一句名言:

引入宇宙常數(shù)項是我一生中犯的最大錯誤。

  • 圖7:埃德溫·哈勃和喬治·勒梅特。

宇宙學(xué)常數(shù)的不同觀點

然而,今天人們用一種全新的方式來看待宇宙常數(shù)。事實上,它的存在導(dǎo)致了以下的實驗結(jié)果:我們的宇宙不僅在膨脹,而且在加速膨脹。膨脹的階段如下圖所示。當(dāng)遙遠星系遠離觀測者的速度隨著時間的增加而增加時,加速膨脹就發(fā)生了。

  • 圖8:宇宙的加速膨脹

弗里德曼-勒梅特- 羅伯森-沃克(FLRW)度規(guī)

如果考慮非常大的區(qū)域(如星系團,在100百萬秒差距的量級上,一秒差距等于31萬億公里)宇宙的幾何形狀(度規(guī)的空間部分),近似均勻(在所有位置上都相同)和具有各向同性(在所有方向上都相同)。參見下面的圖10:

  • 圖9:IDCS J1426星系團的質(zhì)量約為500萬億個太陽質(zhì)量

下圖說明了各向同性和均質(zhì)性的概念:

  • 圖10:各向同性和均質(zhì)性的概念

基于這些假設(shè),我們得到了愛因斯坦場方程的解,常曲率宇宙,即所謂的FLRW宇宙。它們的空間部分可以用不同的方式表示。一個可能的方式是:

  • 式9:一種可能的方式來表示FLRW度規(guī)的空間部分。

其中函數(shù)a(t)是宇宙尺度因子,與宇宙的大小有關(guān)。參數(shù)k指定FLRW度規(guī)的形狀。k的三個可能值分別是+1、0或1,它們分別與具有正曲率、零曲率和負曲率的宇宙有關(guān)。

  • 圖11:式9中k的三個可能值分別為1、0或-1,分別與具有正曲率、零曲率和負曲率的宇宙有關(guān)。

介紹球坐標(biāo):

  • 式10:無量綱徑向曲率球面坐標(biāo)。

  • 圖12:球面坐標(biāo),圖中的r是式10中帶波浪號的r。

并定義坐標(biāo):

  • 式11

其中~表示通常的徑向變量FLRW度規(guī),現(xiàn)在包括時間部分,線元變成:

  • 式12:一種更方便的方法來表示FLRW線元素。

理解這點很重要,時空中的點和時空坐標(biāo)是兩個不同的概念。坐標(biāo)是分配給點的標(biāo)簽,因此它們的選擇不應(yīng)該改變物理定律。坐標(biāo)r、θ和?稱為近地坐標(biāo)。隨著宇宙尺度因子a(t)的增加,點與點之間的距離也會增加,但近地坐標(biāo)系中的距離卻不會增加。

  • 圖13:圖中宇宙尺度因子R(t)對應(yīng)函數(shù)a(t)

假設(shè)在大尺度上具有各向同性和均勻性,能量動量張量T成為“完美流體”的能量動量張量:

  • 式13:完美流體的能量動量張量。

其中ρ為質(zhì)能密度,p為流體靜壓。

一個完美的流體定義:

  • 完全由它的靜止坐標(biāo)系質(zhì)量密度ρ和各向同性壓力p表征。

  • 沒有剪切應(yīng)力,粘度,或熱傳導(dǎo)

  • 圖14:一個完美的流體流過一個無限長的圓柱體

例如,考慮靜止系中的T。它變得簡單:

  • 式14:完美流體在其靜止系中的能量動量張量。

有了這個簡單的T,我們可以只用兩個量來描述物質(zhì),它的密度ρ和壓強p:

注意,兩者都只依賴于宇宙尺度因子a(t)。愛因斯坦場方程就變成了著名的弗里德曼比例因子方程:

  • 式15:當(dāng)能量動量張量是各向同性并且齊次時,即EFE的弗里德曼方程。

  • 圖15:俄國物理學(xué)家亞歷山大·弗里德曼

第三個重要的方程是狀態(tài)方程也就是FLRW宇宙的式6右邊的方程:

  • 式16:FLRW宇宙的狀態(tài)方程。

現(xiàn)在,根據(jù)HEL,考慮一種具有特殊狀態(tài)方程的未知物質(zhì),具有負壓:

  • 式17:由Λ得到的正真空能意味著壓強p<0。負壓使膨脹速度減慢。

在這種情況下,張量T變成:

  • 式18:因為T只依賴于時空的幾何,它是真空本身的一種性質(zhì),ρ被稱為真空能量或空間的能量密度。

它與坐標(biāo)的選擇無關(guān)。注意,T只依賴于時空的幾何。因此,它是真空本身的一種性質(zhì)。因此ρ是真空能量或空間的能量密度。

現(xiàn)在比較等式5等式19。新項的形式和g項相同。然后我們可以這樣寫:

  • 式19:真空能量或空間的能量密度。

因此,宇宙常數(shù)的存在等價于真空能量密度的存在:

  • 式20:引入一個宇宙常數(shù)相當(dāng)于真空能量密度的存在。

愛因斯坦的場方程變成:

  • 式21:包含真空能量張量的修正EFE。

對這種情況求解式16,我們得到:

  • 式22:真空能量的能量密度是恒定的,因此,它最終相對于物質(zhì)和能量密度成為主導(dǎo)。

宇宙學(xué)觀測得出:

  • 式23:宇宙學(xué)觀測得到的能量密度Λ的值(即真空能量)。

Lambda-CDM模型

根據(jù)Lambda-CDM模型,加速膨脹開始于宇宙進入暗能量主導(dǎo)時代之后。

  • 圖16:宇宙總能量劃分為物質(zhì)、暗物質(zhì)和暗能量

如前所述,加速度可以用宇宙常數(shù)(Λ>0)的正性來解釋。后者相當(dāng)于一種能量形式的存在,被稱為暗能量,一種正形式的真空能量。目前宇宙學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型中最常用的描述包括暗能量和假定的暗物質(zhì)的存在。

  • 圖17:根據(jù)暗能量的性質(zhì),物理學(xué)家認為宇宙有三種可能的結(jié)局

然而,正如卡羅爾所指出的,廣義相對論有以下特點:在非引力物理(例如電磁學(xué))中,只有能量的差異與描述物體的運動有關(guān),在廣義相對論中,能量本身的值必須是已知的。這讓我們馬上想到一個問題:如果能量的零點是真空狀態(tài)的能量,那么真空能量是多少?物理學(xué)中最重要的未解決問題之一就是如何回答這個問題。

量子場論中真空能量的計算

利用量子場論,可以計算出任何量子場的量子機械真空能(或零點能)。這種計算的結(jié)果可能比通過宇宙學(xué)觀測得到的上限大120個數(shù)量級。我們相信存在某種機制使得Λ很小但不為零。

讓我們計算一下存在于整個宇宙的所謂真空的量子能量。

  • 圖18:波動的虛粒子進出存在,因此,根據(jù)海森堡測不準(zhǔn)原理,短時間違反能量守恒定律。

為了避免不必要的復(fù)雜情況,我將考慮用實函數(shù)φ(x,t)描述的實無質(zhì)量標(biāo)量場φ(而不是更復(fù)雜的電磁場)。在這種情況下,經(jīng)典的哈密頓量是:

  • 方程24:經(jīng)典實無質(zhì)量標(biāo)量場的自由哈密頓量。

現(xiàn)在對經(jīng)典場φ進行量子化。真空能量由對量子真空態(tài)取期望值得到:

  • 式25:真空的能量。

用產(chǎn)生和湮滅算符表示場,并進行簡單的代數(shù)運算,我們得到以下真空期望值的表達式(在沒有粒子的情況下)。

  • 式26:真空的能量。

式26中的第二項意味著真空期望值(VEV)是無窮大的。這個對VEV的無限貢獻就是宇宙常數(shù)。正如卡羅爾所指出的,無窮大的值并不是一個可能的無限大空間的結(jié)果,它是我們所整合的高頻模態(tài)的結(jié)果。如果我們用某個截止來限制積分,我們得到:

  • 式27

如果QFT對于高的普朗克能量是有效的,我們得到:

  • 式28:VEV的數(shù)量級

用式28除以式23,我們得到著名的120因子。

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