博弈論是一項關于競爭者之間決策的數學研究。它最早由數學家約翰-馮-諾伊曼和經濟學家奧斯卡-莫根斯坦在20世紀40年代提出。它之所以被稱為博弈論，是因為該理論試圖了解兩個或多個玩家（參與者）在特定情況下的策略。在博弈論中，兩個或更多參與者之間的互動通常以具有一套特定規(guī)則的游戲來定義。它涉及零和博弈，這意味著一個玩家贏得的收益對其他玩家來說是一種損失。心理學、進化生物學、戰(zhàn)爭、政治、經濟學、商業(yè)、計算機科學中的許多現(xiàn)象都可以被建模為博弈。因此，博弈論具有廣泛的應用。博弈論有4個主要要素。- 均衡：在博弈中，雙方玩家都做出了自己的策略而不能采取任何其他行動的點
非合作性非合作性博弈是每個玩家之間的競爭性博弈，其中會有一些贏家和一些輸家。非合作博弈理論中最有名的例子是 "囚徒困境"。有兩個罪犯，即小明和小華被警察抓住，被關在兩個不同的房間里被審問，因此他們不能互相交流。所有可能的結果是。- 如果小明和小華互相指控，他們各自在監(jiān)獄中服刑兩年。
- 如果小明指控小華，并且小華認罪，那么小明將被釋放，小華將服刑三年。
- 如果小華指控小明，并且小明認罪，那么小華將被釋放，小明將服刑三年。
在囚徒困境中，小明和小華各自選擇一種策略，即指控或坦白，總共有四種可能的情況，每一種情況都對應著一種結果。因此，我們可以說明每種策略組合的結果矩陣。這意味著小明和小華最好選擇指控對方。因為指控對方比他們一起認罪能獲得更大的“回報”，所有完全理性的自利的囚犯都會選擇指控對方，這意味著他們兩人唯一可能的結果就是指控對方。這個推理是基于一個兩難境地。- 如果小華認罪，小明就應該指控，因為獲得自由比服刑一年要好。
- 如果小華指控，小明也應該指控，因為服兩年刑期比服三年刑期要好。所以無論如何，小明都應該指控。同理，小華也應該指控。
因為無論對方的選擇如何，指控的結果總是比坦白的結果好，因此它是一種優(yōu)勢策略。博弈中唯一的納什均衡（Nash equilibrium）（一組策略，沒有參與者可以通過改變策略來提高自己的收益）是相互指控。進退兩難的是，雖然相互坦白比相互指責有更好的結果，但這并不是一個理性的結果，因為從自利的角度來看，選擇坦白并不理性。這不是一個合作性的游戲，因為所有的參與者都能從背后捅刀子中獲益。囚徒困境適用于許多現(xiàn)實世界的問題。當你與他人競爭時，最好選擇對你最有利的行動，不管其他人決定怎么做。合作性在合作博弈理論中，每個玩家都同意為同一個目標而合作。由于他們是以合作的方式一起工作，所以很常見的是把這個團體稱為聯(lián)盟。合作博弈中的問題是一個玩家對聯(lián)盟的貢獻有多大，一個玩家從聯(lián)盟中獲得多少利益。簡單地說，它試圖確定什么是公平的。如果一個非合作博弈有納什均衡，那么合作博弈就有夏普利值（Shapley value），它根據玩家對聯(lián)盟的貢獻值在玩家之間劃分收益和成本。它通過滿足以下公理而發(fā)揮作用：邊際貢獻。每個參與者的貢獻可以通過把他們從聯(lián)盟中移除來確定。假設聯(lián)盟的目標是生產盡可能多的飲料。當小明被剔除后，聯(lián)盟生產的飲料比小明在的那一天少了100件。因此，小明的邊際貢獻是100。可互換的參與者具有同等價值。如果2個玩家為聯(lián)盟提供了同樣的東西，他們貢獻量就應該相同。因此，他們應該得到同等的獎勵。如果2個人在餐館里點同樣的菜品，他們的賬單應該是一樣的。一個虛擬玩家的價值為零。如果聯(lián)盟中的一個玩家根本沒有貢獻，他們根本不應該得到獎勵。如果你和你的朋友一起去餐廳，但沒有點任何東西，那么你就不應該支付任何賬單，也根本不應該享用美食。在一個有多個部分的博弈中，成本和支付應該在這些部分之間進行分解。如果你在周一生產礦泉水，然后在周五生產紅酒，那么你在周五的收益應該比周一多。因此，聯(lián)盟應定期審查，以作出調整。如果滿足上述所有情況，在聯(lián)盟博弈中玩家i的沙普利值可以用以下公式計算。- N是玩家（參與者）的總數，總和擴展到N的所有子集S，不包括參與人i
為了簡化，想象一下你可以在一小時內單獨工作生產10杯飲料，而你的朋友可以在一小時內生產20杯飲料。然后，你們兩個人決定一起工作。分開任務，你負責包裝，而你的朋友負責其他方面。結果發(fā)現(xiàn)，你們兩個人都能在一小時內生產40種飲料。假設，每杯飲料價值1元。那么你們如何分配收入呢？事實上，你可以在一小時內生產10杯飲料，然后從總數中減去它們，40-10=30。這就是如果你除去你的朋友會生產多少。因此，你朋友對你的邊際貢獻是30。事實上，你的朋友可以在一小時內做20杯飲料，并從總數中減去，40-20=20。這就是如果你的朋友把你剔除的情況。因此，你對你朋友的邊際貢獻是20。如果你能在一小時內做10杯飲料，你的邊際貢獻是20，根據夏普利值，你應該把這2個數字平均起來。因此，你的獎勵應該是（20+10）/2=15。而你的朋友在一小時內可以做20杯飲料，他的邊際貢獻是30。他的獎勵應該是（20+30）/2=25。因此，從40元中你應該得到15元，你的朋友得到25元。結論在個人競爭中，你應該聰明一點，做出對你最有利的決定，而在一群人一起工作以達到同一目標時，你應該公平一點。
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