在所有的天才故事中，馮·諾伊曼可能算是最為精彩的一個(gè)。在學(xué)術(shù)方面，這位出生于匈牙利的猶太科學(xué)家有著諸多非凡的貢獻(xiàn)。在數(shù)學(xué)上，對(duì)集合論、算子理論、測(cè)度論、幾何、分析、拓?fù)涞阮I(lǐng)域做出基礎(chǔ)性的貢獻(xiàn)，被稱為“偉大數(shù)學(xué)家的最后一個(gè)代表”；在物理學(xué)方面，他給出了量子力學(xué)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；人們所用的計(jì)算機(jī)源自“馮·諾伊曼結(jié)構(gòu)”，因此他被認(rèn)為是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)之父；還對(duì)爆炸科學(xué)、工程領(lǐng)域、經(jīng)濟(jì)學(xué)做出貢獻(xiàn)；參與曼哈頓計(jì)劃并提出結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)……而他本身的趣聞?shì)W事更是讓人們津津樂(lè)道。對(duì)于這樣一位成就斐然的學(xué)者，我們很難用一篇文章甚至一本書來(lái)描述，本文僅旨在講述他一生最重要的一些貢獻(xiàn)，以及有趣的故事。全文將分為上、下兩篇推送。
撰文 | J?rgen Veisdal （挪威科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)和管理學(xué)院工業(yè)經(jīng)濟(jì)與技術(shù)管理系 助理教授）編譯 | 哪吒
“大多數(shù)數(shù)學(xué)家證明了他們能證明的，馮·諾伊曼證明了他想要的?！?/span>
“約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）可能是有史以來(lái)最聰明的人”，想要切實(shí)反駁這種說(shuō)法確實(shí)是極其困難的。馮·諾伊曼逝世于1957年，享年53歲。這位博學(xué)的匈牙利數(shù)學(xué)家不僅革新了數(shù)學(xué)與物理的幾個(gè)分支，而且對(duì)純經(jīng)濟(jì)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)做出了基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)，還在原子彈、核能應(yīng)用和數(shù)字計(jì)算的發(fā)明中發(fā)揮了關(guān)鍵作用。
馮·諾伊曼被稱為“偉大數(shù)學(xué)家的最后一位代表”，他的天才甚至在他有生之年都是傳奇性的。從獲得諾貝爾獎(jiǎng)的物理學(xué)家到世界一流的數(shù)學(xué)家，談?wù)撽P(guān)于他才華的故事和軼事不勝枚舉：
“你知道嗎，赫伯（譯者注：費(fèi)米的博士生Herb Anderson），Johnny心算的速度是我的十倍。而我的速度是你的十倍，所以你可以看到Johnny多么讓人驚嘆。”
——恩里科·費(fèi)米（Enrico Fermi，1938年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者）
“他給人的印象就是一臺(tái)齒輪嚙合被精確加工到千分之一英寸的完美儀器?！?/span>——尤金·維格納（Eugene Wigner，1963年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者）“我有時(shí)會(huì)想，像馮·諾伊曼這樣的大腦，是不是表明這個(gè)物種比人類更優(yōu)越?！?/span>——漢斯·貝特（Hans Bethe ，1967年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者）的確，馮·諾伊曼與20世紀(jì)科學(xué)界一些最重要的人物一起工作且合作過(guò)。他和尤金·維格納（Eugene Wigner）一起上高中；在蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院（ETH）與赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）合作；在柏林參加過(guò)阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）的講座；在哥廷根大學(xué)給大數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）當(dāng)助手；在普林斯頓與和艾倫·圖靈（Alan Turing）、奧斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）共事，在哥本哈根與尼爾斯·玻爾（Niels Bohr）共事；在洛斯阿拉莫斯與理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）和羅伯特·奧本海默（J. Robert Oppenheimer）關(guān)系密切。
1933年，馮·諾伊曼移民美國(guó)。他一生都致力于拓展認(rèn)知，追求創(chuàng)新，同時(shí)也享受生活的樂(lè)趣。據(jù)他的朋友波蘭裔數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家斯塔尼斯拉夫·烏拉姆（Stanis?aw Ulam）說(shuō)，他結(jié)過(guò)兩次婚，很富有，喜歡昂貴的衣服、烈酒、快車和黃色笑話。馮·諾伊曼去世后，為他撰寫傳記的作者諾曼·麥克雷（Norman Macrae）回憶道，人們幾乎是不由自主地喜歡上了他，即使是那些不同意他保守政治觀點(diǎn)的人（Regis, 1992）。
本文旨在突出“約翰尼”馮·諾伊曼的一些令人難以置信的壯舉。敬請(qǐng)快樂(lè)地閱讀!
馮·諾伊曼（Neumann János Lajos，英文為John Louis Neumann）于1903年12月28日降臨在匈牙利布達(dá)佩斯的一個(gè)富有的猶太銀行家家庭，不過(guò)他們不守猶太教規(guī)。馮·諾伊曼的成長(zhǎng)經(jīng)歷可以說(shuō)是十分優(yōu)越。他的父親擁有法學(xué)博士學(xué)位。他在布達(dá)佩斯Bajcsy-Zsilinszky街62號(hào)坎-海勒（Kann-Heller）辦公室頂樓的一套有著18個(gè)房間的公寓里長(zhǎng)大（Macrae, 1992）。
馮·諾伊曼 7歲時(shí)（1910年）
小約翰是個(gè)神童。從很小的時(shí)候起，就有關(guān)于小約翰能力的奇怪故事: 6歲時(shí)能心算兩個(gè)八位數(shù)的運(yùn)算，用古希臘語(yǔ)交談（Henderson, 2007）；8歲精通微積分（Nasar, 1998）；12歲時(shí)能讀懂領(lǐng)會(huì)博雷爾（émile Borel）的大作 Méthodes et problèmes de la théorie des fonctions（《函數(shù)論的方法和問(wèn)題》；Leonard, 2010）。傳聞馮·諾伊曼擁有超強(qiáng)的記憶力，能夠根據(jù)要求回憶起整本小說(shuō)和幾頁(yè)電話簿。這種天賦使他能夠積累幾乎百科全書式的知識(shí)，如伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)（Peloponnesian Wars）的歷史、圣女貞德審判和拜占庭歷史（Leonard，2010）。普林斯頓的一位教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，在他30多歲的時(shí)候，約翰尼在拜占庭歷史方面的專業(yè)知識(shí)比他的還多（Blair, 1957）。
馮·諾伊曼11歲時(shí)與表妹 Katalin Alcsuti圖片來(lái)源：Nicholas Vonneuman攝
諾伊曼兄弟三人，從左至右：Miklós （1911–2011）, Mihály （1907–1989）與 János Lajos （1903–1957）。“他的非凡能力之一就是絕對(duì)的記憶能力。據(jù)我所知，馮·諾伊曼在讀過(guò)一本書或一篇文章后，可以一字不差地引述；而且，他能在多年之后毫不遲疑地做到這一點(diǎn)。他還能以絲毫不減的速度將原文翻譯成英文。有一次，我問(wèn)他《雙城記》是怎么開頭的，想要測(cè)試他的能力。然后，他立即開始背誦第一章，沒(méi)有任何停頓，直到背了大概十到十五分鐘讓他停下來(lái)才結(jié)束。——摘自諾伊曼Herman Goldstein，The Computer from Pascal to von Neumann（《計(jì)算機(jī)：從帕斯卡到馮·諾伊曼》，1980）馮·諾伊曼的父親馬克斯是一位非傳統(tǒng)型的家長(zhǎng)，據(jù)說(shuō)他會(huì)把日常的銀行決策帶回家，詢問(wèn)孩子們會(huì)如何應(yīng)對(duì)特定的投資機(jī)會(huì)和資產(chǎn)負(fù)債風(fēng)險(xiǎn)（Macrae, 1992）。直到1914年，馮·諾伊曼都按照當(dāng)時(shí)匈牙利的習(xí)俗在家接受教育。從11歲開始，他進(jìn)入布達(dá)佩斯以德語(yǔ)教學(xué)的路德教會(huì)學(xué)校（Lutheran Gymnasium）。他在這所高中一直讀到1921年。著名的是，他和匈牙利另外三個(gè)“火星人（The Martians）”的高中時(shí)間重疊。（譯者注：“火星人”指20世紀(jì)上半葉移民美國(guó)的杰出匈牙利學(xué)者，表示來(lái)自小國(guó)卻智慧非凡。西拉德曾說(shuō)匈牙利就像火星人的前線。）
- 利奧·西拉德（Leo Szilard），1908-16年就讀于在文理中學(xué)；物理學(xué)家，構(gòu)想出核鏈?zhǔn)椒磻?yīng)，并在1939年底致信美國(guó)總統(tǒng)給羅斯福，也就是著名的愛因斯坦-西拉德信件，促成了曼哈頓計(jì)劃的形成——最終建造出第一顆原子彈。
- 尤金·維格納（Eugene Wigner），1913-21年就讀于路德教會(huì)學(xué)校；1963年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主，曾致力于曼哈頓計(jì)劃，特別是對(duì)原子核理論、基本粒子理論有重要貢獻(xiàn)，提出了量子力學(xué)中的維格納定理。
- 愛德華·泰勒（Edward Teller），1918-26年就讀于明塔中學(xué)；“氫彈之父”，曼哈頓計(jì)劃的早期成員，在核物理、分子物理、光化學(xué)和表面物理等多個(gè)領(lǐng)域有杰出貢獻(xiàn)。
他們的年齡和興趣都相似，但性格并不相同，正如Macrae（1992）所寫：“這四名布達(dá)佩斯人雖然有著相似背景卻各不相同。他們只是在智識(shí)能力上以及職業(yè)生涯的性質(zhì)上彼此相似。維格納……害羞、極為謙虛、安靜。泰勒，在經(jīng)歷了一生成功的爭(zhēng)議之后，是一個(gè)情緒化的、外向之人，并且不會(huì)掩飾自己的光芒。而西拉德則熱情奔放，性情乖戾，脾氣暴躁，熱衷活動(dòng)。約翰尼……都不是。約翰尼最慣常的動(dòng)機(jī)是，他要努力使下一分鐘成為他頭腦中任何智力活動(dòng)中最富有成效的一分鐘。
——摘自Norman Macrae，John von Neumann，1992（中譯本為《天才的拓荒者——馮·諾伊曼傳》，下同）
盡管如此，因?yàn)樗麄兌家泼竦矫绹?guó)并參與了曼哈頓計(jì)劃，這四個(gè)人還是斷斷續(xù)續(xù)地合作。在馮·諾伊曼1921年進(jìn)入大學(xué)時(shí)，他已經(jīng)和他的導(dǎo)師之一米哈伊爾·費(fèi)科特（Mikhail Fekete）寫了一篇關(guān)于“關(guān)于某種多項(xiàng)式根的位置的Fejér定理的推廣”的論文（Ulam, 1958）。據(jù)報(bào)道，費(fèi)科特和Laszló Rátz（路德教會(huì)學(xué)校的老師）注意到了馮·諾伊曼，并開始輔導(dǎo)他大學(xué)水平的數(shù)學(xué)。據(jù)烏拉姆說(shuō)，馮·諾伊曼在18歲的時(shí)候就已經(jīng)被認(rèn)為是一位成熟的數(shù)學(xué)家了。對(duì)于馮·諾伊曼16歲時(shí)寫的一篇早期集合論論文，亞伯拉罕·弗倫克爾（Abraham Fraenkel，Zermelo-Fraenkel集合論的創(chuàng)立者之一）后來(lái)自己說(shuō)（Ulam, 1958）：大約在1922-23年，我當(dāng)時(shí)是馬爾堡大學(xué)的教授，收到柏林的埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）教授的信……有一份陌生作者的很長(zhǎng)的手稿，署名是馮·諾伊曼，題目是Die Axiomatisierung der Mengerlehre，這是他最終的博士論文，直到1928年才在期刊上發(fā)表……我想表達(dá)一下我的觀點(diǎn)，因?yàn)檫@似乎根本無(wú)法理解。我并不認(rèn)為自己什么都理解，但足以看出這是一部杰出的作品，我可以認(rèn)出這是“獅子的爪子”。而要回答這些問(wèn)題，我邀請(qǐng)這位年輕的學(xué)者到馬爾堡訪問(wèn)，和他一起討論，并強(qiáng)烈建議他準(zhǔn)備一篇非正式的論文來(lái)輔以解釋這篇技術(shù)性很強(qiáng)的文章，強(qiáng)調(diào)針對(duì)問(wèn)題的新途徑及其基本結(jié)果。為此他寫了一篇題為Eine Axiomatisierung der Mengerlehre（《門格勒的公理》）的文章，之后我于1925年發(fā)表了它。
大學(xué)時(shí)代（1921-1926）
正如Macrae（1992）所述，約翰尼總有一天會(huì)上大學(xué)，這是毫無(wú)疑問(wèn)的。約翰尼的父親起初希望他追隨自己的腳步，成為一名收入豐厚的金融家，他擔(dān)心從事數(shù)學(xué)職業(yè)“財(cái)務(wù)穩(wěn)定性”問(wèn)題。然而，在利波特·費(fèi)耶爾（Lipót Fejér）和魯?shù)婪颉W特維（Rudolf Ortvay）等匈牙利數(shù)學(xué)家的鼓勵(lì)下，他的父親最終默許，決定讓兒子追求自己的愛好，并資助他出國(guó)學(xué)習(xí)。約翰尼顯然同意他父親的意見，最初決定從事化學(xué)工程（更容易進(jìn)入產(chǎn)業(yè)界）。但由于他對(duì)化學(xué)一竅不通，學(xué)校安排他在柏林大學(xué)攻讀兩年的非學(xué)位化學(xué)課程。從1921年至1923年，他確實(shí)這么學(xué)了兩年。之后馮·諾伊曼參加并通過(guò)了著名的蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院（ETH Zurich）的入學(xué)考試。他仍然對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，同時(shí)還進(jìn)入布達(dá)佩斯的帕茲馬尼·彼得大學(xué)（University Pázmány Péter，現(xiàn)為羅蘭大學(xué)）攻讀數(shù)學(xué)博士學(xué)位。他的博士論文是在費(fèi)耶爾指導(dǎo)下撰寫的，研究了康托集合理論的公理化。由于這時(shí)他已在柏林開始正式學(xué)習(xí)化學(xué)，他基本上是在另一邊缺席的情況下完成博士學(xué)位的，只有在每個(gè)學(xué)期結(jié)束時(shí)才出現(xiàn)在布達(dá)佩斯參加考試。在柏林期間，他與埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）在集合理論方面合作，還參加了物理學(xué)課程，包括愛因斯坦教授的統(tǒng)計(jì)力學(xué)。從1923年開始，他在ETH繼續(xù)他的化學(xué)和數(shù)學(xué)研究。“顯然，一篇博士論文和通過(guò)考試并不能算作多大成就。”
在數(shù)學(xué)方面，他首先與德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾研究了希爾伯特的一致性理論。馮·諾伊曼最終以化學(xué)工程師的身份從ETH畢業(yè)，并于1926年以優(yōu)異成績(jī)從布達(dá)佩斯大學(xué)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，年僅24歲。“一次我在蘇黎世給高年級(jí)學(xué)生開研討會(huì)，馮·諾伊曼也在班上。我提到一個(gè)定理，并說(shuō)它還沒(méi)有被證明，可能很難。馮·諾伊曼什么也沒(méi)說(shuō)，但五分鐘后他舉起了手。然后我叫了他，他走到黑板前，寫下了證明。在那之后，我就害怕馮·諾伊曼了?！?/span>
——喬治·波利亞（George Pólya，匈牙利數(shù)學(xué)家，“火星人”之一）
馮·諾伊曼向國(guó)際教育委員會(huì)申請(qǐng)獎(jiǎng)學(xué)金（1926年）馮·諾伊曼向洛克菲勒資助的國(guó)際教育委員會(huì)（上圖）申請(qǐng)為期六個(gè)月的獎(jiǎng)學(xué)金，以便在哥廷根大學(xué)繼續(xù)他的研究。他在申請(qǐng)中提到，匈牙利語(yǔ)、德語(yǔ)、英語(yǔ)、法語(yǔ)和意大利語(yǔ)是他的口語(yǔ)語(yǔ)言，同時(shí)還附有理查德·柯朗（Richard Courant）、外爾和希爾伯特的推薦信。這三位是當(dāng)時(shí)世界上最重要的數(shù)學(xué)家（Leonard, 2010）。1926年秋天，約翰尼來(lái)到哥廷根，繼續(xù)在希爾伯特指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，希爾伯特是當(dāng)時(shí)世界上最重要的數(shù)學(xué)家。據(jù)Leonard（2010）的說(shuō)法，馮·諾伊曼最初被希爾伯特在關(guān)于所謂的元數(shù)學(xué)（也被稱為形式主義）的辯論中的立場(chǎng)所吸引，這也是促使他跟隨希爾伯特學(xué)習(xí)的原因。特別是，在他的獎(jiǎng)學(xué)金申請(qǐng)中，他寫下了自己的意愿（Leonard，2010）：“對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和集合的一般理論的研究，特別是希爾伯特的非沖突性理論……，研究旨在澄清集合的一般理論的矛盾性質(zhì)，從而牢固地建立數(shù)學(xué)的經(jīng)典基礎(chǔ)。這種研究使人們有可能批判性地解釋數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的疑問(wèn)?！?/span>
這非常符合希爾伯特的風(fēng)格和語(yǔ)言，馮·諾伊曼很可能指的是19世紀(jì)80年代康托爾（Georg Cantor）提出的關(guān)于無(wú)限集合的本質(zhì)的基本問(wèn)題。馮·諾伊曼，以及威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）和保羅·伯奈斯（Paul Bernays）最終成為希爾伯特在闡述1918年提出的“決策問(wèn)題（Entscheidungsproblem）”時(shí)的關(guān)鍵助手。到哥廷根的時(shí)候，馮·諾伊曼已經(jīng)對(duì)這個(gè)話題很熟悉了，除了博士論文，他已經(jīng)在ETH發(fā)表了兩篇相關(guān)的論文。馮·諾伊曼在20多歲時(shí)寫了一系列關(guān)于集合論和邏輯的論文：第一篇集合論論文題為“Zur Einführung der transfiniten Zahlen（《論超限數(shù)的引入》，1923年）”，將康托爾1897年對(duì)序數(shù)的定義視為良好有序集的序類型。在本文中，馮·諾伊曼引入了一種新的序數(shù)理論，將序數(shù)視為前面序數(shù)的集合（Van Heijenoort, 1970）。第二篇集合論論文題為“Eine Axiomatisierung der Mengenlehre （《集合理論的公理化》，1925年）”。這是第一篇介紹了后來(lái)被稱為von Neumann-Bernays-G?del集合理論（NBG）的論文，首次引入了以函數(shù)和參數(shù)的基本概念定義的類的概念。在這篇論文中，馮·諾伊曼站在數(shù)學(xué)辯論的基礎(chǔ)上，反對(duì)布勞威爾（L. E. J. Brouwer）和外爾 “犧牲大量數(shù)學(xué)和集合理論”的意愿，以及邏輯學(xué)家“試圖在可約性公理上建立數(shù)學(xué)”。相反，他主張策梅洛（Ernst Zermelo）和弗倫克爾（Abraham Fraenkel）的公理方法，在馮·諾伊曼看來(lái)，這種方法用嚴(yán)謹(jǐn)取代了模糊（Leonard, 2010）。第三篇論文“Az általános halmazelmélet axiomatikus felépitése（《廣義集合論的公理結(jié)構(gòu)》，1926年）”，是他的博士論文，其中包含的主要觀點(diǎn)將在他的第五篇論文中首次以德語(yǔ)發(fā)表。馮·諾伊曼在第四篇集合論論文“Die Axiomatisierung der Mengenlehre（《集論的公理化》，1928年）”中，正式提出了他自己的公理化系統(tǒng)。它的公理只有一頁(yè)紙，是當(dāng)時(shí)發(fā)展起來(lái)的最簡(jiǎn)潔的集合理論公理，并為后來(lái)哥德爾（Kurt G?del）和博內(nèi)斯（Paul Berneys）發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。他的關(guān)于集合論的第五篇論文“über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre（《關(guān)于超限歸納的定義和一般集合論的相關(guān)問(wèn)題》，1928年）”，證明了超限歸納定義的可能性。也就是說(shuō)，在此論文中，馮·諾伊曼論證了公理對(duì)于消除集合論悖論的重要性，證明了當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)集合的基數(shù)與所有集合的基數(shù)不相同時(shí)，它才不會(huì)導(dǎo)致矛盾，這意味著選擇公理（Leonard，2010）。他在第六篇集合論論文“über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre（《關(guān)于毋庸置疑的數(shù)量問(wèn)題》，1929年）”中討論了集合論中的相對(duì)一致性問(wèn)題（Van Heijenoort，1970）。總結(jié)起來(lái)，馮·諾伊曼對(duì)集合理論的主要貢獻(xiàn)是后來(lái)的von·Neumann-Bernays-G?del集合理論（NBG），這是一個(gè)公理化的集合理論，被認(rèn)為是澤梅洛-弗倫克爾集合理論（ZFC）的保守?cái)U(kuò)展。它引入了類的概念（由一個(gè)公式定義的集族，此公式中只取遍集合），并可以定義大于集合的類，例如所有集合的類和所有序數(shù)的類。馮·諾伊曼1923年的論文。來(lái)源：Zur Einführung der transfiniten Zahlen Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, sectio scientiarum mathematicarum, 1, pp. 199–208.
受到康托爾的研究啟發(fā)，以及策梅洛在1908年的集合論公理化，和弗倫克爾和斯庫(kù)萊姆（Thoralf A. Skolem）對(duì)策梅洛集合論的批判等工作的影響，馮·諾伊曼為策梅洛集合論的一些問(wèn)題提供了解決方案，導(dǎo)致了策梅洛-弗倫克爾集合理論（ZFC）的最終發(fā)展。他幫助解決的問(wèn)題包括：
- 策梅洛集合論中發(fā)展康托序數(shù)理論的問(wèn)題。馮·諾伊曼使用有序的集合重新定義序數(shù)，而這些有序的集合運(yùn)用了所謂的∈-關(guān)系。
- 找到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)識(shí)別太大而不能作為集合的類的問(wèn)題。馮·諾伊曼引入了一個(gè)準(zhǔn)則，即當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)類可以映射到所有集合的類上時(shí)，這個(gè)類就太大了而不是集合。
- 策梅洛在他的分離定理中關(guān)于"確定命題函數(shù)"的概念有些不精確。馮·諾伊曼用他的函數(shù)形式化了這個(gè)概念，而構(gòu)造函數(shù)只需要有限的公理。
- 策梅洛的空集和無(wú)限集的基礎(chǔ)問(wèn)題，迭代配對(duì)、并集、冪集、分離和選擇的公理來(lái)生成新的集合。弗倫克爾引入了一個(gè)公理來(lái)排除集合。馮·諾伊曼在他的正則性公理中修改了弗倫克爾的陳述，排除了非充分基礎(chǔ)的集合。
當(dāng)然，隨著弗倫克爾，斯科萊姆（Thoralf Skolem），希爾伯特和馮·諾伊曼對(duì)策梅洛集合理論的批判和進(jìn)一步的修正，1930年，一位名叫哥德爾的年輕數(shù)學(xué)家發(fā)表了一篇論文，闡述了他的不完備定理。這篇論文有力地終結(jié)了馮·諾伊曼對(duì)形式集合理論的努力，以及希爾伯特倡導(dǎo)的形式主義綱領(lǐng)。當(dāng)哥德爾第一次展示它時(shí)，馮·諾伊曼恰好在觀眾席中:在希爾伯特演講前的一次數(shù)學(xué)會(huì)議上，一位安靜、默默無(wú)聞的年輕人，宣布了一項(xiàng)將永遠(yuǎn)改變數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的結(jié)果，他叫庫(kù)爾特·哥德爾，這時(shí)他獲得博士學(xué)位僅僅一年。他用撒謊者悖論“這一陳述是錯(cuò)誤的”，以粗略證明，對(duì)于數(shù)論（Peano算術(shù)）的任何有效公理化一致擴(kuò)展T，都有一個(gè)句子σ，在T中是不可證明的。
在場(chǎng)的觀眾之一，馮·諾伊曼立刻明白了哥德爾不完備性定理的重要性。馮·諾伊曼在會(huì)議上報(bào)告了希爾伯特證明理論的綱領(lǐng)，并意識(shí)到此綱領(lǐng)已經(jīng)結(jié)束了。在接下來(lái)的幾周里，馮·諾伊曼認(rèn)識(shí)到，通過(guò)對(duì)哥德爾第一定理的證明進(jìn)行算術(shù)化，可以得到一個(gè)更好的結(jié)果：沒(méi)有這樣的形式系統(tǒng)能夠證明其自身的一致性。幾周后，他把他的證明帶給了哥德爾，哥德爾感謝他，并禮貌地告訴他，他已經(jīng)提交了第二個(gè)不完備性定理供發(fā)表?！?/span>
——摘自Copeland等，Computability: Turing, G?del, Church and Beyond（《可計(jì)算性：圖靈、哥德爾、丘奇和超越》，2015）
馮·諾伊曼作為哥德爾的終身支持者之一，他后來(lái)說(shuō)：“哥德爾是絕對(duì)不可替代的。自成一等?！?/span>到1927年底，馮·諾伊曼已經(jīng)發(fā)表了12篇重要的數(shù)學(xué)論文。1927年12月，他獲得了獨(dú)立大學(xué)教學(xué)資格（Habilitation）。1928年，25歲的他開始在柏林大學(xué)以編外講師（Privatdozent，PD；譯者注：指在通過(guò)了教授任教資格，可以指導(dǎo)博士但未獲教授職位的頭銜，且無(wú)雇傭關(guān)系）的身份講課，成為柏林大學(xué)歷史上最年輕的編外講師。“到1927年中期，約翰尼這只小鷹顯然渴望從希爾伯特的巢中翱翔。約翰尼花了他的本科時(shí)間來(lái)解釋希爾伯特的偉大正確之處，但他早已進(jìn)入了研究生階段，不得不解釋希爾伯特的錯(cuò)誤之處?！?/span>
——摘自Norman Macrae，John von Neumann（1992）
大約在對(duì)集合理論做出貢獻(xiàn)的同時(shí)，馮·諾伊曼還證明了一個(gè)定理，即零和博弈的極大極小定理，這為后來(lái)的博弈論這個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的新領(lǐng)域奠定了基礎(chǔ)。極小極大定理可以總結(jié)為:極大極小定理提供了極大極小不等式也是一個(gè)等式的條件，即每個(gè)有限的、零和的二人對(duì)策都有最優(yōu)的混合策略。這一證明發(fā)表在1928年的Zur theororie der Gesellschaftsspiele（《戰(zhàn)略博弈理論》）上。后來(lái)馮·諾伊曼與經(jīng)濟(jì)學(xué)家奧斯卡·摩根斯特恩合作，出版了關(guān)于這種合作的零和博弈的權(quán)威著作《博弈理論與經(jīng)濟(jì)行為》（Theory of games and Economic Behavior, 1944）。《博弈理論與經(jīng)濟(jì)行為》（第一版）
圖片來(lái)源: Whitmore Rare Books
到1929年底，馮·諾伊曼發(fā)表的主要論文數(shù)量已經(jīng)上升到32篇，幾乎平均每月發(fā)表一篇重要的論文。1929年，他短暫地成為漢堡大學(xué)的一名編外講師，在那里他發(fā)現(xiàn)成為一名教授的前景會(huì)更好。在馮·諾伊曼晚年提交給美國(guó)國(guó)家科學(xué)院的候選表單中，他將自己在哥廷根（1926年）和柏林（1927-1929年）的量子力學(xué)研究列為“最重要的”?！傲孔恿W(xué)”這個(gè)術(shù)語(yǔ)，很大程度上是由哥廷根培養(yǎng)的23歲的天才維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）在前一年提出的，但當(dāng)時(shí)仍然受到激烈的爭(zhēng)論。同年，馮·諾伊曼來(lái)到哥廷根。當(dāng)時(shí)在瑞士工作的薛定諤（Erwin Schr?dinger）拒絕了海森堡的公式，認(rèn)為它是完全錯(cuò)誤的（Macrae, 1992）。故事是這樣的：1926年，約翰尼在哥廷根的最初幾周，海森堡就自己的理論與薛定諤的理論之間的區(qū)別進(jìn)行了演講。上了年紀(jì)的數(shù)學(xué)教授希爾伯特問(wèn)他的物理助理洛塔爾·諾德海姆（Lothar Nordheim），海森堡這個(gè)年輕人到底在說(shuō)什么。諾德海姆給希爾伯特教授寄了一篇后者仍未看懂的論文。引用諾德海姆自己的話，正如Steve J.Heims（譯者注：John von Neumann and Norbert Wiener: From Mathematics to the Technologies of Life and Death一書的作者）在書中所記錄的那樣：“當(dāng)馮·諾伊曼看到這些時(shí)，他在幾天內(nèi)就把它們變成了優(yōu)雅的公理形式，這很合希爾伯特的意?！弊屜柌馗吲d的是，約翰尼的數(shù)學(xué)闡述中大量使用了希爾伯特自己提出的希爾伯特空間的概念。
——摘自Norman Macrae，John von Neumann（1992）
從這件事后，在接下來(lái)的幾年里，馮·諾伊曼發(fā)表了一系列論文。這些論文將為量子力學(xué)建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)框架，即現(xiàn)在所說(shuō)的狄拉克-馮·諾伊曼公理（Dirac-von Neumann axioms）。正如Van Hove（1958）所寫：當(dāng)馮·諾伊曼開始研究量子力學(xué)的形式框架時(shí)，這個(gè)理論已經(jīng)有了兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)表述: 海森堡、玻恩（Max Born）和約當(dāng)（Pascual Jordan）的“矩陣力學(xué)”，以及薛定諤的“波動(dòng)力學(xué)”。這些公式的數(shù)學(xué)等價(jià)性是由薛定諤建立起來(lái)的，它們都作為特例被嵌入到狄拉克和約當(dāng)提出的一般形式中，通常被稱為“變換理論（transformation theory）”。
然而，這種形式相當(dāng)繁瑣，它依賴于定義不明確的數(shù)學(xué)對(duì)象，即著名的狄拉克函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)?！T·諾伊曼）很快意識(shí)到希爾伯特空間及其線性算子的這些抽象、公理化的理論可以提供一個(gè)更自然的框架。
——摘自Léon Van Hove, Von Neumann's Contributions to Quantum Theory（《馮·諾伊曼對(duì)量子理論的貢獻(xiàn)》，1958）
在1927-31年間，馮·諾伊曼發(fā)表了五篇關(guān)于量子力學(xué)的極具影響力的論文:- Neumann, J. von. "Mathematische Begründung der Quantenmechanik." Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1927 （1927）: 1-57.（《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》）
- Neumann, J. von. "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik." Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1927 （1927）: 245-272.（《量子力學(xué)的概率理論》）
- Neumann, J. von. "Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten." Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1927 （1927）: 273-291.（《量子力學(xué)量的熱力學(xué)》）
- Neumann, J. von. "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren." Mathematische Annalen 102 （1930）: 49-131.（《厄米特泛函算子的一般特征值理論》）
- Neumann, J. von. "Die Eindeutigkeit der Schr?dingerschen Operatoren." Mathematische Annalen 104 （1931）: 570-578.（《薛定諤算子的唯一性》）
用保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）的話來(lái)說(shuō)，他的基本見解是“希爾伯特空間中向量的幾何與量子力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的結(jié)構(gòu)具有相同的形式屬性”（Macrae, 1992），這是海森堡、玻爾或薛定諤都沒(méi)有的見解。也就是說(shuō)，馮·諾伊曼意識(shí)到量子系統(tǒng)的狀態(tài)可以用復(fù)的希爾伯特空間的點(diǎn)來(lái)表示。一般來(lái)說(shuō)，即使對(duì)于單個(gè)粒子，也可以是無(wú)限維度的。在量子力學(xué)這種形式的觀點(diǎn)中，可觀測(cè)的量，如位置或動(dòng)量，被表示為作用于與量子系統(tǒng)相關(guān)的希爾伯特空間的線性算子（Macrae, 1992）。例如，在馮·諾伊曼的系統(tǒng)中，不確定性原理被轉(zhuǎn)化為兩個(gè)對(duì)應(yīng)算子的非交換性。綜上所述，馮·諾伊曼對(duì)量子力學(xué)的貢獻(xiàn)大致可以概括為兩方面：量子理論的數(shù)學(xué)框架：其中物理系統(tǒng)的狀態(tài)由希爾伯特空間向量和作用于它們的無(wú)界厄米特算符的可測(cè)量（如位置、動(dòng)量和能量）描述；量子理論的統(tǒng)計(jì)方面：在用希爾伯特空間中的向量和算子來(lái)表述量子力學(xué)的過(guò)程中，馮·諾伊曼還給出了如何從統(tǒng)計(jì)學(xué)上理解該理論的基本規(guī)則（Van Hove, 1958）。也就是說(shuō)，在一個(gè)給定量子態(tài)的系統(tǒng)上測(cè)量一個(gè)特定物理量的結(jié)果，其概率分布應(yīng)該用表示狀態(tài)的向量和表示物理量的算子的譜分解來(lái)表示。馮·諾伊曼《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》第一版（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik，1932）
他在量子力學(xué)方面的工作最終被收錄在1932年出版的《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik，編者注：相關(guān)內(nèi)容參見《量子世紀(jì)的創(chuàng)世余暉——讀馮·諾依曼<量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)>》）一書中，這本書被認(rèn)為是量子力學(xué)的第一個(gè)嚴(yán)格而完整的數(shù)學(xué)表述，極具影響力。量子力學(xué)的確非常幸運(yùn)，在1925年被發(fā)現(xiàn)后的最初幾年，就吸引了像馮·諾伊曼這樣的數(shù)學(xué)天才的興趣。結(jié)果，該理論的數(shù)學(xué)框架得到了發(fā)展，其全新的解釋規(guī)則的正式形式被一個(gè)人在兩年的時(shí)間里（1927-1929）就分析了出來(lái)。
——Van Hove （1958）
在集合論和量子力學(xué)方面的工作之后，馮·諾伊曼還身在柏林，此時(shí)他將注意力轉(zhuǎn)向了代數(shù)，特別是關(guān)于函數(shù)空間上的線性算子理論。最常見的例子是微積分中的微分和積分算子。他發(fā)明了后來(lái)所謂的馮·諾伊曼代數(shù)，引入了算子環(huán)的研究:von Neumann代數(shù)是由希爾伯特空間上有界算子構(gòu)成的*-代數(shù)，它在弱算子拓?fù)湎率欠忾]的，且包含恒等算子。
這項(xiàng)工作最終發(fā)表在1930年的《數(shù)學(xué)年刊》（Mathematische Annalen）上，題目是“Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren（《關(guān)于泛函運(yùn)算的代數(shù)和正規(guī)算子的理論》）”。本文譯自J?rgen Veisdal，The Unparalleled Genius of John von Neumann
https://www./the-unparalleled-genius-of-john-von-neumann-791bb9f42a2d
