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馮·諾伊曼 李旭輝 (華東師范大學(xué)) 馮·諾伊曼，J．(von Neumann，John)1903年12月28日生于匈牙利布達(dá)佩斯；1957年2月8日卒于美國(guó)華盛頓．?dāng)?shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)． 馮·諾伊曼出生于猶太人家庭．父親麥克斯·馮·諾伊曼(Max von Neumann)是位富有的銀行家． 1913年，奧匈帝國(guó)皇帝弗朗西斯·約瑟夫一世(Franz Joseph I)授予麥克斯貴族的封號(hào)，諾伊曼家族的姓中便有了“von”字． 馮·諾伊曼自幼受到良好的教育．父親特地聘請(qǐng)了家庭教師，向他系統(tǒng)傳授數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、歷史和自然常識(shí)，而他很早就顯示出超人的記憶力和理解力．傳說(shuō)他6歲能心算8位數(shù)除法，8歲掌握了微積分，12歲時(shí)還學(xué)習(xí)了E．波萊爾(Borel)的《函數(shù)論教程》(Lecons sur la th orie des fonctions)． 第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)的1914年，馮·諾伊曼剛滿10歲，被送入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)．他的過(guò)人才智引起了老師L．瑞茲(Ratz)的注意，瑞茲覺(jué)得讓馮·諾伊曼接受傳統(tǒng)的中學(xué)教育是在浪費(fèi)時(shí)間，應(yīng)該對(duì)他進(jìn)行專門的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，使其天才得到充分發(fā)展．瑞茲把馮·諾伊曼推薦給布達(dá)佩斯大學(xué)的J．屈爾沙克(K rschak)教授，屈爾沙克則安排助教M．費(fèi)克特(Fekete)擔(dān)任了他的家庭輔導(dǎo)工作．他發(fā)表的第一篇論文，便是在不到18歲時(shí)與費(fèi)克特合寫的，推廣了切比雪夫(Чеъыдев)多項(xiàng)式求根的費(fèi)耶爾(Fej r)定理．1921年他通過(guò)中學(xué)生畢業(yè)考試時(shí)，已被公認(rèn)為前途遠(yuǎn)大的數(shù)學(xué)新秀． 這之后的四年，馮·諾伊曼先后在柏林大學(xué)和瑞士蘇黎世的同業(yè)高等技術(shù)學(xué)院攻讀化學(xué)，同時(shí)保留著布達(dá)佩斯大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)籍．每學(xué)期末，他都要從歐洲趕回布達(dá)佩斯，探望家人并參加數(shù)學(xué)考試．1925年和1926年春，他先后獲得了蘇黎世的化學(xué)工程學(xué)位和布達(dá)佩斯大學(xué)的數(shù)學(xué)博士學(xué)位． 在柏林，馮·諾伊曼參加過(guò)A．愛(ài)因斯坦(Einstein)關(guān)于統(tǒng)計(jì)力學(xué)的講座并跟隨E．施密特(Schmidt)學(xué)習(xí)；在蘇黎世，他與H．外爾(Weyl)和G．波利亞(P lya)都有過(guò)密切接觸．馮·諾伊曼曾說(shuō)，對(duì)他早年學(xué)術(shù)思想影響最大的數(shù)學(xué)家，便是外爾和施密特． 他還數(shù)次前往格丁根大學(xué)，拜訪大數(shù)學(xué)家D．希爾伯特(Hi－lbert)．他被希爾伯特的量子力學(xué)和證明論深深吸引住了．希爾伯特也非常賞識(shí)這位年輕學(xué)者，1926年初他尚未拿到博士學(xué)位時(shí)，希爾伯特就設(shè)法為他謀到了格丁根大學(xué)的訪問(wèn)學(xué)者資格． 1927—1929年，馮·諾伊曼被聘為柏林大學(xué)的義務(wù)講師，其間在集合論、代數(shù)學(xué)和量子理論方面取得了大量研究成果，受到數(shù)學(xué)界的矚目．1929年他轉(zhuǎn)入漢堡大學(xué)任義務(wù)講師．經(jīng)外爾推薦，他于1930年以客座講師的身份來(lái)到美國(guó)普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系，第二年成為該系終身教授．這樣，他每年有一半時(shí)間生活在歐洲，另一半則在美國(guó)度過(guò)． 1933年，高級(jí)研究院在普林斯頓成立．馮·諾伊曼從一開(kāi)始便受聘擔(dān)任研究院的數(shù)學(xué)物理終身教授，年僅29歲，是院內(nèi)最年輕的教授．他在1937年取得了美國(guó)公民權(quán)． 當(dāng)時(shí)，世界經(jīng)濟(jì)正處于大蕭條時(shí)期，戰(zhàn)爭(zhēng)的陰云籠罩著歐洲，而普林斯頓卻成為數(shù)學(xué)和物理學(xué)精英云集之地．在濃厚的學(xué)術(shù)氣氛和安定的生活中，馮·諾伊曼一直全身心地從事著研究工作．1932年，他從數(shù)學(xué)上總結(jié)了量子力學(xué)的發(fā)展，出版《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik)一書，同時(shí)推出了著名的弱遍歷定理．1937年他發(fā)表關(guān)于算子環(huán)的理論，還確立了連續(xù)幾何學(xué)．希爾伯特第五問(wèn)題的部分解決，也是他在這個(gè)時(shí)期的主要成就之一． 1930年。馮·諾伊曼與M·柯維斯(Kovèsi)結(jié)婚，女兒瑪麗娜(Marina)在1935年出生．兩年后，他們的婚姻破裂．1938年夏，馮·諾伊曼回布達(dá)佩斯講學(xué)、探親，與克拉拉·丹(KlaraDan)結(jié)婚并于年底一起來(lái)到了普林斯頓．克拉拉后來(lái)成為首批為計(jì)算機(jī)編制數(shù)學(xué)問(wèn)題碼的學(xué)者之一． 第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，馮·諾伊曼的科學(xué)生涯發(fā)生了轉(zhuǎn)折．1940年，他被阿伯丁彈道實(shí)驗(yàn)研究所聘為科學(xué)顧問(wèn)，1941年受聘任海軍兵工局顧問(wèn)．從1943年底起，他又以顧問(wèn)身份參加了洛斯阿拉莫斯研究所的工作，指導(dǎo)原子彈最佳結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，探討實(shí)現(xiàn)大規(guī)模熱核反應(yīng)的方案．在數(shù)學(xué)上，除了解決各種數(shù)值計(jì)算問(wèn)題外他的最重要成就是1944年正式創(chuàng)立了對(duì)策論和現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)． 大戰(zhàn)后期，他轉(zhuǎn)向電子計(jì)算機(jī)的研究．1944年夏，他參觀了尚未竣工的第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)ENIAC，并參加了為改進(jìn)計(jì)算機(jī)性能而舉行的一系列專家會(huì)議．此后一年里，他提出電子計(jì)算機(jī)及程序設(shè)計(jì)的嶄新思想，制訂出兩份全新方案——EDVAC機(jī)方案和IAS機(jī)方案．1951年，IAS機(jī)研制成功，證明了他的理論的正確性． 大戰(zhàn)結(jié)束后，馮·諾伊曼擔(dān)任高級(jí)研究院計(jì)算機(jī)研究所所長(zhǎng)，同時(shí)繼續(xù)在美國(guó)海軍武器實(shí)驗(yàn)室等軍事機(jī)關(guān)中服務(wù)．1954年10月，他被任命為美國(guó)原子能委員會(huì)委員，便于次年辭去了在高級(jí)研究院的職務(wù)，由工作、生活了23年的普林斯頓遷居到華盛頓． 從40年代末直到逝世前，馮·諾伊曼還集中研究了自動(dòng)機(jī)理論，包括對(duì)各種人造自動(dòng)機(jī)和天然自動(dòng)機(jī)的比較，解決自動(dòng)機(jī)的自適應(yīng)、自繁殖和自恢復(fù)等問(wèn)題．1951年發(fā)表“自動(dòng)機(jī)的一般邏輯理論”(The general and logical theory of automata)，開(kāi)辟了計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域，并為以后人工智能的研究奠定了基礎(chǔ)． 1955年夏，馮·諾伊曼被確診患有骨癌，病情迅速惡化．他在輪椅上堅(jiān)持進(jìn)行思考、寫作，參加學(xué)術(shù)會(huì)議，還為耶魯大學(xué)準(zhǔn)備了希利曼(Hilliman)講座的講稿．1957年2月8日，他在華盛頓陸軍醫(yī)院與世長(zhǎng)辭，享年53歲． 馮·諾伊曼一生擔(dān)任過(guò)許多科學(xué)職位，獲得了眾多榮譽(yù)，最主要的有：1937年獲美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)博歇(B cher)獎(jiǎng)；1947年獲美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)吉布斯(Gibbs)講師席位，并得到功勛獎(jiǎng)?wù)?總統(tǒng)獎(jiǎng))；1951—1953年任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主席；1956年獲愛(ài)因斯坦紀(jì)念獎(jiǎng)及費(fèi)米(Fermi)獎(jiǎng)． 他發(fā)表的學(xué)術(shù)論文共有150余篇，全部收錄在1961年珀格蒙出版社出版的《馮·諾伊曼文集》(Collected works of John vonNeumann)中．其中60篇是純粹數(shù)學(xué)方面的，60篇關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)，20篇屬于物理學(xué)．馮·諾伊曼以其超人的才思和豐碩的學(xué)術(shù)成果，成為一代科學(xué)巨匠． 純 粹 數(shù) 學(xué) 馮·諾伊曼在純粹數(shù)學(xué)方面的工作集中于1925—1940年，主要可分為以下六個(gè)方向。 1．集合論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 本世紀(jì)初，為了克服悖論給G．康托爾(Cantor)集合論帶來(lái)的困難，并系統(tǒng)整理康托爾的理論與方法，人們開(kāi)始致力于公理化方法的研究．1908年，出現(xiàn)了兩個(gè)著名的公理系統(tǒng)：E．策梅羅(Zermelo)的系統(tǒng)[后由A．弗倫克爾(Fraenkel)和A．斯科朗(Skolem)修改補(bǔ)充，成為ZF公理系統(tǒng)]和B．羅素(Russell)的類型論． 馮·諾伊曼很早就對(duì)集合論問(wèn)題感興趣．1923年還在蘇黎世就讀期間，他發(fā)表了自己的第二篇論文“超窮序數(shù)引論”(Zur Einf hrung der transfiniten Ordnungszahlen)，力圖將康托爾的序數(shù)概念“具體化、精確化”．在康托爾的定義中，序數(shù)是良序集的序型，而根據(jù)ZF公理系統(tǒng)，序型的存在性是無(wú)法證明的．馮·諾伊曼借助于ZF公理系統(tǒng)中初始截?cái)嗟母拍詈蜔o(wú)窮公理，給出了序數(shù)及超限序數(shù)形式化的新定義，這種定義一直沿用至今． 此后六七年中，他積極傳播公理化的思想，并試圖建立更具形式化和精確性的公理系統(tǒng)．1923年，他向德國(guó)《數(shù)學(xué)雜志》(Ma－thematische Zeitschrift)編輯部提交了長(zhǎng)篇論文“集合論的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre)，施密特代表編輯部把論文推薦給集合論方面的權(quán)威弗倫克爾．經(jīng)過(guò)與弗倫克爾詳盡地探討，馮·諾伊曼根據(jù)原文寫出一篇介紹性文章“集合論的一種公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre)，于1925年發(fā)表． “集合論的公理化”后來(lái)成為馮·諾伊曼的博士畢業(yè)論文．它所建立的公理體系經(jīng)P．貝爾納斯(Bernays)和K．哥德?tīng)?G del)完善之后，形成了公理化集合論中又一新的系統(tǒng)——NBG系統(tǒng)． NBG系統(tǒng)不像ZF系統(tǒng)那樣，把集合與從屬關(guān)系作為原始概念，并采取限制集合產(chǎn)生的辦法來(lái)達(dá)到排除悖論的目的，也不同于類型論中以集合與層次的語(yǔ)言描述集合體系．它的特點(diǎn)是在“集合”與“屬于”之外，引入了“類”作為不定義概念，比集合的概念更具概括性．類分為集合和真類，規(guī)定真類不能作為類的元素．這樣，就排除了由“所有集合的集合”產(chǎn)生悖論的可能性． 與ZF公理系統(tǒng)相比，NBG系統(tǒng)保留了更多、更有用的論證方法．而且在ZF系統(tǒng)中，包含著由無(wú)窮多條公理組成的公理模式，NBG系統(tǒng)則不含公理模式，是一有窮公理系統(tǒng)，有著如同初等幾何公理那樣簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)，這是它最主要的優(yōu)點(diǎn)． 現(xiàn)已證明，NBG系統(tǒng)是ZF系統(tǒng)的擴(kuò)充．哥德?tīng)栐谧C明選擇公理與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)同其他公理的相容性時(shí)，就受到了NBG系統(tǒng)的啟發(fā)．到今天，NBG系統(tǒng)仍是集合論最好的基礎(chǔ)之一． 與集合論公理化的工作相適應(yīng)，馮·諾伊曼在20年代后期參與了希爾伯特的元數(shù)學(xué)計(jì)劃．1927年的文章“關(guān)于希爾伯特的證明論“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)對(duì)數(shù)學(xué)形式主義的基本概念進(jìn)行了闡釋．它指出，希爾伯特元數(shù)學(xué)計(jì)劃所提出的各種問(wèn)題，雖經(jīng)希爾伯特本人及貝爾納斯、W．阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所進(jìn)展，但從總體上而言仍未得到令人滿意的解決．尤其是阿克曼關(guān)于自然數(shù)論無(wú)矛盾性的證明，不能在古典分析中實(shí)現(xiàn)． 1931年，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ硖岢鲋?，希爾伯特?jì)劃的完全實(shí)現(xiàn)落空了．對(duì)此，馮·諾伊曼并未感到過(guò)分驚奇，因?yàn)樵缭?925年發(fā)表的“集合論的一種公理化”中，他便隱約地預(yù)見(jiàn)到哥德?tīng)柕慕Y(jié)論：任一形式化體系中都存在著本系統(tǒng)內(nèi)無(wú)法判定的命題．原文的最后一句話是：“暫時(shí)，除了陳述集合論本身的缺陷外，我們還能做什么呢？沒(méi)有一種已知的方法可以避免其中的困難．”他認(rèn)為，“由哥德?tīng)柕慕Y(jié)果應(yīng)當(dāng)引出一條新的途徑，去理解數(shù)學(xué)形式主義的作用，而不應(yīng)把它當(dāng)作問(wèn)題的結(jié)束．”他本人對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)保持著長(zhǎng)久的興趣，并在后期關(guān)于計(jì)算機(jī)邏輯設(shè)計(jì)和機(jī)械化證明中得到體現(xiàn)． 2．測(cè)度論 測(cè)度論在馮·諾伊曼的整個(gè)研究工作中并非處于中心地位，但他給出了許多很有價(jià)值的方法和結(jié)果． 在1929年的“一般測(cè)度理論”(Zur allgemeinen Theorie desMasses)一文中，馮·諾伊曼對(duì)群的子集討論了有限可加測(cè)度．n維歐氏空間Rn中的“測(cè)度問(wèn)題”是：Rn的冪集上，是否存在一非負(fù)、正規(guī)化且關(guān)于剛體運(yùn)動(dòng)不變的可加集函數(shù)？F．豪斯多夫(Hau－sdorff)和S．巴拿赫(Banach)證明：測(cè)度問(wèn)題在n為1和2時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解，在其他情況下無(wú)解．這個(gè)結(jié)論給人的感覺(jué)是：當(dāng)維數(shù)由2變?yōu)?時(shí)，空間的特性發(fā)生了根本的、難以捉摸的變化．馮·諾伊曼則指出，問(wèn)題在本質(zhì)上是屬于群論的，造成性質(zhì)差異的根源在于群的變化而非空間的變化．探討測(cè)度問(wèn)題的可解性，需要用到群的可解性這一代數(shù)概念． 他繼續(xù)運(yùn)用群論的思想，分析了豪斯多夫-巴拿赫-塔爾斯基(Tarski)悖論：Rn(n≥3)中兩個(gè)不同半徑的球，可以分別被分解為有限個(gè)互不相交的不可測(cè)子集，使兩球的子集間可建立起兩兩全等的關(guān)系(在n為1或2時(shí)，這種分解不存在)．他解釋說(shuō)，這是因?yàn)樵趎為3或更大時(shí)，正交群包含著自由非阿貝爾(Abel)群，而在小于3時(shí)則不然． 這樣，測(cè)度問(wèn)題便從Rn推廣到了一般的非阿貝爾群．而巴拿赫關(guān)于R2的一切子集使用同一測(cè)度的可能性被證明對(duì)阿貝爾群的所有子集也成立．最后，他得出結(jié)論：所有可解群都是可測(cè)度的(即某種測(cè)度能夠引入到可解群上)． 這篇文章屬于最早將集合論的結(jié)果從歐氏空間推廣到更一般的代數(shù)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中去的工作之一．從那時(shí)起，這種思想方法開(kāi)始受到了更廣泛的重視． 同一時(shí)期，匈牙利數(shù)學(xué)家A．哈爾(Haar)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：在Rn中是否有一種挑選可測(cè)子集的方法，使得每個(gè)子集均與給定的集合等價(jià)，并且選擇過(guò)程保持有限集運(yùn)算？馮·諾伊曼給出了肯定的回答，并把結(jié)論推廣到可測(cè)函數(shù)的情形．這成為解決測(cè)度分解問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)．1935年，他還與M．斯通(Stone)合作，討論了更一般的問(wèn)題：A是一布爾代數(shù)，M為A的理想，何時(shí)存在A的子代數(shù)，使A到A／M的映射限制在子代數(shù)上時(shí)為同構(gòu)？他們給出了存在性的各種充分條件． 另一成果是他在1934年對(duì)緊致群證明了哈爾測(cè)度的唯一性(在相差常數(shù)因子的意義下)．證明過(guò)程中構(gòu)造了緊致群上連續(xù)函數(shù)的“不變平均”(invariant means)，用到不同于哈爾的方法來(lái)引進(jìn)測(cè)度：以光滑測(cè)度m′代替給定的左不變測(cè)度m，m′由下式定義： 其中ω為適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)．m′不但具有m的所有性質(zhì)，且具有右零不變性．這些方法在后來(lái)他與S．博赫納(Bochner)研究可分拓?fù)淙荷洗芷诤瘮?shù)時(shí)得到了系統(tǒng)的應(yīng)用． 1933—1934年，馮·諾伊曼在高級(jí)研究院作過(guò)有關(guān)測(cè)度論的報(bào)告，非常詳細(xì)地闡釋了歐氏空間中勒貝格測(cè)度的古典理論，并推廣到抽象測(cè)度空間中．報(bào)告的內(nèi)容在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)是美國(guó)在測(cè)度論方面的主要資料來(lái)源，1950年由普林斯頓出版社編輯成為《函數(shù)算子》 (Functional operators)一書． 3．遍歷理論 馮·諾伊曼在這一領(lǐng)域的首要成就，是證明了平均遍歷定理(mean ergodic theorem，亦稱弱遍歷定理)．19世紀(jì)70年代，L．玻爾茲曼(Boltzmann)提出了統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的遍歷性假設(shè)，并希望以此為前提，推導(dǎo)出保測(cè)變換的空間平均等于(離散)時(shí)間平均，這就是玻爾茲曼計(jì)劃． 從數(shù)學(xué)上實(shí)現(xiàn)這一計(jì)劃，首先需要證明作為時(shí)間平均的極限的存在性．1931年，B．庫(kù)普曼(Koopman)和A．韋伊(Weil)同時(shí)發(fā)現(xiàn)，由保測(cè)變換誘導(dǎo)出的函數(shù)算子是酉算子．它給馮·諾伊曼以很大啟示．當(dāng)時(shí)，他正致力于算子理論的研究，這一發(fā)現(xiàn)促使他嘗試著用希爾伯特空間的自共軛算子去解決存在性問(wèn)題．很快，他便提出并證明了遍歷理論的第一個(gè)重要定理——平均遍歷定理： ，對(duì)保測(cè)變換T，遍歷平均 依L2的范數(shù)收斂到函數(shù)Pf，其中Ut是T誘導(dǎo)的算子 UTf(x)=f(Tx),xX 而p是L2到Ut不變函數(shù)空間的正交投影． 在這一結(jié)果發(fā)表(1932年)之前，馮·諾伊曼把它介紹給了G．D．伯克霍夫(Birkhoff)和庫(kù)普曼．伯克霍夫?qū)ⅰ耙榔骄鶞y(cè)度”意義下的收斂改善為“處處收斂”，得出了更強(qiáng)的結(jié)論——逐點(diǎn)遍歷定理(pointwise ergodic theorem，亦稱個(gè)體遍歷定理)，并于1931年12月率先發(fā)表． 盡管如此，由于伯克霍夫與庫(kù)普曼在1932年撰寫了“遍歷理論的近期發(fā)展”(Recent contributions to the ergodic theory)，使學(xué)術(shù)界了解到遍歷定理產(chǎn)生的前因后果，馮·諾伊曼的首創(chuàng)性工作得到了肯定． 不久，第33卷《數(shù)學(xué)紀(jì)事》(Annals of mathematics，1932)又刊登了他頗具影響力的文章“古典力學(xué)中的算子方法”(ZurOperatorenmethode in der klassischen Mechanik)，這標(biāo)志著對(duì)遍歷理論系統(tǒng)研究的開(kāi)端． 論文首先給出了平均遍歷定理的詳盡證明，然后推出6條重要的定理．第一條是分解定理(decomposition theorem)：任何保測(cè)變換均可分解為若干遍歷變換的直積分．它說(shuō)明在所有保測(cè)變換中，具有遍歷性的是最基本、最重要的，任何保測(cè)變換都可由它們構(gòu)造而得． 定理2則進(jìn)一步指出，單參數(shù)保測(cè)變換群的分類問(wèn)題在本質(zhì)上可歸結(jié)為對(duì)遍歷變換進(jìn)行分類． 保測(cè)變換的分類問(wèn)題后來(lái)成為遍歷理論的中心問(wèn)題，其中最關(guān)鍵的第一步，當(dāng)屬馮·諾伊曼與P．哈爾莫斯(Halmos)1942年共同證明的結(jié)論： f1和f2分別是有限測(cè)度空間X1和X2上的保測(cè)變換，U1和U2分別是X1，X2在L2上誘導(dǎo)出的酉算子．若f1，f2有離散譜，則f1與f2同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)U1和U2作為希爾伯特空間上酉算子時(shí)是相同的． 馮·諾伊曼在處理遍歷理論的問(wèn)題時(shí)，往往著重于測(cè)度和譜的內(nèi)在聯(lián)系．定理5就是關(guān)于離散譜的典型結(jié)果：對(duì)于具有純點(diǎn)譜的酉算子U(由遍歷變換誘導(dǎo)而得)，其譜實(shí)際上構(gòu)成實(shí)數(shù)群的一可數(shù)子群；反過(guò)來(lái)，實(shí)數(shù)群的每個(gè)無(wú)窮可數(shù)子群均可作為某些遍歷變換所誘導(dǎo)的酉算子的純點(diǎn)譜． 與此對(duì)應(yīng)，又有馮·諾伊曼和庫(kù)普曼關(guān)于連續(xù)譜的混合定理(mixing theorem)．它斷言：遍歷變換的幾何性質(zhì)(混合性)與酉算子的譜性質(zhì)(無(wú)非平凡的特征值)是等價(jià)的． 對(duì)于馮·諾伊曼在測(cè)度論和遍歷理論方面所取得的成果，哈爾莫斯給予了如此的評(píng)價(jià)：“從文獻(xiàn)數(shù)量上看，它們尚不及馮·諾伊曼全部科學(xué)論著的十分之一，但就質(zhì)量而言，即使他從未在其他方面作過(guò)研究，這些成果也足以使他在數(shù)學(xué)界享有永久的聲望．” 4．群論 馮·諾伊曼的一個(gè)著名成果，是在1933年對(duì)緊致集解決了希爾伯特第五問(wèn)題．早在1929年，他曾證明對(duì)連續(xù)群有可能改變參數(shù)，使群的運(yùn)算成為解析的．具體地說(shuō)，對(duì)于n維空間中的線性變換群，它有一正規(guī)子群，可以被解析地且按有限個(gè)參數(shù)一一對(duì)應(yīng)的方式局部表出．這是第一篇對(duì)解決希爾伯特第五問(wèn)題做出貢獻(xiàn)的文章． 1933年，他在《數(shù)學(xué)紀(jì)事》第34卷上發(fā)表“拓?fù)淙褐薪馕鰠?shù)導(dǎo)論”(Die Einfhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen)，證明每個(gè)局部同胚于歐氏空間的緊致群允許一李群結(jié)構(gòu)．這樣，希爾伯特第五問(wèn)題在緊致群的條件下得到了肯定的回答． 問(wèn)題的解決用到了彼得(Peter)-外爾積分在群上的類比、施密特的函數(shù)逼近定理及L．E．J．布勞威爾(Brouwer)關(guān)于歐氏空間的區(qū)域不變性定理，體現(xiàn)出馮·諾伊曼豐富的集合論與實(shí)變函數(shù)知識(shí)以及他對(duì)積分方程、矩陣計(jì)算技巧的熟練應(yīng)用． 另一項(xiàng)工作亦同群論相關(guān)：群上的殆周期函數(shù)(almost pe－riodic function)理論．他把H．玻爾(Bohr)首創(chuàng)的實(shí)數(shù)集上殆周期函數(shù)概念擴(kuò)展到任意群G中，繼而在新的殆周期函數(shù)理論與彼得、外爾的群表示理論之間建立起聯(lián)系：設(shè)群G的有限矩陣表示為D(x)=(dij(x))， 則下述三個(gè)條件等價(jià)： (1)每個(gè)dij(x)都是G上的有界函數(shù)； (2)每個(gè)dij(x)都是G上的殆周期函數(shù)； (3)D等價(jià)于一個(gè)酉矩陣的表示． 他由此指出，群上的殆周期函數(shù)構(gòu)成了群表示理論的最大適用范圍． 5．算子理論 對(duì)算子理論的探索貫穿了馮·諾伊曼的整個(gè)科學(xué)生涯，這方面的論文占他全部著述的三分之一，他在這個(gè)領(lǐng)域有著20多年的領(lǐng)導(dǎo)地位． 1927—1930年，他首先給出了希爾伯特空間的抽象定義，即現(xiàn)在所使用的定義．然后，對(duì)于希爾伯特空間上自共軛算子譜理論從有界到無(wú)界的推廣，做了系統(tǒng)的奠基性工作：引入稠定閉算子的概念，給出無(wú)界自共軛算子、酉算子以及正規(guī)算子的譜分解定理，指出了對(duì)稱算子和自共軛算子在性質(zhì)上的差異，還與外爾共同研究了無(wú)界算子經(jīng)過(guò)擾動(dòng)后譜的變化規(guī)律． 馮·諾伊曼的譜理論的形成，加上1933年巴拿赫所著《線性算子理論》(Th orie des operations li naires)一書的問(wèn)世，標(biāo)志著數(shù)學(xué)領(lǐng)域中又一新的分支——泛函分析的誕生． 20年代，E．諾特(Noether)和E．阿廷(Artin)發(fā)展了非交換代數(shù)理論，馮·諾伊曼意識(shí)到這是對(duì)矩陣論極好的闡釋和簡(jiǎn)化，他嘗試著將有關(guān)概念擴(kuò)展到希爾伯特空間上的算子代數(shù)中，由此產(chǎn)生了“算子環(huán)”的概念：關(guān)于弱(或強(qiáng))算子拓?fù)錇殚]且含有恒等算子I的＊子代數(shù)稱為算子環(huán)．算子環(huán)可以認(rèn)為是有限維空間內(nèi)矩陣代數(shù)的自然推廣，后來(lái)被人們稱為馮·諾伊曼代數(shù)，以示對(duì)馮·諾伊曼的紀(jì)念．而在同構(gòu)意義下，它又可稱作W*代數(shù)． 算子環(huán)的正式定義出現(xiàn)在馮·諾伊曼1929年的論文“函數(shù)運(yùn)算代數(shù)和正規(guī)算子理論”(Zur Algebra der Funktionaloperati－oren und Theorie der normalen Operatoren)中．這篇論文還包括了“交換子”(commutant)、“因子”(factor)等重要定義，以及二次交換子定理(double commutant theorem)： 是算子環(huán)， 則交換子也是算子環(huán)，且 ． 這實(shí)際上給出了算子環(huán)的一個(gè)等價(jià)定義：希爾伯特空間H上有界線性算子全體 (H)中滿足 =( )’的＊子代數(shù)稱為算子環(huán)．這一定義是研究算子環(huán)的重要工具，如判斷算子何時(shí)與一算子環(huán)相伴，用于對(duì)稠定閉算子進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)分解等． 從1935年開(kāi)始，馮·諾伊曼在F．J．默里(Murray)的協(xié)助下，又寫出了題為“論算子環(huán)”(On rings of operators)的系列文章． 他們的首要結(jié)論是：算子環(huán)可以表示為因子的連續(xù)直積分．因此，對(duì)算子環(huán)的研究便歸結(jié)為對(duì)因子的研究． 受經(jīng)典非交換代數(shù)理論的啟示，人們?cè)茰y(cè)所有因子均同構(gòu)于 (H)．馮·諾伊曼和默里在“論算子環(huán)I”中證明：當(dāng)因子包含極小射影時(shí)，它同構(gòu)于 (H)．但同時(shí)，他們又應(yīng)用遍歷論的技巧，構(gòu)造出一類重要的例子，說(shuō)明并非所有的因子都有極小射影，因而有關(guān)因子的性質(zhì)遠(yuǎn)非人們推測(cè)的那樣簡(jiǎn)單． 他們?cè)谝蜃拥纳溆爸g建立了序關(guān)系，使之具有可比性．而這種序關(guān)系又可用維數(shù)函數(shù)(定義于因子的等價(jià)類之上)來(lái)表述．根據(jù)維數(shù)函數(shù)值域的不同情況，對(duì)因子有以下分類： 通過(guò)群測(cè)度空間的構(gòu)造，他們得到了Ⅱ1型和Ⅱ∞型因子．1940年的“論算子環(huán)Ⅲ”又給出了Ⅲ型因子的例子． 繼因子的分類和各類因子存在性的證明之后，一個(gè)重要的問(wèn)題是：這種分類是否完成了因子的代數(shù)分類？即某給定類型中的全體因子是否同構(gòu)？馮·諾伊曼和默里花去大量時(shí)間考察這個(gè)問(wèn)題，最終構(gòu)造出兩個(gè)新的Ⅱ1型因子并證明它們是非同構(gòu)的，從而給了原問(wèn)題否定的回答． 6．格論 馮·諾伊曼在研究希爾伯特空間算子環(huán)時(shí)，遇到了一類完備有補(bǔ)模 定義L為連續(xù)幾何(continuous geome－try)，并構(gòu)造出一類重要的連續(xù)幾何：對(duì)任意可除環(huán)F和自然數(shù)n，F(xiàn)上的2n維子空間構(gòu)成2n—1維射影幾何PG(F，2n—1)．將它度量完備化之后得到的有補(bǔ)模格就是連續(xù)幾何，記為CG(F)．他證明了希爾伯特空間中的Ⅱ1型因子具有與CG(F)同構(gòu)的不變子空間格． 正則環(huán)(regular ring)是馮·諾伊曼引入的另一新概念：A是有單 何的表示有著密切聯(lián)系：連續(xù)幾何L與某正則環(huán)A的主左理想構(gòu)成的格同構(gòu)．也就是說(shuō)，將A分解為諸理想的直和，對(duì)應(yīng)于把L分解為諸格的直積的問(wèn)題． 在這些結(jié)論的證明過(guò)程中，馮·諾伊曼又發(fā)展了一些新的思想方法，其中主要是關(guān)于格的分配性：數(shù)對(duì)的分配性、獨(dú)立元的分配性和無(wú)窮分配性等．他最早發(fā)現(xiàn)，在布爾代數(shù)中，交與并的運(yùn)算必然是無(wú)窮分配的，而這種分配性又等價(jià)于連續(xù)性． 他在格論方面的工作大部分未能及時(shí)發(fā)表，主要通過(guò)1935—1937年高級(jí)研究院的講義《復(fù)域幾何》(Geometry of complexdomains)、《連續(xù)幾何》及美國(guó)科學(xué)院會(huì)議錄得以保存和傳播． 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 1940年以后，隨著第二次世界大戰(zhàn)中政治、經(jīng)濟(jì)和軍事形勢(shì)的發(fā)展，馮·諾伊曼開(kāi)始把精力更多地投注于實(shí)際問(wèn)題之中，主要是計(jì)算數(shù)學(xué)和對(duì)策論兩方面的工作． 1．計(jì)算數(shù)學(xué) 馮·諾伊曼認(rèn)為，描述物理現(xiàn)象的方程一旦用數(shù)學(xué)語(yǔ)言給予表達(dá)，就可以從數(shù)值上得到解決而無(wú)須借助于常規(guī)方法或進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)．他在計(jì)算數(shù)學(xué)方面的努力，是與他的這種觀點(diǎn)以及解決實(shí)際問(wèn)題的困難程度分不開(kāi)的． 大戰(zhàn)中，各種技術(shù)問(wèn)題引起了快速估計(jì)和逼近解的需要．這些問(wèn)題往往涉及一些不能忽略或分離的外部擾動(dòng)，必須借助數(shù)值方法進(jìn)行定性分析．馮·諾伊曼從數(shù)值穩(wěn)定性分析、誤差估計(jì)、矩陣求逆和含間斷性解的計(jì)算等數(shù)個(gè)方向進(jìn)行了探索．1946年，他和V．巴格曼(Bargmann)、D．蒙哥馬利(Montgomery)合作．向海軍武器實(shí)驗(yàn)室提交了報(bào)告“高階線性系統(tǒng)求解”(Solutionof linear systems of high order)，對(duì)線性方程組的各種解法進(jìn)行了系統(tǒng)闡述，并探討了利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)際求解的可能性． 1947年，他又同H．哥德斯坦(Goldstine)研究了高階矩陣的數(shù)值求逆，并給出嚴(yán)格的誤差估計(jì)，特別是對(duì)150階矩陣求逆所能達(dá)到的精確程度給出了有意義的結(jié)果． 在解決可壓縮氣體運(yùn)動(dòng)尤其是存在間斷性的情況時(shí)，馮·諾伊曼創(chuàng)始了人工粘性法．例如，物理學(xué)上有系統(tǒng)守恒律 Ut+ F(U)=0(U為熱量，F(xiàn)為流量)， 它所描述的系統(tǒng)即使在初值光滑的情形下也會(huì)自發(fā)地產(chǎn)生間斷性(激波)．馮·諾伊曼和R．里希特邁耶(Richtmyer)把它看成分布方程，求解過(guò)程便相當(dāng)于尋求有效的數(shù)值算法來(lái)計(jì)算分布導(dǎo)數(shù)．他們以拋物正則方程 Ut+ F(U)=εΔU 代替原方程，使分布導(dǎo)數(shù)成為普通導(dǎo)數(shù)，從而可用有限差分來(lái)近似，這樣得出的解總是光滑的．這種在計(jì)算公式中人為加入“粘性”項(xiàng)的方法，使激波間斷成為光滑的過(guò)渡區(qū)，激波的位置與強(qiáng)度便很容易確定了．人工粘性法是現(xiàn)代流體動(dòng)力學(xué)中拉格朗日方法的第一個(gè)例子，提供了在電子計(jì)算機(jī)上對(duì)流體力學(xué)進(jìn)行數(shù)值模擬的有力手段． 電子計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之后，馮·諾伊曼又推出了利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值分析的新思想、新方法，從而推動(dòng)了計(jì)算數(shù)學(xué)的興起與形成，也使他成為現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算的奠基人之一(詳見(jiàn)本文“計(jì)算機(jī)的理論與實(shí)踐”部分)． 2．對(duì)策論與數(shù)理經(jīng)濟(jì) 馮·諾伊曼是對(duì)策論(又稱博弈論)的創(chuàng)始人和現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的開(kāi)拓者之一．本世紀(jì)20年代，波萊爾最早用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫了博弈問(wèn)題，引進(jìn)純策略與混合策略的概念，并提出解決個(gè)人對(duì)策與零和二人對(duì)策的數(shù)學(xué)方案．但是，對(duì)策理論作為學(xué)科的真正創(chuàng)立，則是從馮·諾伊曼1928年發(fā)表“關(guān)于伙伴游戲理論”(Zur The－orie der Gesellschaftsspiele)開(kāi)始的． 文中最重要的結(jié)論，是關(guān)于零和二人對(duì)策的極小極大定理(minimax theorem)：m×n矩陣A是正規(guī)化零和二人對(duì)策的支付矩陣，x和y是對(duì)局雙方采取的混合策略的概率向量，存在唯一數(shù)值v，使得 同時(shí)，存在最優(yōu)策略x*和y*，使 以極小極大定理為依據(jù)，馮·諾伊曼首先討論了合作對(duì)策問(wèn)題，特別是零和三人對(duì)策中有兩方聯(lián)合的情形．為了給出合作對(duì)策解的概念，他引入特征函數(shù)的思想．最后又明確表述了n個(gè)游戲者的一般博弈方案，結(jié)果表明：在附加條件下，n人對(duì)策問(wèn)題的解是存在并且唯一的． 極小極大定理是對(duì)策論的基石．30年代，馮·諾伊曼本人及其他數(shù)學(xué)家陸續(xù)給出此定理的一些新的證明方法．到了40年代，A．瓦爾德(Wald)以極小極大定理為基礎(chǔ)，把決策過(guò)程視為人與環(huán)境進(jìn)行的二人對(duì)策問(wèn)題，由此開(kāi)創(chuàng)了統(tǒng)計(jì)決策理論．從那時(shí)起，對(duì)策論成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域． 1940年，奧地利經(jīng)濟(jì)學(xué)家O．摩根斯坦(Morgenstern)來(lái)到普林斯頓，他使馮·諾伊曼對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題特別是貨物交換、市場(chǎng)控制和自由競(jìng)爭(zhēng)等產(chǎn)生興趣．經(jīng)過(guò)四年的合作，他們出版了《對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為》 (Theory of games and economic behavior)．這部著作對(duì)1928年的論文進(jìn)行了進(jìn)一步闡述，如增加了“分配”(imputa-tion)、“控制”(domination)的概念，定義了馮·諾伊曼-摩根斯坦解．全書有近三分之二的篇幅是處理合作對(duì)策問(wèn)題的． 對(duì)策論在經(jīng)濟(jì)理論基本問(wèn)題中的應(yīng)用，是書中另一重要成果．他們認(rèn)為，盡管當(dāng)時(shí)的經(jīng)濟(jì)學(xué)還處于發(fā)展早期——如同16世紀(jì)的物理學(xué)，但最終它必將也像物理學(xué)一樣，發(fā)展成為一門嚴(yán)密的數(shù)理科學(xué)．而對(duì)策論就是邁向綜合性的數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的第一步．這實(shí)際上體現(xiàn)了馮·諾伊曼將社會(huì)科學(xué)也納入公理化數(shù)學(xué)體系的愿望． 早在1932年普林斯頓舉辦的一次學(xué)術(shù)討論會(huì)上，馮·諾伊曼還討論了一般經(jīng)濟(jì)平衡的模型化問(wèn)題．他給出貨物生產(chǎn)與消費(fèi)的一個(gè)經(jīng)濟(jì)模型，并指出了模型問(wèn)題與極小極大定理的密切關(guān)系：當(dāng)把經(jīng)濟(jì)活動(dòng)視為零和對(duì)策問(wèn)題時(shí)，經(jīng)濟(jì)模型的平衡點(diǎn)就是對(duì)策問(wèn)題中的極大極小值v． 物 理 學(xué) 馮·諾伊曼的眼光并未只局限于數(shù)學(xué)方面，他對(duì)物理科學(xué)同樣有著濃厚的興趣．可以說(shuō)，對(duì)數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間內(nèi)在聯(lián)系的探討，在他的科學(xué)成就中具有最重大的意義．前面提到的算子理論和遍歷理論等，實(shí)質(zhì)上都與他在理論物理領(lǐng)域的工作——量子力學(xué)的數(shù)學(xué)化密不可分． 1926年，馮·諾伊曼來(lái)到格丁根大學(xué)．他在跟隨希爾伯特研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí)，被格丁根大學(xué)內(nèi)正在開(kāi)展的量子力學(xué)工作深深吸引住了．當(dāng)時(shí)的量子力學(xué)在數(shù)學(xué)上有兩種表述體系：W．海森堡(Heisenberg)、M．玻恩(Born)和W．泡利(Pauli)從微觀粒子的粒子性出發(fā)建立的矩陣力學(xué)，E．薛定諤(Schr dinger)從波動(dòng)性出發(fā)建立的波動(dòng)力學(xué)．對(duì)于推測(cè)原子的性質(zhì)這一實(shí)用目的來(lái)說(shuō)，這兩種體系是足夠的．不久，薛定諤又證明了兩者的等價(jià)性，并歸結(jié)為由P．狄拉克(Dirac)和P．約當(dāng)(Jordan)發(fā)展的變換理論的特殊情形．但是，馮·諾伊曼等人對(duì)此并不滿意，他們希望從中提取更多的共性，建立量子力學(xué)的形式化體系． 這年冬天，希爾伯特就量子力學(xué)的新發(fā)展作了一次演講，L．諾德海姆(Nordheim)為講義的物理部分準(zhǔn)備了材料，而關(guān)于數(shù)學(xué)形式化部分的主要工作，則是由馮·諾伊曼完成的． 量子理論的一個(gè)基本點(diǎn)，是原子狀態(tài)的數(shù)學(xué)描述．馮·諾伊曼對(duì)此并未明確定義，而是給予了形式化的處理：原子的狀態(tài)由希爾伯特空間中的單位向量表征．這正如希爾伯特對(duì)歐氏幾何進(jìn)行形式化時(shí)，把點(diǎn)、直線作為不定義術(shù)語(yǔ)一樣．馮·諾伊曼指出，這種描述同海森堡和薛定諤的定義是一致的，而且代數(shù)中的形式規(guī)則如加法、乘法規(guī)則，對(duì)他們的表述體系同樣適用． 他又構(gòu)造了基于五條公理之上的抽象希爾伯特空間，并證明海森堡和薛定諤的原子狀態(tài)定義滿足五條公理．最后的結(jié)論是：量子力學(xué)的一種合適的形式語(yǔ)言，由抽象希爾伯特空間的向量(代表系統(tǒng)狀態(tài))、某類算子(代表系統(tǒng)中的可觀察量)及其代數(shù)規(guī)則構(gòu)成． 這些方法極好地體現(xiàn)了希爾伯特的公理化綱領(lǐng)，成為量子力學(xué)數(shù)學(xué)化的序曲，也促使馮·諾伊曼對(duì)希爾伯特空間的算子理論給予了充分的發(fā)展． 1932年，他的名著《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》由德國(guó)斯普林格公司出版．這是對(duì)先前的方法和結(jié)論的綜合與完善．他特別指出，狄拉克等人在處理算子的概念時(shí)，對(duì)其定義域和拓?fù)洳⑽从枰猿浞挚紤]，草率地假設(shè)當(dāng)算子為自共軛時(shí)，總可以被對(duì)角化．而對(duì)于無(wú)法對(duì)角化的，則引入狄拉克非正常函數(shù)(δ函數(shù))的概念．馮·諾伊曼發(fā)現(xiàn)了它的自相矛盾的性質(zhì)，并用自己的成就證明：變換理論能夠建立在清晰的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上．其方法并非去修正狄拉克的理論，而是發(fā)展希爾伯特的算子理論．當(dāng)他成功地將算子譜論由有界推廣到無(wú)界情形后，便最終完成了量子力學(xué)的形式化工作，它包含海森堡和薛定諤等人的體系作為特殊情況． 書中另一個(gè)主要內(nèi)容，是從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度闡述了量子力學(xué)中的“因果律”(causality)和“測(cè)不準(zhǔn)原理”(indeterminacy)．他的結(jié)論是，量子系統(tǒng)的不確定性并非由于觀察者的狀態(tài)未知所致．即使在系統(tǒng)中引入假想的“隱參量”(hidden parameters)，使觀察者處于精確的狀態(tài)，最終仍會(huì)因?yàn)橛^察者的主觀意識(shí)而導(dǎo)致不確定的觀察結(jié)果．這種觀點(diǎn)得到了大多數(shù)物理學(xué)家的贊同． 此書還包括了對(duì)量子力學(xué)中特殊問(wèn)題的解決，例如遍歷假設(shè)在量子系統(tǒng)中的表述和證明．這成為他后來(lái)開(kāi)辟的遍歷理論的先聲． 《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(德文版)先后被譯為法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理論物理領(lǐng)域的經(jīng)典之作． 1927年，馮·諾伊曼開(kāi)始用概率術(shù)語(yǔ)對(duì)量子力學(xué)進(jìn)行分析，引入統(tǒng)計(jì)矩陣U(現(xiàn)稱為ρ矩陣)來(lái)描述各種量子狀態(tài)的系統(tǒng)之集合．統(tǒng)計(jì)矩陣成為量子統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要工具．而他關(guān)于量子力學(xué)的度量理論則為熱力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)． 計(jì)算機(jī)的理論與實(shí)踐 在洛斯阿拉莫斯，原子核裂變過(guò)程所提出的大量計(jì)算任務(wù)，促使馮·諾伊曼關(guān)注著電子計(jì)算機(jī)的研制情況．從1944年8月到1945年6月，他參與了對(duì)電子數(shù)值積分和計(jì)算器ENIAC(ele－ctronic numerical integrator and calculator)的考察和改進(jìn)工作．他發(fā)現(xiàn)ENIAC機(jī)的主要缺陷，是仍采取以往機(jī)電式計(jì)算機(jī)的“外插型”程序，在按給定程序執(zhí)行運(yùn)算時(shí)，每個(gè)問(wèn)題都需要一個(gè)特殊的線路系統(tǒng)，因而缺乏高速計(jì)算所必需的靈活性和普遍性． 1945年3月，馮·諾伊曼為賓夕法尼亞大學(xué)起草了離散變量自動(dòng)電子計(jì)算機(jī)EDVAC(electronic discrete variable automaticcomputer)的設(shè)計(jì)方案，轟動(dòng)了科學(xué)界．第二年6月，他又與A．伯克斯(Burks)、哥德斯坦聯(lián)名提出更完善的報(bào)告“電子計(jì)算機(jī)邏輯設(shè)計(jì)初探” (Preliminary discussion of the the logical design of an electronic computing instrument)，揭開(kāi)了計(jì)算機(jī)發(fā)展史上新的一頁(yè)． 在這兩份報(bào)告中，馮·諾伊曼建立了計(jì)算機(jī)組織的最主要結(jié)構(gòu)原理——存儲(chǔ)程序(stored－program)原理．它確定計(jì)算機(jī)由五部分構(gòu)成：計(jì)算器、控制器、存儲(chǔ)器、輸入和輸出裝置．程序由指令組成并和數(shù)據(jù)一起存放在存儲(chǔ)器中，機(jī)器按程序指定的邏輯順序，把指令從存儲(chǔ)器中讀出來(lái)并逐條執(zhí)行，從而自動(dòng)完成程序描述的處理工作． 根據(jù)這一原理設(shè)計(jì)的EDVAC機(jī)和IAS機(jī)方案，與ENIAC機(jī)相比有如下重要的改進(jìn)： (1)將十進(jìn)制改為二進(jìn)制，程序和數(shù)據(jù)均由二進(jìn)制代碼(code)表示； (2)程序由外插變?yōu)閮?nèi)存，當(dāng)算題改變時(shí)，不必變換線路板而只需更換程序； (3)以超聲波信號(hào)的方式存儲(chǔ)輸入的電信號(hào)，并建立多級(jí)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，存儲(chǔ)能力大大提高； (4)采用并行計(jì)算原理，即對(duì)數(shù)字的各位同時(shí)進(jìn)行處理． 從1946年開(kāi)始，馮·諾伊曼組織哥德斯坦等人在高級(jí)研究院進(jìn)行了IAS機(jī)的實(shí)際建造工作，1951年終于獲得成功．它的運(yùn)算速度達(dá)到每秒百萬(wàn)次以上，比ENIAC機(jī)快數(shù)百倍，實(shí)現(xiàn)了馮·諾伊曼的設(shè)想． 由存儲(chǔ)程序原理構(gòu)造的電子計(jì)算機(jī)稱為存儲(chǔ)程序計(jì)算機(jī)，后又被稱為馮·諾伊曼型機(jī)．現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的組織結(jié)構(gòu)雖然有了一些重大變化，但就原理而言，占主流的仍是以存儲(chǔ)程序原理為基礎(chǔ)的馮·諾伊曼型機(jī)．馮·諾伊曼的思想深深地影響著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)、速度、指令選取和線路設(shè)計(jì)等各個(gè)方面． 馮·諾伊曼的名字是與計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)家聯(lián)系在一起的．然而，他對(duì)計(jì)算機(jī)的主要興趣并不在于計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)與制造，而在于如何利用這種新型科學(xué)工具，開(kāi)創(chuàng)現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算的新天地． 古典的數(shù)值分析方法，對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)未必是最優(yōu)的，而一些在算術(shù)上極為復(fù)雜的方法，編制為程序后反而容易在新型計(jì)算機(jī)上得以實(shí)現(xiàn)．馮·諾伊曼從這一實(shí)際情況出發(fā)，為計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)做了大量工作．他和哥德斯坦發(fā)明了流程圖(flow diagram)以溝通所要計(jì)算的問(wèn)題和機(jī)器指令；他引入子程序和自動(dòng)編程法，大大簡(jiǎn)化了程序員編程時(shí)的繁瑣程度．矩陣特征值計(jì)算、求逆、多元函數(shù)極值和隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生等數(shù)十種計(jì)算技巧，也都是他在戰(zhàn)后的幾年內(nèi)首創(chuàng)的，它們?cè)诠I(yè)部門和政府計(jì)劃工作中有著廣泛的應(yīng)用． 電子計(jì)算機(jī)誕生后，馮·諾伊曼和S．烏拉姆(Ulam)倡導(dǎo)了一種新型計(jì)算方法——蒙特卡洛法(Monte Carlo method)，它將所要求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題化為概率模型，在計(jì)算機(jī)上以較小規(guī)模實(shí)現(xiàn)隨機(jī)模擬，獲得近似解．例如，在計(jì)算n維立方體的某子區(qū)域的體積時(shí)，不用通常的將空間分割為一系列格點(diǎn)以逼近所求體積的方法，而是按均勻的概率在空間中隨機(jī)選擇點(diǎn)，利用計(jì)算機(jī)確定落在孩子區(qū)域中的點(diǎn)與所有點(diǎn)的比．當(dāng)所選點(diǎn)的數(shù)量足夠多時(shí)，這個(gè)比便給出了體積的近似值． 蒙特卡洛法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)問(wèn)題的幾何形狀不敏感，收斂速度與維數(shù)無(wú)關(guān)，因此特別適用于高維數(shù)的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題．利用此法，馮·諾伊曼通過(guò)適當(dāng)?shù)膶?duì)策產(chǎn)生了具有給定概率分布的隨機(jī)數(shù)列，設(shè)計(jì)了處理玻爾茲曼方程的概率模型．戰(zhàn)后，他在高級(jí)研究院領(lǐng)導(dǎo)了一個(gè)氣象研究小組，建立起模擬大氣運(yùn)動(dòng)的模型，希望利用計(jì)算機(jī)逐步求解從而解決數(shù)值天 和技術(shù)上都有著極大的啟發(fā)意義． 1956年，美國(guó)原子能委員會(huì)在向馮·諾伊曼頒發(fā)費(fèi)米獎(jiǎng)時(shí)，特別提到了他對(duì)于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算研究的貢獻(xiàn)． 從1945年起，馮·諾伊曼還致力于自動(dòng)機(jī)理論及腦神經(jīng)和計(jì)算機(jī)的對(duì)比研究，他被認(rèn)為是自動(dòng)機(jī)理論的創(chuàng)立者． 本世紀(jì)三、四十年代，C．尚農(nóng)(Shannon)的信息工程、A．圖靈(Turing)的理想計(jì)算機(jī)理論和R．奧特維(Ortvay)對(duì)人腦的研究，引發(fā)了馮·諾伊曼對(duì)信息處理理論的興趣．而1943年W．麥考洛奇(McCulloch)與W．匹茨(Pitts)所著的《神經(jīng)活動(dòng)中內(nèi)在意識(shí)的邏輯分析》(A logical calculus of the ideas imma－nent in nervous activity)，則使他看到了將人腦信息過(guò)程數(shù)學(xué)定律化的潛在可能．在他1945年關(guān)于EDVAC機(jī)的設(shè)計(jì)方案中，所描述的存儲(chǔ)程序計(jì)算機(jī)便是由麥考洛奇和匹茨設(shè)想的“神經(jīng)元”(neurons)所構(gòu)成，而非利用真空管、繼電器或機(jī)械開(kāi)關(guān)等常規(guī)元件． 此后，他參加了有關(guān)信息論、控制論的系列會(huì)議，同數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、電工學(xué)家和生物學(xué)家進(jìn)行廣泛接觸，逐漸形成了能同時(shí)應(yīng)用于生物和技術(shù)領(lǐng)域的自動(dòng)機(jī)理論．1948年9月，在?？怂?Hixon)討論班上，他作了“自動(dòng)機(jī)的一般邏輯理論”(The ge－neral and logical theory of automata)的報(bào)告，提出自動(dòng)機(jī)的自繁殖和迭代陣列等新概念，并對(duì)人造自動(dòng)機(jī)(如計(jì)算機(jī))和天然自動(dòng)機(jī)(如人腦)進(jìn)行了比較．他通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，計(jì)算機(jī)中電子元件的數(shù)量不過(guò)是人腦神經(jīng)元數(shù)目的百萬(wàn)分之一；而另一方面，信息在電子元件中的傳遞速度大約是在腦神經(jīng)中的一萬(wàn)倍．這樣，計(jì)算機(jī)以速度取勝，而大腦則在復(fù)雜性上占優(yōu)．為了使兩者的特性具有可比性，可用每秒內(nèi)發(fā)生的電信過(guò)程作為標(biāo)準(zhǔn)．計(jì)算顯示，人腦的特性要超出計(jì)算機(jī)一萬(wàn)倍． 進(jìn)一步，他還指出，計(jì)算機(jī)在執(zhí)行運(yùn)算時(shí)一般是依順序進(jìn)行的，而人腦則傾向于平行運(yùn)算，因此在“邏輯深度”上不及計(jì)算機(jī)． 以此為基礎(chǔ)，他于1952年開(kāi)創(chuàng)了著名的冗余技術(shù)：對(duì)于一批帶有一定故障發(fā)生率的元件(不可靠元件)，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒?，建造出任意?guī)模和復(fù)雜程度的自動(dòng)機(jī)，使不正確輸出的概率能被控制在一定范圍之內(nèi)(可靠機(jī))．同時(shí)，他又仿照微生物組織的結(jié)構(gòu)來(lái)描述自繁殖系統(tǒng)，提出諾伊曼細(xì)胞空間的概念，利用許多互相連結(jié)的小自動(dòng)機(jī)并行運(yùn)算，形成了更大規(guī)模的自動(dòng)機(jī)——諾伊曼自動(dòng)機(jī)．這是最早最基本的一類自動(dòng)機(jī)．這兩項(xiàng)理論在70年代分別發(fā)展成為容錯(cuò)自動(dòng)機(jī)理論和細(xì)胞自動(dòng)機(jī)理論． 1955年初，馮·諾伊曼應(yīng)耶魯大學(xué)之邀，開(kāi)始為美國(guó)最古老、最著名的科學(xué)講座之一——希利曼講座編寫講義，系統(tǒng)闡述他關(guān)于計(jì)算機(jī)、自動(dòng)機(jī)和人腦的理論體系．由于他的病情加重和逝世，這次講座的計(jì)劃未能實(shí)現(xiàn)．1958年，耶魯大學(xué)出版了講義的單行本《計(jì)算機(jī)與大腦》(The computer and the brain)． 在1947年的論著《數(shù)學(xué)家》(The mathematician)中，馮·諾伊曼表達(dá)了這樣的數(shù)學(xué)觀念：數(shù)學(xué)的發(fā)展與自然科學(xué)有著密切聯(lián)系，數(shù)學(xué)方法滲透于并支配著自然科學(xué)的所有理論分支．?dāng)?shù)學(xué)有其經(jīng)驗(yàn)來(lái)源，不可能存在絕對(duì)的、脫離所有人經(jīng)驗(yàn)的嚴(yán)密性概念．而另一方面，數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性學(xué)科，受審美觀的支配，選擇題材和判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)都是美學(xué)的．必須防止純粹美學(xué)化的傾向．為此，應(yīng)該不斷在數(shù)學(xué)中注入一些“或多或少直接來(lái)自于經(jīng)驗(yàn)的思想”． 馮·諾伊曼的科研活動(dòng)明顯地受著上述觀念的影響．他涉獵了如此眾多的科學(xué)領(lǐng)域，力求保持?jǐn)?shù)學(xué)理論同物理學(xué)及其他自然科學(xué)中日益增長(zhǎng)的復(fù)雜現(xiàn)象之間的聯(lián)系．這同時(shí)也是對(duì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的普適性和有機(jī)統(tǒng)一性這個(gè)目標(biāo)的貢獻(xiàn)． 形式化思想在馮·諾伊曼的哲學(xué)觀念中占據(jù)著主導(dǎo)地位．他認(rèn)為，邏輯體系具有普遍性和綜合性，而形式化邏輯結(jié)構(gòu)在某種程度上刻畫了事物的抽象本質(zhì)．他對(duì)尋找邏輯體系的局限性不感興趣，但當(dāng)某種局限性被發(fā)現(xiàn)后，他便開(kāi)始考慮如何利用更加形式化的過(guò)程去克服它(體現(xiàn)在他對(duì)哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼膽B(tài)度)．對(duì)他來(lái)說(shuō)，最高層次的抽象——例如邏輯和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——應(yīng)當(dāng)通過(guò)嚴(yán)密的形式邏輯手段去完成．在接觸到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，馮·諾伊曼總能迅速地給出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式化表述，并進(jìn)行純形式的推理．不僅如此，將形式邏輯和數(shù)學(xué)付諸最大限度的應(yīng)用，成為他的科學(xué)稟性．在他看來(lái)，利用抽象的形式結(jié)構(gòu)可以了解整個(gè)世界——包括社會(huì)生活和精神意識(shí)．這在他對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、量子理論和計(jì)算機(jī)組織的形式化工作中都有所反映．可以說(shuō)，馮·諾伊曼遵循著這樣一種觀念：只有嚴(yán)密的邏輯體系才可能包含主宰萬(wàn)物的、永恒的普遍真理． 在馮·諾伊曼身上，集中著多種科學(xué)才能：對(duì)數(shù)學(xué)思想的集合論基礎(chǔ)(形式上是代數(shù)的)的感知，對(duì)分析和幾何的經(jīng)典數(shù)學(xué)之本質(zhì)的理解，以及發(fā)掘現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法的潛在威力并應(yīng)用于理論物理問(wèn)題的深刻洞察力．這些才能之間并不矛盾，但每一種都要求很高的注意力和記憶力，它們能匯集于一人之身是非常難得的． 馮·諾伊曼不用筆和紙就能熟練地估計(jì)幾何大小，進(jìn)行代數(shù)和數(shù)值運(yùn)算，這種心算能力常常給物理學(xué)家們留下深刻的印象． 對(duì)于在科學(xué)上有時(shí)并非十分重要但卻體現(xiàn)出一定難度的問(wèn)題，他也極愿給予關(guān)注．通過(guò)與他交談，人們往往可以領(lǐng)會(huì)到一些并非人人皆知的、能輕松解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)技巧．這使他受到應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者的喜愛(ài)和歡迎． 除了科學(xué)之外，馮·諾伊曼對(duì)歷史也有著濃厚的興趣．早在孩提時(shí)代，他就系統(tǒng)閱讀了21卷的《劍橋古代史》(Cambridgeancient history)和《劍橋中世紀(jì)史》(Cambrige medieval histo－ry)，特別精通歐洲皇室的衍變和拜占庭的歷史．他對(duì)歷史事件的敘述和評(píng)價(jià)，總是令同事們大為折服．從中還可感受到他以數(shù)學(xué)家特有的方式表達(dá)的幽默． 他能熟練地運(yùn)用德語(yǔ)、法語(yǔ)、英語(yǔ)、拉丁語(yǔ)和希臘語(yǔ)．他在美國(guó)所進(jìn)行的演講以其良好的文學(xué)修養(yǎng)著稱． 馮·諾伊曼曾從N．維納(Wiener)處了解到中國(guó)的情況，產(chǎn)生了到中國(guó)訪問(wèn)講學(xué)的愿望．1937年5月，維納致函清華大學(xué)校長(zhǎng)梅貽琦和數(shù)學(xué)系主任熊慶來(lái)，推薦馮·諾伊曼作為清華大學(xué)的訪問(wèn)教授．可惜，兩個(gè)月后日本侵華戰(zhàn)爭(zhēng)的全面爆發(fā)，使他們的希望成了泡影． |
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來(lái)自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
