概率統(tǒng)計專題46：理性回歸 - 線性回歸方程模型

線性回歸方程常用來預(yù)估某變量的值,因此選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)是解題的關(guān)鍵,一般解題要點如下:

(1)作圖:依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖,確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系,往往也會通過計算相關(guān)系數(shù)來判定擬合的程度.

(2)計算:計算出,,等,計算回歸系數(shù).

(3)求方程:寫出線性回歸直線方程.

幾個常見的求解題型:

1.判斷兩個變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法:(1)利用散點圖直觀判斷;(2)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出,然后根據(jù)的大小進行判斷.求線性回歸方程時要嚴格按照公式求解,并一定要注意計算的準(zhǔn)確性.

2.求解線性回歸模型

基本步驟:①確定研究對象,明確哪個是解釋變量,哪個是預(yù)報變量;

②畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖,觀察它們之間的關(guān)系(是否存在線性關(guān)系);

③由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系,則選用線性回歸方程);

④按照公式計算回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法),得到線性回歸方程;

3.求非線性回歸模型

基本步驟:①確定研究對象,明確哪個是解釋變量,哪個是預(yù)報變量;

②畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖,觀察它們之間的關(guān)系(是否存在非線性關(guān)系);

③由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系,一般選用反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型等);

④通過換元,將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型;

⑤按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法),得到線性回歸方程;

⑥消去新元,得到非線性回歸方程;

【2020.湖南省衡陽市高三三模聯(lián)考】某同學(xué)在開展“深入研究銷售量與價格的關(guān)系,促進商品經(jīng)濟的發(fā)展”的社會實踐課題研究中,對某件產(chǎn)品在該城市的6個門店中的銷售量及其價格進行調(diào)查,其單價x和銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:

(1)根據(jù)1至5號門店的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸直線方程;

(2)若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5元,則認為所得到的回歸直線方程是理想的,試問所得回歸直線方程是否理想?

(3)假設(shè)在今后的銷售中,銷售量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是2.5元/件,為獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)

參考公式與數(shù)據(jù):回歸直線方程:,其中,,

【解析】

(1)由1至5號數(shù)據(jù)知,,所以,,所以.

(2)由(1)知,當(dāng)時,,因為,所以可認為所得到的回歸直線方程是理想的.

(3)設(shè)該產(chǎn)品的單價為x元,依題意得,利潤(),所以當(dāng)時,L取得最大值,故為獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為7.5元.

1.(改編)上周某小學(xué)六年級學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測試,年級組織任課教師對這次考試進行成績分析現(xiàn)從中隨機選取了50名學(xué)生的成績作為樣本,已知這50名學(xué)生的成績?nèi)吭?0分至100分之間,現(xiàn)將成績按如下方式分成6組:第一組;第二組;……;第六組,并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1) 估計這次月考數(shù)學(xué)成績的平均分;

(2) 為了研究成績是否和每天所花在數(shù)學(xué)上的學(xué)習(xí)時間有關(guān),從這50名學(xué)生中隨機抽取了6名學(xué)生,統(tǒng)計出這6名學(xué)生的成績分別為40分、62分、70分、75分、83分、96分,已知這6名學(xué)生的每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時間(分鐘)依次為20、30、35、37、40、48,

(ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求學(xué)生數(shù)學(xué)成績y關(guān)于每天所花在數(shù)學(xué)上的學(xué)習(xí)時間x的線性回歸方程(精確到整數(shù));

(ii) 根據(jù)(ⅰ)中的回歸方程,估計該這50名學(xué)生中每天花在數(shù)學(xué)上的學(xué)習(xí)時間在30—40分鐘的人數(shù)(保留整數(shù)).

參考公式:由最小二乘法所得回歸直線的方程是;

其中,,.

本題參考數(shù)據(jù):,

2.(改編)某科技公司為了對某光盤進行合理定價,需了解該光盤的月銷售量(單位:萬張)與月銷售單價(單位:元/張)之間的關(guān)系,對一年的月銷售量和月銷售單價得到了下面的散點圖.

(1) 與哪一個更適宜作為月銷量關(guān)于月銷售價的回歸方程類型?試從相關(guān)系數(shù)的角度,選擇一個擬合程度更好的模型,并求出該模型的回歸方程;

(2)利用(1)中的結(jié)果回答問題:要使的月銷售量為7.6萬張,則每張光盤的售價約為多少元?

參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明:

①對一組數(shù)據(jù),,…,,相關(guān)系數(shù)

其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,.

②參考數(shù)據(jù):

表中,.

3. 【2020.廣東省揭陽市高三下學(xué)期3月調(diào)研】

某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費用,需了解年研發(fā)費用(單位:千萬元)對年銷售量(單位:千萬件)的影響,統(tǒng)計了近10年投入的年研發(fā)費用與年銷售量的數(shù)據(jù),得到散點圖如圖所示.

(1)利用散點圖判斷和(其中均為大于的常數(shù))哪一個更適合作為年銷售量和年研發(fā)費用的回歸方程類型(只要給出判斷即可,不必說明理由)

(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理,令,得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表:根據(jù)第(1)問的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;

(3)已知企業(yè)年利潤(單位:千萬元)與的關(guān)系為(其中),根據(jù)第(2)問的結(jié)果判斷,要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大,預(yù)計下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費用?

附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,