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有兩個等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形DEF，使△ABC固定不動，將△DEF繞△ABC的斜邊中點(diǎn)或直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。其中是否存在不變的量呢？
問題1：兩塊三角板按如圖所示的方式放置：等腰直角△ABC固定不動，等腰直角△DEF的直角頂點(diǎn)放在△ABC的BC邊的中點(diǎn)O處，△DEF可以繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).
在旋轉(zhuǎn)過程中，邊AB與DF的交點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合，邊AC與DE的交點(diǎn)N不與A、C重合，線段DM和DN是否存在特殊的數(shù)量關(guān)系？在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形AMDN的面積是否始終不變？(設(shè)AB=1，AM=x） 
在本題中，除了與面積相關(guān)的問題外，是否還存在線段之間的數(shù)量關(guān)系或等量關(guān)系呢？
問題2：固定等腰直角△ABC，使等腰直角△DEF的45°角的頂點(diǎn)E放在Rt△ABC的斜邊中點(diǎn)處，使其兩邊與Rt△ABC的兩條直角邊分別相交。在△DEF以直角△ABC斜邊中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的過程中，△BEM與△CNE是否相似？△AMN的周長會不會發(fā)生變化?設(shè)AB=1，AM=x(0<x<0.5)
問題3：已知△ABC與△ADF是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADF=90°，AB=AC，DA=DF，聯(lián)結(jié)CF、BF。G為CF的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DG.（1）將△ADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)點(diǎn)D落在AB邊上，求證：BF=2DG.
倍長DG于點(diǎn)Q，此時無法說明A、C、Q三點(diǎn)共線，因此通過延長DG交AC于點(diǎn)Q，利用全等三角形說明DG=GQ.
（2）將△ADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)點(diǎn)D落在AC邊上，求證：BF=2DG.
（3）將△ADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)點(diǎn)D落在△ABC內(nèi)部，求證：BF=2DG.
方法：構(gòu)造全等和相似，證明線段的倍半關(guān)系
問題4：△ABC與△AEF皆為等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，聯(lián)結(jié)BE、CF，當(dāng)△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時，總存在BE=CF，試證明. 方法：根據(jù)手拉手三角形的特點(diǎn)，可以根據(jù)圖1證明△ABE≌△ACF，進(jìn)而得到BE=CF。本題還要注意的是點(diǎn)E、點(diǎn)F可以在AB、AC上，此時先證明EF//BC，再利用比例線段進(jìn)行證明，進(jìn)而得到BE=CF.
部分題目改編自《空中課堂》第16講圖形運(yùn)動（1）。
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