【原】在類比和轉(zhuǎn)化中掌握分式和分式方程

昵稱75938435 2021-06-24

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　　與一元一次方程一樣，分式和分式方程也是分析和解決問題的一種重要模型，它與分數(shù)、分解因式、一元一次方程等有著密切的聯(lián)系．深刻理解．牢固掌握分式與分式方程，一方面可以加強已學知識之間的縱向聯(lián)系．優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)；另一方面，可以進一步發(fā)展代數(shù)恒等變形技巧，增強符號意識，培養(yǎng)合情推理能力．

　　一、如何更好地理解分式的性質(zhì)及運算？一個重要策略是類比分數(shù)的性質(zhì)和運算

　　分式可以看做是分數(shù)的“代數(shù)化”．我們知道，字母可以表示任何數(shù)，因此，分式其實只是分數(shù)的進一步抽象，其性質(zhì)和運算與分數(shù)完全類似．例如分式加減法的法則是“同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式加減法法則進行計算”，這和分數(shù)加減法的法則完全相同，只是將其中的“數(shù)”換成了“式”．這也正體現(xiàn)了分式“代數(shù)化”的一面．所以，在學習中，我們可以類比分數(shù)來理解和掌握分式的基本性質(zhì)以及分式的四則運算．

　　二、如何掌握解分式方程的一般規(guī)律？一個有效策略是應用“化歸”思想

　　解分式方程的關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的一元一次方程或其他類型的方程．利用分式的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)就可以實現(xiàn)這一“轉(zhuǎn)化”．其實，這也是“化歸”思想的具體體現(xiàn)．在這里，需要注意的是根的檢驗．事實上，對于分式方程來說，分式中分母的值不能為0，因而，分式方程的根必須是不使分母為0的值．但是，當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，這一限制就在無形中被取消了，如此一來．轉(zhuǎn)化后的整式方程的根就很有可能使原方程中的分母為0，此即增根現(xiàn)象．因此，解分式方程時驗根是必要的步驟．

　　三、如何列分式方程解應用題？一個重要方法是類比整式方程的建模過程．

　　建立分式方程模型，可以類比建立一元一次方程模型的過程．建立分式方程模型其實是將實際問題概括、抽象、轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程．在以后的學習中，我們會經(jīng)常用到這種思想．

　　例1、為了營造出“城在林中、道在綠中、房在園中、人在景中”的城市新景象，某市園林局計劃在一定時間內(nèi)完成l 00萬畝土地的綠化任務．現(xiàn)為配合該市東部城區(qū)大開發(fā)的需要，市政府在調(diào)研后將原定計劃調(diào)整為：綠化面積在原計劃的基礎(chǔ)上增加20％，并且完成任務的時間不變．園林局經(jīng)測算得知，要完成新的計劃．平均每年的綠化面積必須比原計劃平均每年的綠化面積多5萬畝．求原計劃平均每年的綠化面積．

　　分析：本題所包含的等量關(guān)系有：新計劃的綠化麗積=原計劃的綠化面積×(1+20％)，新計劃完成任務的時間=原計劃完成任務的時間，原計劃平均每年的綠化面積+5萬畝=新計劃平均每年的綠化面積．

　　設(shè)原計劃平均每年的綠化面積為x萬畝．則
．

　　解：略．

　　例2 “麗園”公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品，需要精加工后才能投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品．已知甲工廠單獨加工完這批產(chǎn)品所用時間是乙工廠單獨加工完這批產(chǎn)品所用時間的倍，而乙工廠每天比甲工廠多加工8件產(chǎn)品．該公司需付甲工廠加工費每天80元，需付乙工廠加工費每天l 20元．

　　 (1)求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品．

　　 (2)公司制定新產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個工廠單獨完成，也可以由兩個工廠同時合做完成；在加工過程中，公司需派一名工程師每天到工廠進行短暫的技術(shù)指導，并負擔他每天5元的午餐補助費．請你幫助公司選擇一種既省時又省錢的加工方案，并說明理由．

　　解：(1)設(shè)甲工廠每天能加工z件新產(chǎn)品，則乙工廠每天能加工(x+8)件新產(chǎn)品，根據(jù)題意得
．解得x=16．經(jīng)檢驗x=16是所列方程的根．x+8=16+8=24(件)．