本文內(nèi)容選自2020年天津中考數(shù)學(xué)壓軸題。符合天津地區(qū)往年的中考命題規(guī)律，都是以含參二次函數(shù)為背景。（此類(lèi)問(wèn)題漸漸普及）

本文內(nèi)容涉及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，根據(jù)點(diǎn)N與C的距離為定值，可以得到點(diǎn)N的軌跡為圓。進(jìn)而得到線段的最值。

此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵在于閱讀和運(yùn)算，千萬(wàn)不要看到字母就害怕。

【中考真題】

（2020·天津）已知點(diǎn)是拋物線，，為常數(shù)，，與軸的一個(gè)交點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，．
①當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上（不與點(diǎn)重合），且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②取的中點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，的最小值是？
【分析】
題（1）直接代入得到函數(shù)解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到結(jié)果。
題（2）①求點(diǎn)F的坐標(biāo)，需要根據(jù)條件建立等量關(guān)系進(jìn)行求解。那么就需要確定點(diǎn)E與點(diǎn)F的位置。
由于拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和M，則把點(diǎn)A和M的坐標(biāo)代入到函數(shù)解析式中，然后用m表示函數(shù)解析式。再用m表示出點(diǎn)E和C的坐標(biāo)，然后根據(jù)AE=EF求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求點(diǎn)F的坐標(biāo)即可。
題（2）②根據(jù)點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，且EF為定值，可以得到點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為以C為圓心EF的一半為半徑的圓。當(dāng)點(diǎn)E和M、C共線且位于MC之間的時(shí)候取最小值，也就是MC-EF令其等于再求出m。不過(guò)本題還需要分類(lèi)討論，因?yàn)橛锌赡茳c(diǎn)M在圓內(nèi)，因?yàn)镸C可能小于半徑的長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)N位于MC的外側(cè)且靠近點(diǎn)M，然后代入求出m的值。
【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，拋物線的解析式為．
拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
解得，
拋物線的解析式為．
，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（Ⅱ）①拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，，
，，即．
，．
拋物線的解析式為．
根據(jù)題意得，點(diǎn)，點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由點(diǎn)，得點(diǎn)．

在中，，，
，
，
，
解得．
此時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)，有．
點(diǎn)在軸上，
在中，．
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
②由是的中點(diǎn)，連接，，得．
根據(jù)題意，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上，
由點(diǎn)，點(diǎn)，得，，
在中，．
當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的點(diǎn)在線段上．
的最小值為，解得；
當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上，的最小值為，
解得．
當(dāng)?shù)闹禐榛驎r(shí)，的最小值是．