軸子及其超輻射現(xiàn)象

老虎狗主人 2021-05-10

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瞬子解以及軸子的提出

在上世紀(jì)七十年代，量子色動(dòng)力學(xué)(QCD)的提出表明人類對強(qiáng)相互作用的認(rèn)識已經(jīng)達(dá)到了空前的高度。無數(shù)的實(shí)驗(yàn)都在不斷證實(shí)這個(gè)理論的正確性。量子色動(dòng)力學(xué)，電弱統(tǒng)一理論和希格斯機(jī)制共同構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)模型甚至正確到讓人懷疑人類是否已經(jīng)找到了微觀世界的終極理論，剩下的是否只有修修補(bǔ)補(bǔ)的工作。

但是在理論的進(jìn)一步發(fā)展中，人們在理論上發(fā)現(xiàn)了 QCD 中一些奇怪的現(xiàn)象，其中比較有名的就是強(qiáng) CP 問題。人們發(fā)現(xiàn)，規(guī)范場的瞬子解能夠使得下面這個(gè)積分不為零

C_2 = \frac{g^2}{16 \pi^2}\int d^4x\,{\rm Tr}(G_{\mu \nu} \tilde{G}^{\mu \nu})

其中，

g

是強(qiáng)相互作用耦合常數(shù)，

G_{\mu\nu}

是膠子的場強(qiáng)張量，

\tilde{G}_{\mu\nu}

是場強(qiáng)張量的 Hodge 對偶，

C_2

在纖維叢理論中被稱為第二陳數(shù)。瞬子解的存在使得上式結(jié)果不為零，這是一件意義非凡的事，因?yàn)槔?nbsp;Bianchi 恒等式我們可以發(fā)現(xiàn)，被積函數(shù)是一個(gè)全導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即(左滑可查看完整公式)

{\rm Tr}(G_{\mu \nu} \tilde{G}^{\mu \nu}) = 2\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \partial_\mu {\rm Tr}\left[A_\nu(\partial_\rho A_\sigma - \frac{2}{3}i g A_\rho A_\sigma)\right]

如果要求場在無窮遠(yuǎn)處為零，那么這樣的全導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在四維時(shí)空下做積分就會(huì)為零。但是瞬子解的

A_\mu

在無窮遠(yuǎn)處并不為零，這就導(dǎo)致

C_2

可以不為零。可以證明

C_2

的值一定為整數(shù)，其大小由瞬子的拓?fù)浜蓻Q定。

更深入的研究表明，瞬子解連接著不同纏繞數(shù)(winding number)的真空。物理上的真空應(yīng)該為各種不同纏繞數(shù)真空的線性疊加。假設(shè)

|n\rangle

表示纏繞數(shù)為

n

的真空，則物理真空為

|\theta\rangle=\sum_n e^{-in\theta}|n\rangle

其中

\theta

相位的引入是因?yàn)閷?shí)現(xiàn)

\Delta n =1

的規(guī)范變換算符

R_1

是一個(gè)幺正算符。對規(guī)范不變的物理量的本征態(tài)

|\theta\rangle

做

R_1

變換，至多只能改變態(tài)的相位。在計(jì)算

\theta

真空的

S

矩陣元

_{\rm out}\langle\theta|\theta\rangle_{\rm in}

之后，我們可以得到考慮了不同

\theta

真空躍遷后的有效 QCD 拉格朗日密度

\mathcal{L}_{\rm eff} = -\frac{1}{4}G_{\mu \nu}G^{\mu \nu} \bar{\psi}D\!\!\!\!/\,\psi \frac{\theta g^2}{32\pi^2}G_{\mu \nu}\tilde{G}^{\mu \nu}

第三項(xiàng)是相較于傳統(tǒng) QCD 理論中多出來的一項(xiàng)，并且這一項(xiàng)不是 CP 變換下不變的，它預(yù)言的 CP 破壞效應(yīng)與

\theta

的大小有關(guān)。

由流代數(shù)可以得到破壞 CP 的核子 -

\pi

介子耦合項(xiàng)，并進(jìn)一步得到

\theta

對中子電偶極矩的貢獻(xiàn)。實(shí)驗(yàn)上可以得到

|\theta| < 10^{-9}

這是一個(gè)令人費(fèi)解的結(jié)果，因?yàn)?nbsp;

\theta

是由于強(qiáng)相互作用推理得到的，它不應(yīng)該這么小。這就是所謂的強(qiáng) CP 問題。

為了解決這個(gè)問題，一個(gè)天才的想法誕生于 1977 年的一篇 PRD 中[1]。這篇文章闡述了如果我們在拉氏量中加入一個(gè)額外的全局

U(1)

對稱性，在這個(gè)對稱性破缺之后，人們可以自然地引入一個(gè)贗標(biāo)量玻色子。這個(gè)對稱性被人們稱為

U(1)_{\rm PQ}

對稱性，這個(gè)粒子被稱為軸子。軸子能影響可觀測

\theta

的大小，使得

\theta

不完全由強(qiáng)相互作用提供，并且能進(jìn)一步地解釋為何這個(gè)值是如此之小。

基于這篇文章的想法，理論工作者們總共構(gòu)造出了三種軸子理論，分別為 PQWW 軸子[1]，KSVZ 軸子[2]，DFSZ 軸子[3]。盡管在構(gòu)造的細(xì)節(jié)上這三個(gè)模型有所區(qū)別，但是在破缺 PQ 對稱性和手征變換后， QCD 有效拉氏量中的第三項(xiàng)總會(huì)變成

\Delta\mathcal{L}=\left(\theta - \frac{a}{f_a}\right)\frac{g^2}{32\pi^2}G_{\mu \nu}\tilde{G}^{\mu \nu}

其中

f_a

是軸子的衰變常數(shù)，預(yù)示著軸子物理出現(xiàn)的能標(biāo)。軸子理論能解決強(qiáng) CP 問題的原因就在于軸子場的真空期望值滿足

\left(\theta - \frac{\langle a\rangle}{f_a}\right) \sim 0

上式左側(cè)作為實(shí)際測量的物理量，既不排除由強(qiáng)相互作用得到的

\theta

很大的可能性，同時(shí)又說明了測量值很小的原因。

除了能對強(qiáng) CP 問題做出如此美妙的解釋之外，軸子還能作為暗物質(zhì)的候選粒子，能解釋恒星演化、超新星爆發(fā)等天文現(xiàn)象的功率輻射問題。因此軸子作為超出標(biāo)準(zhǔn)模型的新粒子一直吸引著理論工作者和實(shí)驗(yàn)工作者的注意力。

另外，上面關(guān)于

\theta

的貢獻(xiàn)除了由

|\theta\rangle

提供的

\theta_{\rm QCD}

和軸子真空期望值貢獻(xiàn)的部分，還有由夸克質(zhì)量矩陣在手征變換后貢獻(xiàn)的部分

\theta_{\rm QFD}

。不過這涉及到軸矢流反常，細(xì)說會(huì)偏離主題，在此略過。

軸子的超輻射

超輻射是一個(gè)廣為人知的同時(shí)包含量子系統(tǒng)和經(jīng)典系統(tǒng)的現(xiàn)象。假設(shè)一個(gè)無質(zhì)量的標(biāo)量場以平面波形式 $e^{-i\omega t im\phi}$ 朝著旋轉(zhuǎn)的 Kerr 黑洞入射，如果滿足條件 $\omega < m \Omega$ ，那么反射波將帶走一部分黑洞的能量和角動(dòng)量，使得反射波大于入射波。這就是超輻射現(xiàn)象。這里的 $\omega$ 是入射波的能量， $m$ 是入射波的磁量子數(shù)， $\phi$ 是 Boyer-Lindquist 坐標(biāo)系下的極角， $\Omega$ 是黑洞旋轉(zhuǎn)的角速度。Press 和 Teukolsky 曾經(jīng)假設(shè)過，如果在黑洞周圍圍繞上一份能反射標(biāo)量場的“鏡子”，那么這個(gè)波能不停地提取黑洞的能量和角動(dòng)量，直到條件不再滿足[4]。

然而事實(shí)是，只需要標(biāo)量場有質(zhì)量，我們就能做到不斷提取能量和角動(dòng)量。在引力作用下，原本應(yīng)該被反射的標(biāo)量場將會(huì)被束縛在黑洞附近。被束縛的場如果依舊滿足條件，則會(huì)繼續(xù)提取能量，最后表現(xiàn)為束縛態(tài)的場呈現(xiàn)指數(shù)形式地增大。這里有兩個(gè)細(xì)節(jié)需要注意。首先是被束縛的場必須是玻色子場，這樣才能規(guī)避泡利不相容原理的限制。其次是被束縛的粒子的德布羅意波長必須與黑洞的尺度相媲美，否則量子理論的描述將會(huì)失效。一般來說，能出現(xiàn)超輻射效應(yīng)的軸子質(zhì)量應(yīng)該在 $10^{-20} \sim 10^{-3}{\rm eV}$ 。

下面以軸子作為例子說明大致的推導(dǎo)思路，具體的推導(dǎo)細(xì)節(jié)可以看文獻(xiàn)[5]。如果對推理思路不感興趣，可以直接跳到文末總結(jié)來認(rèn)識這個(gè)現(xiàn)象。

自由軸子場的運(yùn)動(dòng)方程在 Kerr 時(shí)空背景下可以寫為

\begin{aligned} &\left(\nabla^\mu \nabla_\mu - \mu ^2\right) \Phi = 0 \Rightarrow\,&\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu\left(\sqrt{-g} g^{\mu \nu} \partial_\nu\Phi \right) - \mu^2 \Phi = 0 \end{aligned}

其中

g

是度規(guī)

g_{\mu \nu}

的行列式。假設(shè)方程存在以下形式的解

\Phi_{lm}(t,r,\theta,\phi)=e^{-i\omega t} R_{lm}(r) S_{lm}(\theta) e^{im\phi}

l,m

的含義與量子力學(xué)中氫原子外電子波函數(shù)的指標(biāo)一樣，代表了不同角動(dòng)量模式。將上式代入軸子場的運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算與變量替換之后，和氫原子的情形相似，我們可以得到只與半徑有關(guān)的方程和只與角度有關(guān)的方程(左滑可查看完整公式，下同)

\begin{split} &\left[\frac{1}{\sin \theta} \fracaigki0i{d\theta} \left(\sin\theta \frac2gge6ci{d\theta}\right) - a^2 q^2 \cos^2\theta - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right] S_{lm}(\theta) = A_{lm} S_{lm}(\theta) &\frac{d^2\Psi_{lm}}{dx^2} \left[\omega^2 - V(\omega, x)\right]\Psi_{lm} = 0 &V(\omega, x) = -\frac{4\varpi^2}{x^4} - \frac{8\omega\varpi}{x^3} \frac{\beta(\beta-1)}{x^2} - \frac{2qv}{x} \mu^2 \end{split}

其中

x = (r-r_ )/r_

是一個(gè)只與半徑

r

有關(guān)的新變量，而

\Psi_{lm}(x) = x R_{lm}(x)

。徑向方程尤為重要，它決定了本征能量的形式

\omega = \omega_R i \omega_I

，而本征能量的實(shí)部決定了能級能量，虛部決定了波函數(shù)增大(或者減小，取決于虛部的正負(fù))的速率。

我們無法直接解徑向方程，但我們能得到它在某些區(qū)域的近似解，并利用函數(shù)匹配的方法可以半解析地得到本征能量的形式。如果考慮視界附近和無窮遠(yuǎn)處，勢能部分的某些項(xiàng)可以被忽略。在給定無窮遠(yuǎn)處為零和在視界上是純?nèi)肷湫问降倪吔鐥l件，徑向方程的解可以由合流超幾何函數(shù)近似。當(dāng)

x<1/(2q)

時(shí)，有

\begin{aligned} \Psi_{I}(x)= - A_{I} \frac{\pi}{\sin(2\pi\beta)}\left[\frac{x^\beta}{\Gamma[\beta-2i\omega]\Gamma[2-2\beta]} - \frac{(-4i\varpi)^{2\beta-1}x^{1-\beta}}{\Gamma[1-\beta-2i\omega]\Gamma[2\beta]}\right] \end{aligned}

當(dāng)

x>-4\varpi

時(shí)，有

\Psi_{II}(x) = A_{II} \frac{\pi}{\sin(2\pi\beta)}\left[\frac{x^\beta}{\Gamma[1-\beta -\nu]\Gamma[2\beta]} - \frac{(2q)^{1-2\beta}x^{1-\beta}}{\Gamma[\beta-\nu]\Gamma[2-2\beta]}\right]

其中

I

指視界附近的區(qū)域，

II

指無窮遠(yuǎn)處。如果

I

和

II

存在重疊區(qū)域，那么重疊區(qū)域應(yīng)該同時(shí)滿足上述兩個(gè)方程。容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)

\Psi

對變量

x

的依賴是相同的，因此我們可以通過匹配

x

的系數(shù)得到與能量

\omega

有關(guān)的等式

\frac{\Gamma[1-\beta-\nu]}{\Gamma[\beta-\nu]} = (-8i\varpi q)^{2\beta-1} \frac{\Gamma[\beta-2i\omega]}{\Gamma[1-\beta-2i\omega]} \left(\frac{\Gamma[2-2\beta]}{\Gamma[2\beta]}\right)^2

利用數(shù)值解的方法，假設(shè)

l=m=1

，

n=0

，我們可以得到本征能量虛部與軸子質(zhì)量之間的關(guān)系。如下圖所示

來自于[5]的圖二。對于

l=m=1

，

n=0

的情況，虛部是正的，表明波函數(shù)呈指數(shù)增大。同時(shí)顯然在

\mu M \approx 0.48

附近存在兩個(gè)峰。

在這種方法下，

\omega_I

存在較為怪異的行為，也就是在

\mu M \approx 0.48

附近存在著兩個(gè)峰和一個(gè)谷。但實(shí)際上這些行為并不是物理的。在伽馬函數(shù)的奇點(diǎn)附近，由于有

\log x

參與修正，波函數(shù)對于變量

x

的依賴不再是簡單的多項(xiàng)式形式，因此函數(shù)匹配方法將會(huì)失效。

如果我們不在一個(gè)區(qū)域上做函數(shù)匹配，而是在某些給定的重疊區(qū)域中的點(diǎn)做函數(shù)匹配，這個(gè)奇怪的行為將會(huì)消失。在類似的操作之下，我們可以得到下圖

來自于[5]的圖四

圖中紅色的線是函數(shù)在某一特定點(diǎn)匹配得到的?？梢钥闯?，利用這種方法得到的

\omega_I

變得平滑，并且與利用 infinte continued fraction 得到的結(jié)果接近[6](綠色的線)。

總結(jié)

以軸子為例，軸子能在黑洞附近形成近似于穩(wěn)定的軸子云?！敖朴诜€(wěn)定”這個(gè)說法來源于，如果軸子云滿足超輻射的條件，那么束縛態(tài)的軸子云會(huì)不停提取黑洞的能量和角動(dòng)量，表現(xiàn)為波函數(shù)的指數(shù)增大，直到不再滿足條件。在僅考慮引力效應(yīng)的時(shí)候黑洞和軸子云組成的系統(tǒng)就像是一個(gè)非常大的氫原子——黑洞就像是原子核，提供束縛的勢能，軸子云就像電子云，它能量是量子化的，由幾個(gè)量子數(shù)決定。

實(shí)際上，軸子云可以出現(xiàn)在任意的大質(zhì)量天體中，例如脈沖星。脈沖星與軸子共同組成的系統(tǒng)非常有趣，因?yàn)槊}沖星附近有人類目前所知最強(qiáng)的磁場，因此軸子-光子的耦合可能能產(chǎn)生可觀測的信號。這是一個(gè)可以用來尋找軸子的實(shí)驗(yàn)，但目前還沒有任何實(shí)驗(yàn)室開展相關(guān)工作，其中的原因有兩個(gè)。第一個(gè)是脈沖星附近的環(huán)境非常復(fù)雜，不管人們用什么模型，計(jì)算的不確定性都是不可忽略的。第二個(gè)是因?yàn)槊}沖星附近的軸子會(huì)參與很多不同的反應(yīng)，例如共振轉(zhuǎn)換，軸子-等離子體的相互作用等等，因此理論上需要做進(jìn)一步的討論，做出更符合事實(shí)的描述。筆者也在這一塊做著力所能及的嘗試。

最后，這篇文章如有錯(cuò)誤，歡迎指正。希望這篇文章能幫助到各位。

參考文獻(xiàn)：

[1] P.D. Peccei and Helen R. Quinn, PRD 16 (1977)

[2] J.E. Kim, PRL 43 2 (1979)

[3] Michael Dine, Willy Fischler and Mark Srednicki, Physics Letter 104B 3 (1981)

[4] W.H. Press and S.A. Teukolsky, Nature 238 (1972) 211

[5] J.G. Rosa, JHEP 06 (2010) 015

[6] S.R. Dolan, PRD 76 (2007) 084001

作者簡介

本文作者黃佳志是我(Chung Lee)在理論物理研究所的一位同學(xué)，人稱理論所最帥男生，明明可以靠臉吃飯，卻非要來理論所和我們卷。

這是他讀研之前的照片。多年以后，面對鏡子，他將會(huì)回想起，他曾經(jīng)擁有的茂密頭發(fā)。

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