撰文 | 曹則賢（中國(guó)科學(xué)院物理研究所研究員）

相對(duì)論與量子力學(xué)的結(jié)合

有一種說(shuō)法，相對(duì)論和量子力學(xué)是近代物理的兩大支柱。這種言論，有把相對(duì)論和量子力學(xué)放在同等地位的嫌疑。筆者以為量子力學(xué)是實(shí)用層面的理論，而相對(duì)性是一種原理、一種哲學(xué)或者信條，是構(gòu)造物理理論時(shí)需要遵循的原則，故有相對(duì)論動(dòng)力學(xué)、相對(duì)論熱力學(xué)和相對(duì)論量子力學(xué)之說(shuō)。

到1925-1927年期間關(guān)于電子的量子力學(xué)得以建立時(shí)，相對(duì)論已經(jīng)是一門(mén)相當(dāng)成熟的理論了，廣義相對(duì)論的引力場(chǎng)方程也已面世十年之久。讓量子力學(xué)波動(dòng)方程滿足相對(duì)性原理，即具有洛倫茲變換不變的形式，是許多人腦海中自然而然的想法。注意，那些量子力學(xué)的奠基人，若不同時(shí)是相對(duì)論的奠基人，至少也是非常熟悉相對(duì)論的人，愛(ài)因斯坦、普朗克、薛定諤、泡利、狄拉克、玻恩、勞厄、?？说热?，莫不如是。

1926年出現(xiàn)的薛定諤方程， ，哪怕是對(duì)于自由粒子情形， ，也不是洛倫茲變換下不變的。它的左側(cè)只含關(guān)于時(shí)間的一階微分，而右側(cè)是關(guān)于空間坐標(biāo)的二階微分。此外，此時(shí)電子具有內(nèi)稟自旋已是實(shí)驗(yàn)確立了的事實(shí)，而薛定諤方程不涉及電子自旋。1927年出現(xiàn)的泡利方程  ，哈密頓量  ，描述電子與電磁場(chǎng)之間的相互作用，其中 (Φ，A) 是電磁勢(shì)，σ 是 2×2 的泡利矩陣 (見(jiàn)下文) 。泡利方程要求波函數(shù)是兩分量的，即 ，稱為旋量 (spinor) 。兩分量波函數(shù)描述電子這樣的自旋為1/2的粒子，但自旋的性質(zhì)是手動(dòng)加進(jìn)去的。

構(gòu)造相對(duì)論量子力學(xué)需要滿足的條件是，1) 波動(dòng)方程中時(shí)間、空間坐標(biāo)要有相同的地位，且方程形式是洛倫茲變換不變的。為此，研究者要習(xí)慣使用四維時(shí)空中的位置  和四維動(dòng)量，記號(hào)，謹(jǐn)記方程是包含關(guān)于時(shí)間和空間相同階微分的方程；2)要以一種自然的方式納入自旋。如同薛定諤方程自然地給出了原子中電子的三個(gè)量子數(shù)  ，自旋這個(gè)量子數(shù)也要自然而然地從方程中跳出來(lái)。對(duì)于后一個(gè)問(wèn)題，一種方案是對(duì)薛定諤方程進(jìn)行改造，要求波函數(shù)為 ψ（x，t，σ） ，其中 σ 是粒子的自旋分量。

有一種方案是從狹義相對(duì)論出發(fā)來(lái)構(gòu)造波動(dòng)方程。狹義相對(duì)論的一個(gè)基本結(jié)論是粒子的能量-動(dòng)量關(guān)系 (就是色散關(guān)系或者能帶理論，E=E(p) 或者E=E(k) )，   。直接將能量對(duì)應(yīng)哈密頓算符， ，動(dòng)量對(duì)應(yīng)動(dòng)量算符， ，就構(gòu)造了一個(gè)相對(duì)論波動(dòng)方程。注意， 寫(xiě)成微分算符形式就是拉普拉斯符號(hào) ▽²。這樣得到的方程是所謂的克萊因-戈登方程，但克萊因-戈登方程描述的是自旋為零的粒子而不是電子。

一個(gè)容易些想到的方案是將關(guān)系式 直接硬開(kāi)根號(hào)，得到   形式的哈密頓量，但這無(wú)助于得到相對(duì)論波動(dòng)方程。根號(hào)很難處理，不優(yōu)雅，無(wú)法加外電磁場(chǎng)。其實(shí)， 形式的哈密頓量不只是有等號(hào)兩邊都不具有不變性的問(wèn)題，或者什么由展開(kāi)根號(hào)帶來(lái)的問(wèn)題, 筆者以為它最大的問(wèn)題是缺乏正當(dāng)?shù)奈锢硪饬x。然而，從 得到某種只包含對(duì)空間坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的哈密頓量是個(gè)特別誘人的方案，某種意義上說(shuō)甚至是唯一的方案。1928年，26歲的英國(guó)物理學(xué)家狄拉克獨(dú)辟蹊徑，得到了這樣的哈密頓量，建立起了描述電子的相對(duì)論量子力學(xué)方程。

克萊因-戈登方程

克萊因-戈登方程的形式為 。如果使用自然單位制（ c=1；? =1）^（1），且使用狹義相對(duì)論的平直時(shí)空度規(guī) η^μν ，則可改寫(xiě)為  。若欲包括電磁作用，可直觀地做替換  ， ，采用四維動(dòng)量和四維電磁矢量勢(shì)表示，此時(shí)克萊因-戈登方程可直接寫(xiě)成  的形式，這是標(biāo)量電動(dòng)力學(xué)（scalar electrodynamics）的基礎(chǔ)。還可以把電磁場(chǎng)作用下的方程寫(xiě)成規(guī)范協(xié)變的形式。若要求波函數(shù)有如下的規(guī)范變換 ，其中 θ（x，t）是相角，則只需要把微分算符 替換為  ，要求電磁場(chǎng)按照 方式變換，相應(yīng)的克萊因-戈登方程變?yōu)?nbsp;  的形式。類似地，在廣義相對(duì)論關(guān)注的彎曲時(shí)空中，即包括引力效應(yīng)，可直接把度規(guī)換成彎曲空間的度規(guī)，微分 換成協(xié)變微分 ▽_μ ，即可得彎曲時(shí)空中的克萊因-戈登方程  ，或者寫(xiě)成  ， 等形式。此是后話，讀者可在學(xué)完廣義相對(duì)論后回頭再體會(huì)一番。 

克萊因-戈登方程被許多人重復(fù)發(fā)現(xiàn)，原因是只要簡(jiǎn)單地將哈密頓算符   和動(dòng)量算符  分別替換能量-動(dòng)量關(guān)系中的能量和動(dòng)量就能得到。薛定諤于1925年在得到薛定諤方程之前就得到過(guò)它，因?yàn)檫@個(gè)方程不能正確解釋氫原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)就放棄了（見(jiàn)于薛定諤筆記本里的記載）?？巳R因（Oscar Klein，1894-1977）和戈登（Walter Gordon，1893-1939）于1926年提議用這個(gè)方程描述相對(duì)論電子。但是人們逐漸發(fā)現(xiàn)克萊因-戈登方程描述相對(duì)論電子會(huì)遭遇一些問(wèn)題。其一是負(fù)能量解問(wèn)題，后來(lái)的狄拉克方程也會(huì)遇到這個(gè)問(wèn)題，但兩者各有不同。另一個(gè)是波函數(shù)的詮釋問(wèn)題?？巳R因-戈登方程的守恒量為  ， ，但不是正定的（positive definite），克萊因-戈登方程的波函數(shù)不能同薛定諤方程的波函數(shù)那樣被詮釋為幾率幅。后來(lái)，克萊因-戈登方程波函數(shù)的模平方被詮釋成了電荷密度，可為正、零或者負(fù)。

克萊因-戈登方程不構(gòu)成任何單粒子理論的基礎(chǔ)，它后來(lái)被詮釋為自旋為零的粒子的場(chǎng)方程。在量子場(chǎng)論中，所有量子場(chǎng)的每一個(gè)分量都要求滿足克萊因-戈登方程。據(jù)信2012年發(fā)現(xiàn)了的自旋為零的粒子—希格斯玻色子，是克萊因-戈登方程描述的唯一基本粒子?？巳R因-戈登方程的另一個(gè)適用對(duì)象是pi-介子這樣的復(fù)合粒子?？巳R因-戈登方程的另一個(gè)提出者?？?/span>（Vladimir Fock，1898-1974）還研究了克萊因-戈登方程的規(guī)范理論。

狄拉克方程

1928年，后來(lái)宣稱自己喜歡擺弄方程的狄拉克得到了關(guān)于時(shí)間和空間坐標(biāo)一階微分形式的相對(duì)論量子力學(xué)方程。這其中關(guān)鍵的一步，是從相對(duì)論能量-動(dòng)量關(guān)系 E²=p²c²+(mc²)² 得到線性的能量-動(dòng)量關(guān)系，然后做替換 和 。為此，要做因式分解 x²+y²=(αx+βy)² ，這相當(dāng)于要求 αβ+βα=0 ，α²=β²=1 。αβ+βα=0 這樣的反對(duì)稱條件是非常強(qiáng)的限制。一個(gè)合理的選擇是 α，β 應(yīng)為矩陣。狹義相對(duì)論考慮的是四維時(shí)空，故可為 α，β 選擇 4×4 矩陣。狄拉克為此構(gòu)造了 α₁，α₂，α₃ 和 β 四個(gè) 4×4 矩陣，得到了電子的哈密頓量為   。常規(guī)的狄拉克方程會(huì)寫(xiě)成，其中  ， ， i=1, 2, 3 ，σ₀ 是 2×2 單位矩陣，乃為著名的泡利矩陣， ；；。鑒于 γ^μ 都是 4×4 矩陣，則此處的波函數(shù) Ψ 是4分量的。這樣的相對(duì)論量子力學(xué)方程，物理上是有意義的嗎？

非相對(duì)論量子力學(xué)中，自旋的考量是手動(dòng)加進(jìn)去的。相對(duì)論同量子力學(xué)的結(jié)合，則讓人們認(rèn)識(shí)到自旋是一種相對(duì)論性質(zhì)。考察狹義相對(duì)論的閔可夫斯基空間，其中的距離由洛倫茲度規(guī)定義，即對(duì)于矢量 x=(x₀，x₁，x₂，x₃) ，其模平方為 。所謂的洛倫茲變換 A ，就是保洛倫茲度規(guī)的變換，要求保證 |Ax|²=|x|² 成立（嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)是保 (Ax，Ay)=(x，y) 成立）。群同構(gòu)方面的知識(shí)告訴我們這個(gè)空間有其它的表示方式?？疾炻鍌惼澣和?群之間的同構(gòu)關(guān)系，每個(gè)矢量 x=(x₀，x₁，x₂，x₃) 可以表示成一個(gè) 2×2 自伴隨矩陣  ，有  ，即這個(gè)矩陣的矩陣值再現(xiàn)了閔可夫斯基空間的洛倫茲度規(guī)。這個(gè) 2×2 自伴隨矩陣構(gòu)成了一個(gè)四維矢量空間，其四個(gè)正交基為 _{；；；，}則有   。泡利矩陣 σ₁，σ₂，σ₃ 出現(xiàn)在閔可夫斯基空間的洛倫茲度規(guī)的表示中，這讓人們隱約感覺(jué)到自旋與狹義相對(duì)論有關(guān)。

狄拉克的電子哈密頓量為 。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的信條，一個(gè)物理量同哈密頓量之間的量子對(duì)易式為零，則該物理量為守恒量?？疾煲粋€(gè)自由電子的角動(dòng)量算符 ?？捎?jì)算其任一分量同哈密頓量之間的對(duì)易式，得 ；可見(jiàn)   ，結(jié)論是自由電子的角動(dòng)量不守恒。這是怎么會(huì)事，一個(gè)自由的電子怎么可能角動(dòng)量不守恒呢？

若假設(shè)電子具有大小為 ?/2 的內(nèi)稟角動(dòng)量， 自旋角動(dòng)量矢量為 ，則電子的總角動(dòng)量為 J=L+S 。考察 S 的任意分量隨時(shí)間的變化，發(fā)現(xiàn)  。這樣，我們得到了  ，即算符 J=L+S 是守恒的。也就是說(shuō)，若我們認(rèn)定一個(gè)自由的電子其角動(dòng)量應(yīng)該是守恒的，那它就應(yīng)該除了軌道角動(dòng)量 以外，還有個(gè)自旋角動(dòng)量  。這就是人們常說(shuō)的電子具有內(nèi)稟角動(dòng)量 ，或者說(shuō)電子是自旋 ?/2 的粒子。狄拉克方程自然而然要求電子具有 ?/2 的自旋。

狄拉克方程 中的波函數(shù)是四分量的。解狄拉克方程，會(huì)發(fā)現(xiàn)有負(fù)能量解（旋量，spinor），能量本征值為  。在經(jīng)典力學(xué)中，負(fù)能量解或者其它不合理的解可以隨手扔掉，但是在量子力學(xué)的語(yǔ)境中這樣做是不可以的。量子力學(xué)方程所有的解都是一個(gè)完備空間里的矢量。有必要為負(fù)能解找到一個(gè)讓人能夠接受的詮釋。

1929年狄拉克認(rèn)為空間的真空態(tài)可看作是負(fù)能態(tài)電子充滿的海。一個(gè)負(fù)能態(tài)的電子躍遷到正能量狀態(tài)，會(huì)在負(fù)能態(tài)海中留下一個(gè)空穴。負(fù)能態(tài)電子激發(fā)后留下的空穴在電磁場(chǎng)下的行為類似是帶正電的?？昭ǖ母拍钍悄弥卦拥碾婋x過(guò)程作類比得來(lái)的。因?yàn)槟菚r(shí)候已知的帶正電荷的粒子只有質(zhì)子，狄拉克認(rèn)為質(zhì)子就是負(fù)能態(tài)電子海的空穴，但這遭到了奧本海默的反對(duì)。如果質(zhì)子是電子負(fù)能海里的空穴的話，那氫原子會(huì)迅速自我毀滅。此外，狄拉克方程里只有一個(gè)質(zhì)量，但是電子和質(zhì)子質(zhì)量完全不同，相差1836倍。1931年，狄拉克修正了此前的詮釋，認(rèn)為存在反電子（anti-electron），其與電子的質(zhì)量相同但電荷相反，和電子接近會(huì)湮滅。這個(gè)念頭十分荒唐，但好物理學(xué)只怕懂物理的物理學(xué)家荒唐得不夠。

狄拉克在1931年拋出了存在正電子的念頭，1932年8月2日安德森（Carl David Anderson，1905-1991）就宣稱他發(fā)現(xiàn)了正電子，并因此獲得了1936年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。安德森研究宇宙射線，他在一張拍攝到的氣泡室照片上發(fā)現(xiàn)了同時(shí)出現(xiàn)的、方向相反但彎曲程度差不多的粒子徑跡。磁場(chǎng)下帶電粒子軌跡的曲率半徑由粒子的荷質(zhì)比 q/m 所決定，反向的、半徑大約相同的軌跡意味著粒子具有相反的電荷和相同的質(zhì)量。此后，安德森又用由放射性核衰變而來(lái)的γ射線照射物質(zhì)，也產(chǎn)生了電子-正電子對(duì)，從而獲得了存在與電子質(zhì)量相等、電荷相反之粒子的確鑿證據(jù)。安德森1932年的宇宙射線經(jīng)過(guò)氣泡室后可觀察到正電子的實(shí)驗(yàn)照片不易直觀地得出存在正電子的結(jié)論，這里筆者選用γ射線產(chǎn)生電子-正電子對(duì)的過(guò)程，以便讀者見(jiàn)識(shí)到更有說(shuō)服力的直觀證據(jù)。圖1的照片中可見(jiàn)一個(gè)‘個(gè)’字形的線條，這里是γ射線-原子核碰撞的發(fā)生處，中間的那根線差不多是直直地延伸出去的，這是作反沖運(yùn)動(dòng)的原子核留下的徑跡。在碰撞的發(fā)生處出現(xiàn)了兩個(gè)螺旋，兩個(gè)螺旋向相反方向展開(kāi)，且彎曲程度差不多，表明確實(shí)是由具有差不多大小但相反之荷質(zhì)比的帶電粒子造成的，這算是證明了確實(shí)存在正電子。據(jù)信斯科貝爾欽（Dmitri Vladimirovich Skobeltsyn，1892-1990）1929年用云室探測(cè)宇宙線中的γ射線時(shí)就注意到了有和電子彎折方向相反的粒子，但只是被當(dāng)作某種未知的帶正電的粒子而已。趙忠堯先生（1902-1998）1929年在研究γ射線被鉛散射的過(guò)程時(shí)，也記錄到了產(chǎn)生電子-正電子對(duì)的過(guò)程。因?yàn)闆](méi)有狄拉克的瘋狂思想，這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果的重大意義沒(méi)有被破解。安德森的觀測(cè)結(jié)果生逢其時(shí)。

正電子的發(fā)現(xiàn)是狄拉克方程正確性的一個(gè)證據(jù)，確立了存在反粒子的事實(shí)。反粒子的概念后來(lái)被擴(kuò)展到所有粒子，比如有反質(zhì)子、反光子、反中子等等。質(zhì)子和電子的情形一樣，反質(zhì)子與質(zhì)子的質(zhì)量相同但電荷相反，反質(zhì)子的電荷為負(fù)。中子不帶電，反中子與中子的質(zhì)量相同且也不帶電荷，它們的區(qū)別在于別的量子數(shù)上。中子的重子數(shù)（baryon number）為1，反中子的重子數(shù)為-1。反質(zhì)子和反中子分別于1955年和1956年被發(fā)現(xiàn)。至于光子，光子無(wú)質(zhì)量、無(wú)電荷，如何反？理論認(rèn)為光子是它自身的反粒子。由反粒子進(jìn)一步引出了反物質(zhì)（antimatter）的概念—由一個(gè)正電子和反質(zhì)子組成的原子就是一個(gè)反氫原子。目前，人們已經(jīng)能在實(shí)驗(yàn)室里制備出反氫原子，壽命超過(guò)了1000秒。反粒子概念的提出，開(kāi)啟了人類認(rèn)識(shí)基本粒子的大門(mén)，有興趣的讀者可以多修習(xí)一些粒子物理的內(nèi)容。

正電子的發(fā)現(xiàn)，以及正電子-電子湮滅過(guò)程，比如 e⁺+e^-→2γ ，將狹義相對(duì)論得出的質(zhì)能關(guān)系放到了極限意義上去理解。從原子核的裂變過(guò)程，或者原子發(fā)射光子的過(guò)程，人們得出的質(zhì)能關(guān)系為 ΔE=Δmc² ，即過(guò)程中獲得的額外能量 ΔE與過(guò)程造成的質(zhì)量虧損（deficit）Δm 之間有量化的關(guān)系 ΔE=Δmc² 。筆者以為，等到確立了類似 e⁺+e^-→2γ 這樣的過(guò)程，人們才可以確切地說(shuō)質(zhì)量可以完全轉(zhuǎn)化為能量，或者說(shuō)質(zhì)量為 m 的靜止粒子攜帶能量 mc² 。當(dāng)然，電子-正電子湮滅的產(chǎn)物不只有光子，根據(jù)能量的不同，這個(gè)湮滅過(guò)程還可以產(chǎn)生別的粒子，如中微子、 粒子對(duì)、希格斯玻色子，等等。這讓通過(guò)高能電子-正電子碰撞獲得新粒子成為可能。順便說(shuō)一句，e⁺+e^-→2γ 這樣的湮滅過(guò)程提供了原子中電子躍遷之外的另一種發(fā)光機(jī)理。

從前人們熟悉光的吸收這個(gè)自然過(guò)程，因此認(rèn)為光子是倏逝的（evanescent）。電子-正電子湮滅過(guò)程讓人們認(rèn)識(shí)到電子這樣的基本粒子也是倏逝的。等到1932年費(fèi)米建議質(zhì)子也是可以摧毀的，則所有構(gòu)成物質(zhì)的粒子都是倏逝的。粒子不是永恒的，可以產(chǎn)生和湮滅，這為量子場(chǎng)論的誕生準(zhǔn)備了心理基礎(chǔ)。

反粒子的發(fā)現(xiàn)，也帶來(lái)了更多的困惑。同樣一組方程描述的粒子，為什么電子那么多而正電子卻那么少甚至要借助專門(mén)的過(guò)程制備？為什么電子壽命很長(zhǎng)而正電子是短壽的？當(dāng)然了，短壽命更是反物質(zhì)的特征。氫原子幾乎是永恒的，而由正電子和反質(zhì)子組成的反氫原子，人們千辛萬(wàn)苦才將其壽命維持到1000秒的水平。這些問(wèn)題，目前尚沒(méi)有令人信服的答案。 

狄拉克方程可以用Vierbein^（2）場(chǎng)和引力自旋聯(lián)絡(luò)推廣到彎曲時(shí)空。Vierbein 定義局域的靜止參考框架，可以讓常數(shù)狄拉克矩陣作用到每一個(gè)時(shí)空點(diǎn)上。所謂的Vierbein這樣理解，在相對(duì)論的tetrad（局域定義的四個(gè)線性獨(dú)立的矢量場(chǎng)）表示中，一個(gè)tetrad 基可取為  ， ，在任意時(shí)空點(diǎn)上張開(kāi)四維的切空間，其中的就是Vierbein。注意， ，所以可由關(guān)系是  來(lái)理解Vierbein。利用Vierbein，彎曲時(shí)空中的狄拉克方程可表為  的形式，其中 D_μ 是費(fèi)密子場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)  ， ，而 是自旋聯(lián)絡(luò)的分量。這些內(nèi)容，讀者在熟悉廣義相對(duì)論后回過(guò)頭來(lái)會(huì)有更深刻的理解。

相對(duì)論量子力學(xué)方程的一般構(gòu)造

構(gòu)造（狹義）相對(duì)論量子力學(xué)的一般途徑可以從對(duì)稱性考慮著手。任何龐加萊協(xié)變表述的量子力學(xué)都是相對(duì)論量子力學(xué)。在保持時(shí)間方向不變的洛倫茲變換下，時(shí)空變換為 (x，t)→∧(x，t)，相應(yīng)地，波函數(shù)變換形式為  ， 其中 D∧ 是洛倫茲群的一個(gè)表示， 為一  (2s+1)×(2s+1) 的方陣，而波函數(shù) Ψ_σ 具有 (2s+1) 個(gè)分量。從洛倫茲群的表示出發(fā)，可以構(gòu)造針對(duì)任何自旋粒子的相對(duì)論波動(dòng)方程。這樣，構(gòu)造相對(duì)論量子力學(xué)的任務(wù)也隨之變成研究洛倫茲群的表示問(wèn)題了。

前述的克萊因-戈登方程和狄拉克方程都是洛倫茲不變的，其解分別作為洛倫茲標(biāo)量（對(duì)應(yīng)(0,0)表示）或者二旋量（bispinor） （對(duì)應(yīng) ）在洛倫茲群下進(jìn)行變換。以此觀點(diǎn)，則電磁場(chǎng)方程也可看作是相對(duì)論波動(dòng)方程，其解根據(jù)洛倫茲群的  表示變換。

量子場(chǎng)論

量子場(chǎng)論的提出，在二十世紀(jì)四十年代之后結(jié)出了碩果。依據(jù)量子場(chǎng)論的思想，人們相繼構(gòu)造了量子電動(dòng)力學(xué)和量子色動(dòng)力學(xué)。那是一條通向更多發(fā)現(xiàn)的路。

本文取自曹則賢著《相對(duì)論-少年版》，科學(xué)出版社，2019

（1）俄羅斯科學(xué)家Yuri Manin說(shuō)：“為什么c=1呢， 因?yàn)樗偷扔??！?nbsp;

（2）相對(duì)論關(guān)切的是4維的時(shí)空，為一贗黎曼空間。四字就經(jīng)常出現(xiàn)。此處出現(xiàn)的Vierbein，德語(yǔ)，四條腿，和Tetrad, 拉丁語(yǔ)，四重，都是沖著四維時(shí)空而來(lái)的概念。

[2] Armin Wachter, Relativistic quantum mechanics, Springer 2011

[3] Walter Greiner, Relativistic Quantum Mechanics:Wave Equations (3rd ed.), Springer Verlag (2000).

[4] P. A. M. Dirac, Quantised Singularities in the Quantum Field，Proceedings of the Royal Society A 133 (821), 60–72(1931).

[5] Frank Wilczek, Quantum field theory, Reviews of Modern Physics 71(2), S85-S95(1999).