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數(shù)據(jù)的集中趨勢:眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)

 昵稱54451547 2021-04-27

大家好,我是老喬,這里是超智星球的《超智·統(tǒng)計學》系列課程。

本文是系列課程的第十五期,3681個字,預計用時10分鐘。

如果你的老板讓你匯報上個季度的銷量表現(xiàn),而他趕著開一個會,讓你只用一個指標來概括。那你需要一個合適的數(shù)字,反映了上個季度的銷量的集中位置,來代替整體水平。

本文,我們講講,有哪些關(guān)鍵的數(shù)值,可以代表整體的水平。

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從豬肉價格上漲說起

最近國內(nèi)豬肉價格飆升,不知道無肉不歡的朋友們可還能撐得住啊,就連小餐館的炒餅炒肉都漲了好幾塊錢。。。然而,最近的微博有條熱搜,某集團老板曹某旺談豬肉漲價:應大膽、勇敢的接受漲價,不漲價才不合理?。。。?!

具體言辭如下“1978年的豬肉兩塊多錢一斤,工人的工資才30塊錢一個月?,F(xiàn)在工資平均要7000塊,漲了200倍。而農(nóng)民養(yǎng)豬,豬肉就按照今天60塊來算,也才漲30倍。我們應該大膽的、勇敢的接受這些農(nóng)副產(chǎn)品漲價??赡軡q價是合理的,不漲價才是不合理的”。

聽完他的話,你是不是感覺貌似有點道理但又哪里不對的樣子,其實這里他就讓我們進入到了一個誤區(qū)“平均”。

在貧富兩極化的比較嚴重的情況下,平均工資根本不能代表普通人工資的水平;而且經(jīng)濟越發(fā)達,基本消費品的價格占總收入的比例應該越小才對。所以,下次再看到某媒體拿平均數(shù)來說事要謹慎了,我和馬云的平均年收入為10億,能說我年賺5億嗎,我倒是想呢。

這里出現(xiàn)了第一個知識點:平均數(shù)容易受異常數(shù)值影響,有時不能表現(xiàn)一組數(shù)據(jù)真實水平。

既然平均數(shù)不能表示真實工資水平,那么什么指標能表示工資水平呢?咱們本期談?wù)劥頂?shù)據(jù)集中數(shù)值的三個數(shù):眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。

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眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)

上文講到,針對數(shù)值型數(shù)據(jù),我們可以進行分類統(tǒng)計、數(shù)據(jù)排序、數(shù)值計算三個層級的操作。

* 根據(jù)分組統(tǒng)計,我們可以得到眾數(shù)

* 根據(jù)數(shù)據(jù)排序,我們可以得到中位數(shù)

* 根據(jù)數(shù)值計算,我們可以得到平均數(shù)

眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)是集中趨勢的三個主要測度值,它們具有不同的特點和應用場合。掌握它們的特點,有助于在實際應用中選擇合理的測度值來描述數(shù)據(jù)的集中趨勢。

**眾數(shù)**眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值,不受數(shù)據(jù)極端值的影響。比如,B站剛創(chuàng)辦時的用戶主要是二次元愛好者,這說的就是眾數(shù)。眾數(shù)的缺點是具有不唯一性,一組數(shù)據(jù)可能有一個眾數(shù),也可能有兩個或多個眾數(shù),也可能沒有眾數(shù)。眾數(shù)只有在數(shù)據(jù)量較多時才有意義,當數(shù)據(jù)量較少時,不宜使用眾數(shù)。眾數(shù)適合作為分類數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值。

**中位數(shù)**是一組數(shù)據(jù)中間位置上的值,不受數(shù)據(jù)極端值的影響。舉個栗子,房間里有5人,收入分別為「10萬,11萬,12萬,13萬」,此時的中位數(shù)為11.5萬。即使此時馬云加入,「10萬,11萬,12萬,13萬,馬云」,中位數(shù)變?yōu)?2萬,仍然可以反映真實水平。當一組數(shù)據(jù)的分布偏斜程度較大時,使用中位數(shù)也許是一個好的選擇。中位數(shù)適合作為順序數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值。

**平均數(shù)**是針對數(shù)值型數(shù)據(jù)計算的,而且利用了全部數(shù)據(jù)信息,它是應用最廣泛的集中趨勢測度值。當數(shù)據(jù)呈對稱分布或接近對稱分布時,三個代表值相等或接近相等,這時則應選擇平均數(shù)作為集中趨勢的代表值。但平均數(shù)的主要缺點是易受數(shù)據(jù)極端值的影響,對于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù),平均數(shù)的代表性較差。因此,當數(shù)據(jù)為偏態(tài)分布,特別是偏斜程度較大時,可以考慮選擇中位數(shù)或眾數(shù),這時它們的代表性要比平均數(shù)好。

從分布的角度看,眾數(shù)始終是一組數(shù)據(jù)分布的最高峰值,中位數(shù)是處于一組數(shù)據(jù)中間位置上的值,而平均數(shù)則是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均。因此,對于具有單峰分布的大多數(shù)數(shù)據(jù)而言,眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)之間具有以下關(guān)系:

* 如果數(shù)據(jù)的分布是對稱的,眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)必定相等;

* 如果數(shù)據(jù)是左偏分布,說明數(shù)據(jù)存在極小值,必然拉動平均數(shù)向極小值一方靠,而眾數(shù)和中位數(shù)由于是位置代表值,不受極值的影響,因此三者之間的關(guān)系表現(xiàn)為:平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù);

* 如果數(shù)據(jù)是右偏分布,說明數(shù)據(jù)存在極大值,必然拉動平均數(shù)向極大值一方靠,因此,眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)。

上述關(guān)系如圖所示:

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“平均數(shù)有三種算法”

雖然平均數(shù)有缺點,但平均數(shù)在統(tǒng)計學中具有極其重要的地位,是集中趨勢的最主要的測度值。所以我們要重點講一下平均數(shù)。關(guān)鍵的是,平均數(shù)的計算方法。

有同學就要問了,平均數(shù)怎么算初中就已經(jīng)學過了,還用的著教么?

哼,孔乙己說:“回字有四樣寫法”,老喬說:“平均數(shù)有三種算法”。在統(tǒng)計學中,根據(jù)所掌握數(shù)據(jù)的不同,平均數(shù)有不同的計算形式和計算公式,分別為:簡單平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)。

這里有兩點,咱扯遠些。

首先,孔乙己的說法不對。

回字其實只有三種寫法,即:回、囘、囬。這里是魯迅先生描畫孔乙己迂腐形象的神來之筆,說明孔乙己醉心于鉆研無用的知識,自以為博學,其實是錯誤的。

其次,老喬的說法也不對。

數(shù)學世界里,除了上述三種,還有一種“調(diào)和平均數(shù)(harmonic mean)”。在數(shù)學中調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)都是獨立的自成體系的。計算結(jié)果兩者不相同且前者恒小于等于后者。因而數(shù)學調(diào)和平均數(shù)定義為:數(shù)值倒數(shù)的平均數(shù)的倒數(shù)。

但統(tǒng)計和數(shù)學不同,統(tǒng)計學中,統(tǒng)計加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形,附屬于算術(shù)平均數(shù),不能單獨成立體系。它主要是用來解決在無法掌握總體單位數(shù)(頻數(shù))的情況下,只有每組的變量值和相應的標志總量,而需要求得平均數(shù)的情況下使用的一種數(shù)據(jù)方法,公式:n/(1/A1 1/A2 ... 1/An)。其計算結(jié)果與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)完全相等。

沒聽懂沒關(guān)系,為了這事,行業(yè)里也有學者專門研究這問題:

* 陳正謨. 統(tǒng)計學中不應有調(diào)和平均數(shù)[J]. 統(tǒng)計工作, 1957(7).

* 常樂. 論取消調(diào)和平均數(shù)[J]. 貴州財經(jīng)學院學報, 1996.

* 姜長文. 關(guān)于取消'調(diào)和平均數(shù)'統(tǒng)計概念的論證分析[J]. 金融理論與教學, 2007(第2期):51-53.

咱截圖看看其中一篇的文風,很有那個時代的特色。老喬我是文科生,對這個瞬間勾起無數(shù)上學時的知識回憶。

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好啦,還是回正題,咱講統(tǒng)計學的平均數(shù)三種算法:簡單平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)。

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簡單平均數(shù)

統(tǒng)計學中,根據(jù)未經(jīng)分組數(shù)據(jù)計算的平均數(shù)稱為簡單平均數(shù)(simple mean)。

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我們可以利用Excel中的AVERAGE函數(shù)可以計算一組數(shù)值型數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

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加權(quán)平均數(shù)

統(tǒng)計學中,根據(jù)分組數(shù)據(jù)計算的平均數(shù)稱為加權(quán)平均數(shù)(weighted mean)。

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要注意,這里其實是用各組中值代表各組的實際數(shù)據(jù)。如果各組數(shù)據(jù)在組內(nèi)是均勻分布的,那計算的結(jié)果是比較準確的,否則誤差就會較大。

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集合平均數(shù)

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幾何平均數(shù)是適用于特殊數(shù)據(jù)的一種平均數(shù),它主要用于計算平均比率。當所掌握的變量值本身是比率形式時,采用幾何平均法計算平均比率更為合理。在實際應用中,幾何平均數(shù)主要用于計算現(xiàn)象的平均增長率。

一位投資者持有一種股票。連續(xù)4年的收益率分別為4.5%,2.1%,25.5%,1.9%。要求計算該投資者在這4年內(nèi)的平均收益率。

平均收益率,幾何平均數(shù)為8.0787%;平均收益為13644.57(元)

平均收益率,算數(shù)平均數(shù)為8.5%;平均收益為13858.59(元)

兩者相差214.02元,而這部分收益投資者沒有獲得。這說明,對于比率數(shù)據(jù)的平均采用幾何平均要比算術(shù)平均更合理。

并且,當所平均的各比率數(shù)值差別不大時,算術(shù)平均和幾何平均的結(jié)果相差不大;如果各比率的數(shù)值相差較大時,二者的差別就更加明顯。

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謹慎對待數(shù)字

還有講一個故事,關(guān)于如何選擇集中數(shù)字:

2010年至2013年間,美國家庭的平均工資從8.4萬美元增加到超過8.7萬美元,增長了4%。

但并不是每個人都在歡呼,年內(nèi)收入中位數(shù)下降了5%,家庭收入中位數(shù)從4.9萬美元下降到略高于4.65萬美元。

那些不道德的政客,口口聲聲說“平均收入在增長”———人民大眾切切實時的感受著收入的下降。平均收入增長的同時,收入中位數(shù)下降。這是金融危機后的真實情況。因為家庭在收入分配上不平等,部分人賺了更多的錢,而其他許多家庭的收入?yún)s減少了。

這指向了關(guān)于統(tǒng)計學一個非常重要的問題,在這個系列中一次又一次強調(diào)的,統(tǒng)計數(shù)字是會“說謊”的。統(tǒng)計學除了學習知識本身,更重要的一個重要部分是理解。統(tǒng)計數(shù)字可以幫助我們做決定,但我們用我們的常識謹慎的接納這些數(shù)字。

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總結(jié)

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本文內(nèi)容總結(jié)如下:

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感謝大家,我們下期再見。

參考文獻:

1. 孫靜娟主編.《統(tǒng)計學》.清華大學出版社.2015:18-20.

2. 袁衛(wèi),劉超.《統(tǒng)計學--思想、方法與應用》(第二版).中國人民大學出版社.2011.

3. 賈俊平,何曉群,金勇進.《統(tǒng)計學》(第七版).中國人民大學出版社.2018.

4. 陳正謨. 統(tǒng)計學中不應有調(diào)和平均數(shù)[J]. 統(tǒng)計工作, 1957(7).

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