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【全網(wǎng)最全】“將軍飲馬”模型及其各類變形全歸納

 一個(gè)大風(fēng)子 2021-04-13
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“將軍飲馬”問題是指動點(diǎn)在直線上運(yùn)動,線段和差的一類最值問題,往往通過對稱進(jìn)行等量代換,轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間的距離或點(diǎn)到直線的距離,或利用三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊求得最值。解決這類問題要用到兩個(gè)基本知識點(diǎn):“兩點(diǎn)之間線段最短”和“垂線段最短”.

【類型一 兩定一動基本型】

1、同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最

問題:在直線 l 上求一點(diǎn) P,使PA+PB 值最小.

做法:連接AB,與l交點(diǎn)即為P,PA+PB的最小值為AB.

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問題:在直線 l 上求一點(diǎn) P,使PA+PB 值最小.

做法:作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A',連A'B,與l 交點(diǎn)即為P,PA+PB的最小值為A'B.

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2、同側(cè)、異側(cè)兩線段之差最大、最小

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【類型二 兩次對稱型】

問題:在直線 l1、 l2上分別求點(diǎn)M、N,使△PMN 的周長最?。?/p>

做法:分別作點(diǎn) P 關(guān)于兩直線的對稱點(diǎn) P' 和 P'',連接 P' P'',與兩直線交點(diǎn)即為 M,N.

PM+MN+PN的最小值為線段P'P''的長.

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【類型三 平移型】

問題:在直線l上求兩點(diǎn) M、N(M在左),使 MN=a,并使AM+MN+NB的值最?。?/p>

做法:將點(diǎn)A向右平移 a個(gè)長度單位得A',作A'關(guān)于l的對稱點(diǎn) A'',連接A''B,交直線l于點(diǎn)N,將N點(diǎn)向左平移a個(gè)單位得M.AM+MN+BN的最小值為A''B+MN.

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【類型四 點(diǎn)到直線垂線段最短】

問題:點(diǎn)P在銳角∠AOB內(nèi)部,在OB邊上求作一點(diǎn)D,在OA邊上求作一點(diǎn)C,使PD+CD最小.

做法:作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)P',向直線OA作垂線,與OB的交點(diǎn)為所求點(diǎn)D,垂足即為點(diǎn)C.

根據(jù)“垂線段最短”,可知PD+CD的最小值為P'C的長度.

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【類型五 三動點(diǎn)“將軍飲馬”問題】

【例1】已知如圖,∠A=30°,BC=4,SABC=16,點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的動點(diǎn),則△DEF的周長的最小值是        .

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【類型六 相對運(yùn)動思想的運(yùn)用】

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【類型七 先找“河”,再“飲馬”】

為了總結(jié)的完整性,這部分內(nèi)容放在了這里,建議大家先學(xué)習(xí)后面的壓軸模型“主從聯(lián)動模型”,學(xué)習(xí)完以后再來看這一類型,會更容易理解。

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