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初中數(shù)學幾何最值終極大招,助你破解加權線段最值之謎

 當以讀書通世事 2019-06-07

之前的文章對初中數(shù)學幾何最值問題提供了五種解決方法,它們基本可以解決同學們遇到的最值問題。但近幾年,出現(xiàn)了另外一種形如mAP+nAB的最值問題,運用之前的方法,根本沒辦法解決,難倒了絕大多數(shù)的同學,我把它歸納為加權線段之和的最值。我們先來看一下問題吧。

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加權線段之和

如圖所示,A,B是兩個定點,P點以某種軌跡運動,一個人以V1的速度走到P,然后以V2的速度走到B,求這個人所用的最短時間。這個問題乍一看,好像是將軍飲馬模型,但將軍飲馬模型只是這個問題的一個特例。當V1=V2,P點在一條直線上運動時,實際上還是求AP+PB的長度,它就是將軍飲馬模型,但當V1不等于V2時,即使P點還在一條直線上運動,它成了求mAP+nBP的長度,使用將軍飲馬模型怎么也求不出來。這個問題,因為加上了速度這一維度,使難度提高了許多,就好比牛頓經(jīng)典力學遇上了相對論才能解決的問題。

在初中階段,根據(jù)P點運動的軌跡,這個問題主要分為兩類。一個是P點在一條直線上運動,對于這種問題的解決,使用的是胡不歸模型。一個是P點在一個圓上運動,對于這種問題的解決,使用的是阿氏圓模型。

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胡不歸模型

首先,我們來看一下胡不歸模型。

有兩個定點A和B,一個動點P在AC上運動,AP段的速度是V1,PB段的速度是V2,求走完AP+BP的最短時間。它的解決思路是把兩個速度作統(tǒng)一化處理,就是把以一個速度V1所完成的路程S1,轉化成以另一個速度V2以相同速度所完成的路程S3,這樣以V2速度完成的路程S3就可以和以V2速度完成的路程S3進行合并了。說的有點繞,具體到圖中就很明白了,在圖中,就是把V1完成的路程AP'轉化成V2完成的路程P'D',這樣它們的速度一樣,所以去求P'B+P'D'的最小值。根據(jù)垂線段最短,過B作垂線交于P,就是所求的點。下面我們來具體學習一下解題過程。

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胡不歸解法

以上的過程,同學們看懂了嗎?可以看到,胡不歸模型通常要與三角函數(shù)相結合,所以,為了方便計算,用到的數(shù)字比例,通常是特定角的三角函數(shù)值。

接下來我們來看看例題吧。

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例題

我們來看看如何用胡不歸模型來解這道題。當我們看到兩條線段的系數(shù)不同,動點D在直線上運動,我們就要想到胡不歸模型啦。同學們,你們有思路了嗎?根據(jù)我們之前講過的模型,要使用T=CD/V1+OD/V2,這道題實際上是求T=CD/2+OD/1,所以V1=2,V2=1,sin角CAO=30,我們要以AC為邊再構造出一個30度的角ACF,這樣,過O作CF的垂線,交CF于P,OP就是最小值。我們已經(jīng)知道AB=8,那么OC=4,角OCP等于60,用三角函數(shù),我們是不是很快就算出了結果呀。

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阿氏圓

第二,我們來看一下阿氏圓模型。

古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),兩個定點A和B,一個動點P,當PA/PB等于一個不為1的常數(shù)時,P點的運動軌跡是一個圓。反過來就是,當P是圓上的一動點時,它到兩個定點的比值相等。接下來我們看一看如何,利用這個知識解決形如mAP+nAB的最值問題。

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阿氏圓模型

過程有點復雜,同學們要認真看一下。關鍵是記住結論哈。下面我們來看一下例題吧。

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例題

大家看到A和B兩個定點,P點在圓上運動,想動阿氏圓模型了嗎?在這題中C是圓心,m:n=1:4,CP:AC肯定也等于1:4,我們只需要構造CD=1/4CP就可以了,連接BD,求出BD,這道題就解出來了。大家都明白了嗎?

好了,胡不歸模型和阿氏圓模型講完了,我相信大家肯定有許多收獲。如果考試中以填空題的形式出現(xiàn),大家一定要直接應用結論,快速算出,不要浪費時間哦。

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