【方法技巧】

角平分線性質(zhì)+三角形內(nèi)角和定理+三角形外角性質(zhì)十整體思想，化歸思想+設(shè)參數(shù)計(jì)算.

類(lèi)型一 ：角平分線+高線夾角模型（設(shè)參計(jì)算+整體思想）

【典型例題1】

(1)已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，如圖1，設(shè)∠B=x，∠C=y，試用

x，y表示∠DAE，并說(shuō)明理由；

(2)在圖2中，其他條件不變，若把“AD⊥BC于D”改為“F是AE上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于D”，試用x，y表示∠DFE=________________；

(3)在圖3中，若把(2)中的“點(diǎn)F在AE上”改為“點(diǎn)F是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)”，其余條件不變，試用x，y表示∠DFE=________________；

(4)在圖3中，分別作出∠BAE和∠EDF的角平分線，交于點(diǎn)P，如圖4．試用x，y表示∠P=_______________．

圖1             圖2           圖3           圖4

(1)首先利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAC的度數(shù),進(jìn)而可求出∠BAD的度數(shù)，由垂直可得∠BAD=90°-x，進(jìn)而可求∠EAD的度數(shù)；(2)(3)同(1)可得；

(4)由題意可知：∠PAF=1/4(180°-x-y)，再利用已知條件、對(duì)頂角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可求出∠P的度數(shù)

如圖，BP,CP分別平分∠ABD,∠ACD，它們交于點(diǎn)P．求證：∠P=1/2(∠A+∠D)．

延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，設(shè)∠PBA=∠PBD=x，∠PCA=△PCD=y，

∠BPC=∠BEC+y=x+∠A+y，∴x+y=∠BPC-∠A，同理可得∠D=x+y+∠BPC=2∠BPC-∠A．

∴2∠BPC=∠A+∠D,  

∴∠P=1/2(∠A+∠D)．

更多內(nèi)容見(jiàn)公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)解題思路

（1）模型：如圖1，AD，BC交于O點(diǎn)，求證：∠D+∠C=∠A+∠B．

（2）模型應(yīng)用：如圖2，∠BAD和∠BCD的平分線交于點(diǎn)E.

①若∠D=30°，∠B=40°，則∠E的度數(shù)是_______；

②直接寫(xiě)出∠E與∠D，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是_______；

（3）類(lèi)比應(yīng)用：如圖3，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E.若∠D=m°，∠B=n°，(m＜n)．求∠E的度數(shù)．（用含有m，n的式子表示）

  圖1                 圖2                   圖3  

(1)∠AOC既是△AOB的外角，又是△COD的外角，

∴∠D+∠C=∠AOC=∠A+∠B；

 (2)①35°；②∠E=1/2(∠D+∠B)；

 (3)延長(zhǎng)BC交AD于F，

∴∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD= ∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D．

∵CE平分∠BCD, AE平分∠BAD， 

 ∵∠ECD=∠ECB=1/2∠BCD，∠EAD=∠EAB=1/2∠BAD，

∵∠E+∠ECB= ∠B+∠EAB，

∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-1/2∠BCD=∠B-∠BAE-1/2（∠B+∠BAD+∠D）=1/2（∠B-∠D），

∵∠D=m°，∠B= n°，即∠E=1/2（n-m）°．