【原】偏微分方程在物理學中的完美應(yīng)用——熱方程，推導和示例

老胡說科學 2021-05-10

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偏微分方程是一個將具有一個以上變量的函數(shù)與其偏導數(shù)聯(lián)系起來的方程。為了引入偏微分方程，我們要解決一個簡單的問題：模擬薄金屬棒內(nèi)的溫度作為位置和時間的函數(shù)。在此過程中，我們將從物理原理推導出一維熱方程，并求解一些簡單的條件：

在這個方程中，溫度T是位置x和時間T的函數(shù)，k、ρ和c分別是金屬的熱導率、密度和比熱容，k/ρc稱為擴散系數(shù)。

物理過程

我們想要研究，隨著時間的增加，熱量如何在長為L的金屬棒中傳導的。金屬棒的一端在x=0處，另一端在x=L處。金屬棒的長度遠大于它的截面半徑，所以我們可以把熱傳導看成是x和t的函數(shù)。假設(shè)金屬棒的比熱容是已知的，如果我們能找到溫度T（x, t）的函數(shù)，我們就能知道熱量是如何擴散的。

假設(shè)棒沿其長度方向是絕熱的，因此它只能通過兩端吸收或散發(fā)熱量。這意味著溫度分布只取決于以下三個因素：

初始溫度分布情況T（x,0）。這叫做初始條件。
金屬棒兩端的溫度，T（0, t）和T（L, t）這些叫做邊界條件。
熱量在金屬棒內(nèi)由一點傳遞到另一點的規(guī)律。熱方程是這種物理定律的數(shù)學表示。

對于一組特定的初始和邊界條件，求解偏微分方程的問題被稱為初始邊值問題（IBVP）。

在本文中，我們將求解的熱方程的初始邊值為T（0，t）=T（L，t）=0°C。這些叫做齊次邊界條件。

熱方程的推導

熱方程可以從能量守恒導出：金屬桿上某一點儲存的熱量的時間變化率等于進入該點的凈熱量流量。這個過程顯然符合連續(xù)性方程。如果Q是各點處的熱量，V是熱量流動的矢量場，則：

根據(jù)熱力學第二定律，如果兩個相同的物體進行熱接觸，其中一個比另一個熱，那么熱量必然以與溫度差成比例的速度從較熱的物體流向較冷的物體。因此，V與溫度的負梯度成正比，所以V=-k?T，其中k為金屬的導熱系數(shù)。在一維中，它簡化為V=(-k?T/?x)x，其中x是+x方向的單位向量。Q=ρcT，代入V和Q的表達式，得到熱方程：

解熱方程

在我們進一步討論之前，我們需要證明對于任何有物理意義的初始和邊界條件，熱方程必須存在一個唯一的解。對此的正式證明超出了本文的范圍，因此我們將使用一個經(jīng)驗論證。

熱力學定律告訴我們，無論一開始金屬棒的溫度分布是怎樣的，系統(tǒng)必須經(jīng)歷一個過程，使金屬棒達到熱平衡，我們在前面講過這個過程必須服從熱方程，因此，對于有物理意義的初始和邊界條件，熱方程的解是存在的。此外，經(jīng)典物理學的基本假設(shè)之一是，相同的實驗條件必然會導致相同的結(jié)果，因此，金屬棒進入熱平衡的特定方式，由初始條件和邊界條件所唯一規(guī)定。

這意味著，對于熱方程，如果f（x，t）和g（x，t）是兩個不同的函數(shù)且滿足相同的IBVP，那么f和g有相同的形式。此外，熱方程是線性的，因此如果f和g是解，α和β是任何實數(shù)，那么αf+βg也是一個解。所以我們可以得出結(jié)論，解是相同形式的函數(shù)的線性組合。

考慮下面的函數(shù)，我們可以通過試錯來推測：

其中n是大于0的正整數(shù)。該函數(shù)滿足熱方程：

這個函數(shù)也滿足邊界條件，因為sin（0）=sin（nπ）=0。因此通解為：

如果我們能找到系數(shù)A_n，使這個通解滿足初始條件，問題就解決了。也就是說，我們需要找到一個A_n，這樣：

這叫做初始條件下的傅里葉正弦級數(shù)展開式。系數(shù)A_n叫做傅里葉系數(shù)。

計算傅里葉系數(shù)

初始條件T（x，0）是區(qū)間[0，L]上的分段連續(xù)函數(shù)，且在邊界處為零。結(jié)果證明具有這些性質(zhì)的函數(shù)集合是加法和標量乘法下的向量空間。我們稱這個向量空間為：

這個向量空間有一個內(nèi)積。對于f，g∈???（加法和標量乘法下的向量空間），一個可能的內(nèi)積為：

我們可以通過使用單位向量的點積將其投影到軸上來找到幾何向量的分量，單位向量構(gòu)成了??的基。同樣，如果我們能為???找到一個基，那么我們可以將任何f∈???投影到基函數(shù)上，以便將f表示為基函數(shù)的線性組合。

求v的分量

對于整數(shù)m，n>0，函數(shù)sin（nπx/L）是標準正交的：

因此，我們可以將任意函數(shù)f∈???表示為基集中函數(shù)的線性組合：

線性組合的系數(shù)由歐拉積分給出：

作為演示，讓我們找到一個單位鋸齒脈沖的傅立葉系數(shù)：

顯然，saw(x)∈??1，因此：

傅里葉系數(shù)為：

因此，鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開為：

下面的動畫展示了，隨著sin項的增加，傅里葉級數(shù)如何接近鋸齒狀（波形）的。

x=1附近的誤差稱為吉布斯現(xiàn)象。吉布斯現(xiàn)象是一種不可避免的誤差，它使不連續(xù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)將不連續(xù)時的函數(shù)值高估約9%。吉布斯現(xiàn)象永遠不能完全消除，但當傅里葉級數(shù)中的項數(shù)接近無窮時，誤差收斂到完全局限于不連續(xù)點。例如，如果在鋸齒形的傅里葉級數(shù)展開式中包含無限項，我們會發(fā)現(xiàn)當 0≤x<1 時，級數(shù)將完全等于x，而在x=1時，級數(shù)的值約為1.09。

這告訴我們，求解熱方程的齊次IBVP等于使用歐拉積分來求傅里葉系數(shù)：

例：金屬棒初始溫度是均勻的

假設(shè)一個絕熱的，一米長的金屬棒擴散系數(shù)為k/ρc=0.1m2/s（不現(xiàn)實，為了方便作圖），最初溫度為100°C，在溫度為0℃、t=0時夾緊冷卻元件。初始條件和邊界條件為：

傅里葉系數(shù)是：

讓我們來驗證這個匹配初始和邊界條件的傅里葉級數(shù)：

所以，解是：

現(xiàn)在讓我們畫出解：

作為一個三維圖：

例：溫度“尖峰”

現(xiàn)在假設(shè)金屬棒每個地方的初始溫度都是0°C，除了中間10厘米的溫度是100°C。這次的擴散系數(shù)是0.0075m2/s。

計算傅里葉系數(shù)最簡單的方法是把它們轉(zhuǎn)換成更一般的形式：

所以解是：