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上節(jié)講解了拋物線割線的一些常見性質(zhì)，講到了拋物線切線及兩條切線的交點(diǎn)的性質(zhì)。 本節(jié)百尺竿頭更進(jìn)一步，引入拋物線焦點(diǎn)，繼續(xù)進(jìn)一步講解與拋物線一條切線有關(guān)的性質(zhì)及其光學(xué)性質(zhì)。解析幾何既然是幾何，當(dāng)然很多問題需要用一點(diǎn)平面幾何知識。但是鑒于本系列文章主要是針對高考學(xué)生的，所以會盡量使用解析法證明，或者同時提供解析法和純幾何等多種證法。當(dāng)然既然稱為幾何，也不可能完全避開平面幾何的基本知識，畢竟高考也會使用一些簡單的平面幾何知識。而且很多性質(zhì)用純幾何證明簡潔明了，酣暢淋漓。不過即使用到的平面幾何，也都是初中課本水平的平面幾何知識，基本是全等、相似，最多會使用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定。不會使用更復(fù)雜的幾何證明了。 過A的C的切線交x軸、準(zhǔn)線、y軸、過F的x軸垂線于S、T、Q、M，則 9、FQ⊥AQ. 10、∠ASF=∠SAF且FS=FA, 11、∠MTF=∠TMF且FT=FM, 12、當(dāng)A運(yùn)動時，以AF為直徑的圓是否恒與某條直線相切？ 13、當(dāng)A運(yùn)動時，以AT為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？ 14、拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上點(diǎn)反射后，反射光線平行于x軸。 15、過原點(diǎn)O作切線AS的垂線與AF交于R，求R的軌跡。 即結(jié)論9成立。 注： 本結(jié)論雖然簡單，但是卻至關(guān)重要，可以用她證明很多有趣而重要的結(jié)論。而且她是圓錐曲線的共有性質(zhì)。一般的，圓錐曲線焦點(diǎn)在切線上的投影的軌跡為圓。在拋物線中，此圓退化為直線y軸。 證法二： 由結(jié)論9及坐標(biāo)知Q為AS中點(diǎn)， 從而FQ為AS中垂線，從而得證。 注：本結(jié)論也可以利用到角公式計算角度完成證明，不過要稍微麻煩一些。 故結(jié)論10成立。 證法二： 顯然QT=QM, 由結(jié)論9知FQ為TM中垂線， 從而∠MTF=∠TMF且FT=FM, 故結(jié)論11成立。 注： 由結(jié)論9、10、11知FQ為AS和TM中垂線，故還可以得到△AMF≌△STF,∠AFM=∠SFT，∠QFT=∠FST等結(jié)論。 12 當(dāng)A運(yùn)動時，以AF為直徑的圓是否恒與某條直線相切？ 容易猜出其與y軸相切于F點(diǎn)，下面提供三種證明。 證明一： 以AF為直徑的圓的方程為 證明二： 13 當(dāng)A運(yùn)動時，以AT為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？ 容易猜測出定點(diǎn)為焦點(diǎn)，下面解出交點(diǎn)坐標(biāo)驗(yàn)證或者用上面性質(zhì)即可。 證明一： AF,TF斜率為  奇趣數(shù)學(xué)苑 四川大學(xué)望江北園1舍124室，住著這樣一群優(yōu)秀的男生：全員身高180 、能闖敢拼、拿獎無數(shù)、四川大學(xué)“百佳”模范學(xué)生集體……劉昊昂、 劉騰翔、沙桀民，徐建軍四位男生不僅都來自大佬云集的吳玉章學(xué)院，還學(xué)習(xí)同一個專業(yè)——金融工程。保研季，他們創(chuàng)造了“全員清華北大”的佳績。太牛了！ 視頻號 顯然AF⊥TF，即以AT為直徑的圓恒過焦點(diǎn)F。 證明二： 由結(jié)論10和11得到 ∠MTF=∠TMF=90°-∠ASF=90°-∠SAF, 故AF⊥TF， 即以AT為直徑的圓恒過焦點(diǎn)F。 此即為問題13的解法。 注： 本題也可以寫成以AT為直徑的圓的方程，然后將F坐標(biāo)帶入驗(yàn)證來證明，不過和證法一異曲同工。需要說明的是，問題13也是圓錐曲線共有的性質(zhì)，即對圓錐曲線都成立。而且還能進(jìn)一步推廣。 14拋物線的光學(xué)性質(zhì)： 從焦點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上點(diǎn)反射后，反射光線平行于x軸。 證法一： 設(shè)過A的x軸平行線交準(zhǔn)線于K, 則容易得到各點(diǎn)坐標(biāo)為 由坐標(biāo)知Q為FK中點(diǎn)， 又由拋物線定義知AK=AF, 則FQ⊥AQ，且AQ平分∠FAK。 由光路反射中入射角等于反射角即知 從焦點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上點(diǎn)A反射后，反射光線平行于x軸。 這就同時證明了問題9和14. 證明二： 由結(jié)論10及平行知 ∠SAF=∠ASF=∠IAJ, 即從焦點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上點(diǎn)A反射后，反射光線平行于x軸。 證明三： 設(shè)過A的x軸平行線交準(zhǔn)線于K, 由結(jié)論13知∠TFA=90°=∠TKA, 又AK=AF,AT=AT 故△ATF≌△ATK(HL) 則AQ平分∠FAK, 即本結(jié)論成立。 注： (1)光學(xué)性質(zhì)是圓錐曲線共有的性質(zhì)，一般敘述為過圓錐曲線一個焦點(diǎn)的光線經(jīng)過邊界反射后反射光線經(jīng)過另一個焦點(diǎn)。等價于某點(diǎn)的切線平分此點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線所成的角。因?yàn)閽佄锞€另一個焦點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，故反射光線平行于x軸。 (2)本結(jié)論證明不難，計算不復(fù)雜，純幾何方法也行，可以利用前面的性質(zhì)證明。當(dāng)然通過證明也發(fā)現(xiàn)性質(zhì)14和性質(zhì)10及13是等價的，可以互相推證。而且在證法一中順便就證明了性質(zhì)9. 15 過原點(diǎn)O作切線AS的垂線與AF交于R，求R的軌跡。 解法一： 設(shè)R(x,y)，由RO⊥AS得 故R得軌跡為以F為圓心FO為半徑的圓。 解法二： 由性質(zhì)9知 ∠ASF=∠SAF, 故他們的余角相等， 即∠ROF=∠ORF, 則FR=FO, 故R的軌跡為以F為圓心FO為半徑的圓。 注：本結(jié)論很敘述簡潔，結(jié)論優(yōu)美。而且是圓錐曲線共有的性質(zhì)。上述兩種證明體現(xiàn)了解析法和純幾何方法的優(yōu)劣。解析法具有一般性，但是會比較復(fù)雜。純幾何方法很簡短，但是要合理利用，需要一定的靈感驅(qū)動。 本節(jié)又介紹了與拋物線切線和焦點(diǎn)有關(guān)的七條有趣的幾何性質(zhì)，希望讀者能體會到解析法和純幾何方法各有千秋相得益彰，希望讀者胸有成竹、揚(yáng)長避短、駕輕就熟，合理的選擇適當(dāng)?shù)慕夥ā?/p>  |
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