?????? 摘 要：在許多物理過程中，由于變化和規(guī)律的制約，物理量之間不僅存在著等量關系，而且還存在著大量的不等量關系,在求一些物理量的臨界問題時，就需要用到不等式的知識。物理教學中通過物理問題分析，依據(jù)物理規(guī)律寫出物理量之間的函數(shù)關系或做出符合題意的圖示，采用不等式求解方法求解物理極值問題，是數(shù)學物理天地中最具特色和魅力的課題。

?????? 關鍵詞：不等式；物理；臨界問題；最小值；最大值；范圍

?????? 不等式是數(shù)學學科中一項非常重要的內(nèi)容，同樣在求解一些特定的物理過程中，巧用不等式，往往能起到事半功倍的效果。重視不等式在解答物理習題中的作用，有助于培養(yǎng)我們運用數(shù)學知識解決物理問題的能力，也有助于我們開拓思路，發(fā)展思維，正確地認識數(shù)學在物理學中的地位和作用，使物理與數(shù)學之問架起一座互通的橋梁，使我們學得更清晰、更明白。在許多物理過程中，由于變化和規(guī)律的制約，物理量之間不僅存在著等量關系，而且還存在著大量的不等量關系，這就需要用到不等式的知識。比如物理中關于一些物理量的臨界問題，求某一值的最大值或者求某一值的最小值，這類問題具有臨界值的條件突出、結果顯明的特點，不等式是解決這類問題最有效的方法。下面我們共同來看幾個例子

一、求解最小值

如圖（1）所示AB為光滑的水平面，在水平面的右端豎立著一個半徑為R的光滑半圓弧BCD，D為圓弧的最高點，一個質(zhì)量為m小球向右運動，小球在水平面上向右的速度最小為多大時小球才能到達半圓弧的最高點D點？??

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圖1 ????????????????????????????????????????????????????????????????圖2

答案提示：mv²/R=mgmv²=mv_D²＋2mgR v=

解析：這樣的等式方程提示對于解方程就像霧里看花，根本不知道為什么在D點小球所需要的向心力等于重力時，水平面上小球的速度就會具有最小值。關于圓周運動最值的求解，受力分析必不可少，并且不失時機的引入不等式使最值問題迎刃而解。我們先審題找到題中的關鍵詞(光滑的水平面、光滑的半圓弧、能達到半圓弧的最高點)，關鍵詞中蘊含著小球從B運動到D的過程中機械能守恒，而且從B到D再做圓周運動。再找題中的隱含條件就是小球到達半圓弧的最高點D點的彈力，它的取決與圓弧D點的形變大小，也有可能小球到達D點對圓弧沒有擠壓即F等于零，F(xiàn)大于等于零就是本題的隱含條件。其次對小球到達D點受力進行分析，小球在D點受到兩個力即重力mg和圓弧D點給小球向下的彈力F ，這兩個力的合理給小球提供了向心力。對于這道題解析如下：解：小球做圓周運動在D點受到重力mg彈力F小球受力如圖（2）重力和彈力的合力給小球提供向心力

mv_D²/R=mg＋F ①???????????? F≥0 ②

小球從B到D過程中機械能守恒，以AB平面為零勢能面

mv²=mv_D²＋2mgR ??③ 方程①②③聯(lián)立求解

mv²-2mgR≥mgR?? ??④

解之得：v≥即v的最小值為

我們來對比一下引入不等式后的解題過程和等式方程答案提示，等式方程對與初學者來說躍遷太大不容易理解，根本體現(xiàn)不出為什么小球在D點所需要的向心力等于重力時，小球在水平面上向右的速度就為最小值。我們引入不等式后把題中隱含的圓弧對小球彈力F的范圍通過不等式F≥^??0表現(xiàn)出來，進而結合圓周運動向心力計算公式和機械能守恒定律把關于F的不等式轉化成關于水平速度v不等式mv²-2mgR≥mgR，計算結果v≥比較直觀反映水平速度v最小值。用不等式解最小值的優(yōu)點就是解題過程條理清楚邏輯性強最小值一目了然。

二、求解最大值

如圖（3）所示用長為L的細繩栓著一個質(zhì)量為m的小球在豎直面內(nèi)圍繞o點做圓周運動，細繩所能承受的最大拉力是小球重力的倍，當小球到達最高點時最大速度為多少？（不考慮空氣阻力）

圖3?????????????????? ??????????????????????????????????????????????圖4

解析：小球做圓周運動到達最高點時受力有兩種情況，第一種情況小球在最高點受到兩個力作用即小球所受到的重力mg和繩子的拉力F小于等于mg，第二種在最高點只受重力（是第一種情況的一個特例F=0）。第一種情況重力和拉力的合力給小球提供了向心力，第二種情況小球的重力給小球提供了向心力。綜合分析小球做圓周運動到達最高點所需要的向心力大于等于重力小于等于重力和最大拉力的合力。結合本題要求只求上線屬于第一種情況，下面用不等式來解答。

解：根據(jù)題意小球在最高點受到兩個力作用其受力圖如圖（4）所示，重力和拉力的合力給小球提供了向心力

mv²/L=mg＋F???? ①F≤mg???? ②

方程①②聯(lián)立求解

mv²/L≤mg＋mg???? ??????????????????③

解之得：v≤?? 即小球在最高點的最大速度為

三、求物理量范圍

第二題也可以轉變成最大值和最小值的綜合題即求速度v范圍，題的內(nèi)容不變只是問題變動一下問題，可以這樣問求小球在豎直面內(nèi)做圓周運動時在最高點的速度范圍（或者最大速度和最小速度）。題解如下

解：根據(jù)題意小球在最高點受到兩個力作用其受力圖如圖（4）所示，重力和拉力的合力給小球提供了向心力

mv²/L=mg＋F???????????????????????????????? ①

0≤F≤mg???????? ????????????????????????????????②

方程①②聯(lián)立求解??

mg≤mv²/L ≤mg＋mg?????????????? ③

解之得：≤ v ≤

如果用不等式解這類題時勢必要找出題中隱含的某個物理量范圍，先根據(jù)這個物理隱含條件構建一個不等式，再結合題中其他信息構建出所求物理量的不等式。利用不等式這種方法我們要學會如何提煉條件，如何規(guī)范書寫極值問題解析過程利用不等式求解最值問題和物理量范圍問題條理清楚、邏輯性強、結果顯而易見，不等式的引入給我們物理解題帶來許多的方便同時也可以加強學科的相互滲透。

參考文獻

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[2] 趙洧 吉躍仁 數(shù)學方法在物理解題中的應用，技術物理教學，2003 1期

[3] 梁永群 物理極值問題例解，技術物理教學，2001 03期