【數(shù)學(xué)考題】8年級幾何必考題講解：全等三角型次次考，一定要吃透

昵稱47813312 2020-10-07

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【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角邊角”，和判定方法2——“邊角邊”；

2．能把證明角相等或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等.

【要點梳理】

全等三角形判定1——“角邊角”

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

要點詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.

全等三角形判定2——“邊角邊”

1. 全等三角形判定2——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.

要點：如圖，如果AB ＝，∠A＝∠，AC ＝，則△ABC≌△. 注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.

2. 有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等。

【典型例題】

全等三角形的判定1——“角邊角”

1、如圖，G是線段AB上一點，AC和DG相交于點E.請先作出∠ABC的平分線BF，交AC于點F；然后證明：當(dāng)AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG時，DE＝BF.

【思路點撥】通過已知條件證明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，則可證△DAE≌△BCF

【答案與解析】證明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF ∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE與△BCF中

∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF

【總結(jié)升華】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個三角形；(2)證明這兩個三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等。

舉一反三：【變式】已知：如圖，在△MPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM。

【答案】證明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，

∴△MPQ≌△NHQ（ASA）

∴PM＝HN

全等三角形的判定2——“邊角邊”

2、如圖，AD是△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。

【思路點撥】延長AD到點E，使AD＝DE，連接CE．通過證全等將AB轉(zhuǎn)化到△CEA中，同時也構(gòu)造出了2AD．利用三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.【答案與解析】證明：如圖，延長AD到點E，使AD＝DE，連接CE．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．∴△ABD≌△ECD．∴AB＝CE．∵AC＋CE＞AE，∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．

【總結(jié)升華】邊的大小關(guān)系主要有兩個思路：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊．要證明AB＋AC＞2AD，如果歸到一個三角形中，邊的大小關(guān)系就是顯然的，因此需要轉(zhuǎn)移線段，構(gòu)造全等三角形是轉(zhuǎn)化線段的重要手段．可利用旋轉(zhuǎn)變換，把△ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CED，也就把AB轉(zhuǎn)化到△CEA中，同時也構(gòu)造出了2AD．若題目中有中線，倍長中線，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形是一種重要方法。

3、已知：如圖，點B、F、C、E在一條直線上，BF=CE,AC=DF,且AC∥DF,求證：△ABC≌△DEF。

【思路點撥】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，再根據(jù)SAS推出全等即可．【答案與解析】證明：∵BF=CE∴BF+FC=CE+FC∴BC=FE∵AC∥DF∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．【總結(jié)升華】本題考查利用“邊角邊”定理來證明三角形全等，注意等量加等量，和相等.

舉一反三：【變式】如圖，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（　?。?/p>

【答案】C．解：第①組滿足SSS，能證明△ABC≌△DEF．第②組滿足SAS，能證明△ABC≌△DEF．第③組滿足ASA，能證明△ABC≌△DEF．第④組只是SSA，不能證明△ABC≌△DEF．所以有3組能證明△ABC≌△DEF．故符合條件的有3組．故選：C．

全等三角形判定的實際應(yīng)用　

4、如圖，公園里有一條“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一個小石凳E，M，F(xiàn)，且BE＝CF，M在BC的中點.試判斷三個石凳E，M，F(xiàn)是否恰好在一條直線上？為什么？

【答案與解析】三個小石凳在一條直線上證明：∵AB平行CD（已知）∴∠B＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵M在BC的中點（已知）∴BM＝CM（中點定義）在△BME和△CMF中

∴△BME≌△CMF（SAS）∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的對應(yīng)角相等）∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性質(zhì)）∴E，M，F(xiàn)在同一直線上

【總結(jié)升華】對于實際應(yīng)用問題，首先要能將它化成數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識去解決. 由已知易證△BME≌△CMF，可得∠EMB＝∠FMC，再由∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°得到E，M，F(xiàn)在同一直線上。