有一個(gè)投注游戲，假設(shè)你用1美元去投注，你會(huì)得到下面3中結(jié)果：
1、80%的概率獲得21美元。
2、10%的概率獲得7.5美元。
3、10%的概率虧光。
    假如給你1萬(wàn)美元，讓你盡情的玩這個(gè)投注游戲，你會(huì)怎么投？
    顯然你不應(yīng)該一把梭的壓上這全部的1萬(wàn)美元，因?yàn)橛?0%的概率會(huì)讓你虧光，哪怕只有1%的概率，無(wú)限玩下去早晚也會(huì)一無(wú)所有。但是如果每次只拿1美元去投注，無(wú)限玩下去對(duì)改善生活幫助不大，實(shí)現(xiàn)財(cái)務(wù)自由的時(shí)間周期可能會(huì)超過(guò)投注者的生命周期，還會(huì)浪費(fèi)貨幣的時(shí)間價(jià)值。

    不斷的玩下去，如何沒有破產(chǎn)的可能，還可以讓長(zhǎng)期收益最大化？

    60多年前，美國(guó)新澤西貝爾實(shí)驗(yàn)室的一位研究員——約翰·拉里·凱利——思考了這個(gè)問(wèn)題，并發(fā)表了研究成果。凱利想出了大名鼎鼎的凱利公式（Kelly formula），從數(shù)學(xué)上證明了如何下注可以讓收益最大化。

    凱利公式的表達(dá)式為：f*=（bp-q)/b

    其中f*為計(jì)算出來(lái)的最優(yōu)投資比例；b為賠率，即期望盈利/預(yù)計(jì)虧損；p為成功概率，q為失敗概率，其中p+q=1。

    凱利公式認(rèn)為，只要投資者每次都用全部投資金額的f*比例來(lái)進(jìn)行投資，就可獲得長(zhǎng)期增長(zhǎng)率的最大化，并且不會(huì)有破產(chǎn)的可能。

    下面給出本文開頭題目的詳細(xì)解答過(guò)程：
    解：
    成功概率p=0.8+0.1，失敗概率q=0.1，賠率b=｛（21-1）*0.8+（7.5-1）*0.1-0.1*1｝/1=16.55
    f*=（16.55*0.9-0.1）/16.55≈89.40%
    因此，按照題目中的概率，每次投注都應(yīng)該按照現(xiàn)有資金的89.4%來(lái)下注，也就是初始10000美元，第一次下注8940美元，第二次根據(jù)三種結(jié)果分別下注美元，168787美元，60890美元，948美元。之后每次都按照現(xiàn)有資金的89.4%來(lái)下注，可以在不破產(chǎn)的情況下實(shí)現(xiàn)收益最大化。 

    這是《憨奪型投資者》（臺(tái)譯《下重注的本事》）書中提到的一個(gè)經(jīng)典投注游戲。不過(guò)書中由于翻譯問(wèn)題，加上沒有詳細(xì)步驟，讓人看的云里霧里。我也是看了很多網(wǎng)上關(guān)于凱利公式的文章，才嘗試給出解題過(guò)程。網(wǎng)上很多關(guān)于凱利公式的例子只涉及到2種結(jié)果，沒有書中3種結(jié)果的例子好。

    如果上面的例子有點(diǎn)復(fù)雜，那我再舉一個(gè)簡(jiǎn)單一點(diǎn)的例子。假如一個(gè)游戲，勝率是60%，敗率是40%，100元錢贏了翻倍，輸了虧光。從直覺上看，只要?jiǎng)俾蚀笥?0%就可以長(zhǎng)期重復(fù)玩下去，但是怎么樣可以讓相等時(shí)間收益最大化呢？運(yùn)用凱利公式可得：

    成功概率p=0.6，失敗概率q=0.4，賠率b=1

    f*=（bp-q)/b=（0.6*1-0.4）/1=20%

    也就是如果再簡(jiǎn)單例子的概率下，每次都拿現(xiàn)有資金的20%無(wú)限投注下去，可以收益最大化且不會(huì)破產(chǎn)，兼顧收益和風(fēng)險(xiǎn)。

    再用簡(jiǎn)單的例子來(lái)畫一下收益曲線，假如連玩20把，基本每次都是贏一次輸一次（因?yàn)榭倓俾?0%，所以中段的2次輸改成贏）。那么按照憑直覺的每次下注10%，50%，100%和凱利公式計(jì)算的20%，四種情況的收益曲線如下：

    上面兩張圖可以看出凱利公式算出的最優(yōu)投注比例，在概率一樣的情況下，兼顧了收益和風(fēng)險(xiǎn)，走出了最漂亮的收益曲線。

    凱利公式給股票投資的啟示：

    凱利公式在特定的游戲如德州撲克里更容易應(yīng)用。在投資中，我認(rèn)為凱利公式對(duì)選擇投注標(biāo)的、分配倉(cāng)位占比、計(jì)劃建倉(cāng)次數(shù)具有一定的意義。根據(jù)公式f*=（bp-q)/b可以得到。

    1、低風(fēng)險(xiǎn)低收益的倉(cāng)位配置比例應(yīng)該較高，高風(fēng)險(xiǎn)高收益的倉(cāng)位配置比例應(yīng)該較低。遠(yuǎn)離垃圾股，當(dāng)b≤ q/p時(shí), 也就是f為零或負(fù)數(shù)時(shí)，就不應(yīng)該投任何錢。

    2、在任何時(shí)候，不要滿倉(cāng)梭哈只配置一個(gè)公司。從安全邊際的角度，配置任何一個(gè)公司的倉(cāng)位比例，不要超過(guò)凱利公式的上限。

    3、正常的建倉(cāng)和補(bǔ)倉(cāng)最好不要一次性買完，可以按比例買。用凱利公式解決擇時(shí)問(wèn)題。

    最后用一句查理·芒格的話做結(jié)尾：

    明智的投資人會(huì)在出現(xiàn)有利于自身機(jī)會(huì)的時(shí)候，下大注。當(dāng)有較好回報(bào)期望時(shí)，他們就會(huì)下重注。其他時(shí)間他們都不會(huì)出手。就這么簡(jiǎn)單。

    總結(jié)：少投注，投大注，只挑最好的投。

    本文僅代表個(gè)人觀點(diǎn)，不構(gòu)成任何買賣建議。