相似的題目是相對來說比較難的。

不過中考命題的趨勢依然是降低難度，傾向于考能力與素養(yǎng)。

本篇介紹的是武漢市今年中考數(shù)學(xué)的倒數(shù)第2題。算是小壓軸。難度中等偏上一點(diǎn)點(diǎn)。

題目中的模型就是典型的共頂點(diǎn)的兩個相似三角形?？梢钥闯鲂D(zhuǎn)縮放產(chǎn)生的相似三角形。

【中考真題】

（2020·武漢）問題背景 如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；

嘗試應(yīng)用 如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，AD/BD=√3，求DF/CF的值；

拓展創(chuàng)新 如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2√3，直接寫出AD的長．

【分析】

題（1）已知兩個三角形相似，那么可以得到對應(yīng)邊成比例且對應(yīng)角是相等的。

根據(jù)對應(yīng)邊成比例且夾角相等即可證明結(jié)論。

題（2）難度不大，因?yàn)榻o出了三角形中的角度，所以所有邊的比例關(guān)系都可以確定出來。那么結(jié)論就不難得到了。

本題主要考查特殊角的解三角形問題。利用特殊角得到邊的比例關(guān)系。

題（3）難度略大。似乎沒有什么思路。

不過觀察題（1）和（2）發(fā)現(xiàn)它們的圖形是類似的。所以我們可以在前面的基礎(chǔ)上面構(gòu)造類似的模型進(jìn)行求解。

構(gòu)造兩個相似的三角形，△ABC∽△ADE。然后可以得到BDE三點(diǎn)共線。連接CE。

根據(jù)題（1）的相似可以得到BD/CE=4/2√3，然后就可以得出BC、BD、CD和CE的比值，然后還得到它們與DE的比值。

進(jìn)而得到DE：BC=√5:4.那么AB與AD的比值也知道了。所以AD就算出來了是√5。

【答案】問題背景

證明：∵△ABC∽△ADE，

∴AB/AD=AC/AE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，AB/AC=AD/AE，

∴△ABD∽△ACE；

嘗試應(yīng)用

解：如圖1，連接EC，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，

∴△ABC∽△ADE，

由（1）知△ABD∽△ACE，

∴AE/EC=AD/BD=√3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，

在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，

∴AD/AE=√3，

∴AD/EC=AD/AE×AE/CE=√3×√3=3．

∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，

∴△ADF∽△ECF，

∴DF/CF=AD/CE=3．

拓展創(chuàng)新

解：如圖2，過點(diǎn)A作AB的垂線，過點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，

∵∠BAD＝30°，

∴∠DAM＝60°，

∴∠AMD＝30°，

∴∠AMD＝∠DBC，

又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，

∴△BDC∽△MDA，

∴BD/MD=DC/DA，

又∠BDC＝∠ADM，

∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，

即∠BDM＝∠CDA，

∴△BDM∽△CDA，

∴BM/CA=DM/AD=√3，

∵AC＝2√3，

∴BM＝2√3×√3=6，

∴AM=√(BM2-AB2 )=√(62-42 )=2√5，

∴AD=1/2 AM=√5．

【總結(jié)】

很多題目層層遞進(jìn)，可以用類比是思路進(jìn)行解題。解法千千萬，關(guān)鍵是找到一個合適自己的。