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數(shù)據(jù)分析的獨(dú)孤九劍—— 貝 葉 斯 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 在上一集里，我們展示了一個(gè)也許有些嚇人的事實(shí)： 即便你的科學(xué)假說經(jīng)受住了p<0.05的考驗(yàn)，它真的成立的概率卻是一個(gè)跟p值沒太大關(guān)系的數(shù)字。它可能很大，也可能很小，具體會(huì)是多大的一個(gè)數(shù)取決于一些其他因素。 然而，很多時(shí)候情況并不樂觀（上一集的例子就是一個(gè)相當(dāng)具有一般性的情形），你引以為豪的科學(xué)發(fā)現(xiàn)也許只是個(gè)假陽性結(jié)果，也就是俗稱的“詐和”了。 更糟糕的是，當(dāng)今學(xué)術(shù)界的文化、科學(xué)文獻(xiàn)的審查和出版機(jī)制存在著種種弊端，這些都會(huì)給魚龍混雜的文獻(xiàn)注入更多的水分，使得假陽性結(jié)果進(jìn)一步增多。這也是為什么有人雖有些危言聳聽卻又不無根據(jù)地疾呼：絕大多數(shù)科研成果都是假的！（戳這里回顧上一集《你的科研成果都是真的嗎？》） 看完了上一集，你也許會(huì)說：好吧，學(xué)術(shù)界自己的這些問題咱們就先不說了，可是那些個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家干嘛一上來就把事情搞得那么糾結(jié)呢？什么p值啊、原假設(shè)啊、功效啊，一個(gè)個(gè)定義都繞得要死，弄得我們頭都大了，為什么不發(fā)明一些統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)直接算出假設(shè)成立的可能性呢？ 答案是， 那樣的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法是有的！ 而且值得一提的是，那一套由貝葉斯（Bayes）、拉普拉斯（Laplace）兩位數(shù)學(xué)大神在18世紀(jì)就發(fā)展起來的統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，相比起近幾十年來才流行起來的由p值唱主角兒的“頻率學(xué)派”假設(shè)檢驗(yàn)方法，歷史要悠久得多。 于是你更奇怪了：那既然貝葉斯學(xué)派資格老，還容易理解，為什么統(tǒng)計(jì)學(xué)家后來還要另辟蹊徑弄出一套完全不同的東西？為什么現(xiàn)在似乎大多數(shù)人學(xué)的、用的不是貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)？ 為了解答這個(gè)問題，我們今天就來研究一下貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)到底是怎么一回事，看看我們是不是也能玩得轉(zhuǎn)這統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“獨(dú)門秘器”。 條件概率 與 貝葉斯定理 環(huán)顧各式各樣的概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)入門書，你會(huì)發(fā)現(xiàn)滿眼都是t檢驗(yàn)、方差分析、線性回歸等等“頻率學(xué)派”的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。然而有意思的是，這些書幾乎都會(huì)用不少的篇幅來講一個(gè)叫做貝葉斯定理的東西，可是講完之后似乎又再?zèng)]什么下文了。 這個(gè)定理和我們今天要講的主題都被冠上了貝葉斯的大名，這可不是出于巧合——貝葉斯定理恰恰就是整個(gè)貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)，我們?cè)谏弦患睦又杏?jì)算得到顯著結(jié)果的藥物到底有多大可能真的有效，實(shí)際上用的也是它（如果你在閱讀上一集時(shí)就已經(jīng)反應(yīng)過來，“哎喲我去，這不就是貝葉斯定理嘛！”，那么不妨直接跳到下一節(jié)）。 貝葉斯定理是一條關(guān)于條件概率的定理。 所謂概率，就是用0和1之間的數(shù)來表示某件事情發(fā)生的可能性大小，如果我們感興趣的事件用A表示，那么它的概率就寫成P(A)。 概率為0就是不可能事件，概率為1就是必然事件，而在這兩者之間，概率越大則可能性越大。（其實(shí)“頻率派”和“貝葉斯派”在概率的定義上就開始吵了，這也是兩者最根本的分歧，我們暫時(shí)按下不表，只采用比較籠統(tǒng)的理解。） 條件概率指的是，在某件事情A發(fā)生的前提下，另一件事情B發(fā)生的概率，用P(B | A)表示（注意在豎線后面的是條件，前面的是我們感興趣的事件）。 比如說，東單某著名醫(yī)學(xué)院一共有1000個(gè)學(xué)生，其中400個(gè)男生，600個(gè)女生。我們知道女生里頭有一半穿裙子，一半穿褲子，而在男生中，不知道出于什么原因也有40個(gè)穿裙子，剩下的男生則都是穿褲子。如果我們想知道男生中穿裙子的比例，那么這就是條件概率P(裙|男)。 這個(gè)條件概率怎么算呢？這好辦，我們就數(shù)數(shù)在所有人里有多少個(gè)穿裙子的男生，然后除以男生的總數(shù)就行了。根據(jù)上述條件，有：
用數(shù)學(xué)的語言來說，現(xiàn)在你想知道的是，在已知眼前這人穿裙子的前提下，此人是男生的條件概率，也就是P(男 | 裙）?？墒?，我們之前算過的只是把性別作為條件、穿著作為事件的概率，比如說P(裙 | 男）。 怎樣能把這個(gè)次序翻過來呢？ 根據(jù)條件概率的定義（（2）式），我們可以寫出：
記住，我們已經(jīng)知道條件概率P(裙 | 男)的值，因此，我們套用（3）式把右邊的分子拆開：
怎么算呢？ 你一定很快就能想到，根據(jù)男女生的人數(shù)和各自穿裙子的比例，算出穿裙子的男生人數(shù)和穿裙子的女生人數(shù)，然后除以總?cè)藬?shù)不就行了？ 沒錯(cuò)！如果把這個(gè)思路寫成數(shù)學(xué)式子，實(shí)際上就是把P(裙)拆成P(男&裙)與P(女&裙)之和，然后再分別套用一次（3）式：
推導(dǎo)出了貝葉斯定理，我們立刻就來用它驗(yàn)證一下上一集藥物有效性的例子。 如果我們把一個(gè)藥物實(shí)際有效和無效分別用√和X表示，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無統(tǒng)計(jì)學(xué)顯著性分別用＋和－表示，那么當(dāng)我們得到顯著結(jié)果時(shí)藥物真正有效的可能性就是條件概率P(√ | +)。 回顧顯著性和功效的定義， 顯著性是原假設(shè)成立（即藥物無效）時(shí)錯(cuò)誤地得到顯著結(jié)果的概率，即P(+ | X) = 0.05； 功效是假設(shè)的效應(yīng)真實(shí)存在（即藥物有效）時(shí)正確地得到顯著結(jié)果的概率，即P(+ | √)=0.8。 而且，在我們的例子里，100種被測(cè)試藥物中只有5種實(shí)際有效，也就是P(√) = 5/100 = 0.05，P(X)＝95/100=0.95。用貝葉斯公式我們可以寫出：
從 貝葉斯定理 到 貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué) 你也許要說：So what？從小到大，什么定理我沒見過？ 英國(guó)的牛頓、美國(guó)的愛因斯坦，比貝葉斯不知道有名多少倍，我在中學(xué)課堂上就跟他們談笑風(fēng)生了，這定理有啥了不起？ 貝葉斯定理牛掰的地方，不僅在于它獨(dú)力撐起了一整個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)流派，也不只因?yàn)樗乾F(xiàn)在最火熱的“大數(shù)據(jù)”機(jī)器學(xué)習(xí)的核心，還在于它與我們?nèi)祟惖乃季S方法十分貼近。 在日常生活中，我們總是在不斷觀察周圍的環(huán)境，然后把觀察到的現(xiàn)象用某種假說來解釋。我們?nèi)绾沃肋@種假說有多大可能成立呢？注意到在（7）式中，A和B只是抽象的符號(hào)，可以代表任何的事物。因此，我們把“假說”和“現(xiàn)象”分別代替A和B，就能得到：
它告訴我們，在觀察到某個(gè)現(xiàn)象之后，某一假說成立的概率（即等式左邊的P(假說 | 現(xiàn)象)，又稱為“后驗(yàn)概率”）由三個(gè)因素決定： 一、在這個(gè)假說成立的前提下產(chǎn)生這么一個(gè)現(xiàn)象的可能性P(現(xiàn)象 | 假說)，或者說是現(xiàn)象有多符合假說的預(yù)測(cè)，我們稱為 “似然”(likelihood)； 二、這個(gè)假說本身成立的可能性大小，由于這是對(duì)觀察到現(xiàn)象之前來說的，因此我們稱為 “先驗(yàn)概率”(prior probability)； 三、在萬事萬物中出現(xiàn)這一現(xiàn)象本身的可能性P(現(xiàn)象)，我們稱為 “證據(jù)”(evidence)。 假設(shè)我們只考慮兩種解釋，分別稱為“假說1”和“假說2”。于是我們把兩種解釋分別套進(jìn)上面的（9）式里，就寫出了兩條式子：
-X3 / 11 + 9/11*X2 + 23/11 每項(xiàng)把前項(xiàng)作為 X 代入后算出來的數(shù)列？ 我們稍微計(jì)算一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)假說都可以完美地解釋看到的數(shù)列（也就是說觀察到的數(shù)列在兩個(gè)假說之下的似然分別都是1）。但是你一定會(huì)說，雖然數(shù)字上都說得通，可是這后一種說法簡(jiǎn)直太扯了，誰沒事折騰一這么復(fù)雜的多項(xiàng)式呢？在這時(shí)，你實(shí)際上就是在比較這兩種假說的先驗(yàn)概率P(假說1)和P(假說2)。所以，貝葉斯定理只不過是把我們習(xí)慣的思考方式用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來而已。 在這里我們也可以回想上一集說過的“基數(shù)謬誤”，為什么在具有顯著結(jié)果的藥物中真正有效的比例并不高呢？這恰恰就是因?yàn)樗幬镉行У南闰?yàn)概率（100種里只有5種）太低了，盡管得到的顯著結(jié)果與藥物有效這個(gè)假說看起來十分符合（即“似然”很大），得到的后驗(yàn)概率仍然不大。 說了這么多，我們離貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)只有一步之遙了。 我們剛剛講過，貝葉斯定理可以描述現(xiàn)象與假說之間的關(guān)系。那么在統(tǒng)計(jì)學(xué)的眼里， 現(xiàn)象是什么呢？自然是我們做研究得到的數(shù)據(jù)了。 那么假說呢？既然統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門定量的學(xué)問，我們同樣需要量化的方法來描述我們的假說。比如說，你想研究一個(gè)區(qū)域的人均期望壽命， 或者不同干預(yù)手段對(duì)病人存活率的影響，又或者是家庭收入與某種疾病發(fā)病年齡的相關(guān)關(guān)系，所有這些假說都需要有特定的數(shù)量來表述，這些數(shù)量我們稱為“參數(shù)”。 統(tǒng)計(jì)學(xué)的目的，就是考察在既有的數(shù)據(jù)之下，以某些參數(shù)來表示的假說成立的可能性。因此，我們?cè)侔沿惾~斯定理改頭換面一下：
通過這樣的分析，我們可以算出在給定我們當(dāng)前已有數(shù)據(jù)的前提下，某個(gè)假說（由一系列參數(shù)表示）成立的概率。 了解了貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想方法，它和當(dāng)今主流的頻率學(xué)派統(tǒng)計(jì)學(xué)的區(qū)別在哪里？既然說是“獨(dú)孤九劍”，為何它又曾沉寂多時(shí)？我們能在自己的數(shù)據(jù)分析中運(yùn)用貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)嗎？ 所有這些問題，諸位看官請(qǐng)聽下回分解。 ? 回復(fù)「說人話的統(tǒng)計(jì)學(xué)」查看本系列全部文章。 參考文獻(xiàn)： 1. Kruschke, J. (2014). Doing Bayesian data analysis: A tutorial with R, JAGS, and Stan. Academic Press. 2. 劉未鵬 《平凡而又神奇的貝葉斯方法》http:///2008/09/21/the-magical-bayesian-method/ 3. MacKay, D. J. (2003). Information theory, inference and learning algorithms. Cambridge university press. 4. Carlin, B. P., & Louis, T. A. (2008). Bayesian methods for data analysis. CRC Press. 作者：張之昊 編輯：燈盞細(xì)辛 |
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