【原】男孩女孩都是良才

許康華競賽優(yōu)學(xué) 2020-08-26

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王仕奎編著《隨機信號分析——理論與實踐》

東南大學(xué)出版社， 2016

中國有很多人有著重男輕女的封建意識, 認(rèn)為只有男孩才能傳宗接代, 女孩不能傳宗接代, 這種觀點是完全錯誤的. 只要你的基因足夠優(yōu)良, 那么就會通過兒子或者女兒一代一代地遺傳下去, 從生物學(xué)的意義上來說, 兒子和女兒都是后代, 都是可以傳宗接代的; 如果你的基因不夠優(yōu)良, 那么謬種流傳, 又有什么意義呢? 另外, 只要你足夠優(yōu)秀, 取得很大的成就, 那么不管是兒子還是女兒以至孫子和外孫, 都會以你為榮: 現(xiàn)在人們一提起作家張愛玲, 就會提起張愛玲的曾外公李鴻章(張的祖母是李鴻章唯一的女兒), 可是又有多少人知道張愛玲的曾祖父安徽按察使張印塘呢? 反之, 如果你很平庸, 那么即使生十個兒子又有什么用呢? 他們或平庸或發(fā)達(dá), 會有一人以你為榮嗎?

隨機過程里面有一個很有趣的理論, 即離散分支過程, 可以預(yù)言一個種族滅絕的概率有多大. 在我編著的[1]中, 舉了一個例子, 我稱之為物種滅絕問題, 是該書第5章的例5.14, 題目如下:

下面對題目進(jìn)行解讀. 假設(shè)一個人以概率1有一子或一女, 然后每一個后代都以概率1有一子或一女, 顯然這個人是不會“絕后”的, 因為不管過了多少代, 他都會有一個男性或者女性后代.

如果后代的概率分布復(fù)雜一點, 那么結(jié)果就不是那么顯然的了, 即如本題, 假設(shè)一個人以概率1/4沒有后代, 以概率1/2有1個后代, 以概率3/16有2個后代, 以概率1/16有3個后代, 雖然后代的期望值為

但是, 理論分析和計算機仿真都表明, 若干年后, 此人將以概率0.8284絕后! 這是一個大概率事件.

理論上是如何計算的呢? 文獻(xiàn)[2]對離散分支有非常嚴(yán)格的定義, 這里為省事, 不照抄了, 拍照如下.

在引進(jìn)一些數(shù)學(xué)工具(如母函數(shù))并證明一個定理即“離散分支的滅絕定理”之后, 該書舉了如下一個例子:

理論計算表明, 盡管一個個體產(chǎn)生后代個數(shù)的期望值為17/16, 但是, 該個體卻以很大的概率(0.8284)絕后! 這個結(jié)論似乎有違常理, 那么我們可以用計算機試驗一下, 是不是真的如此, 計算機是不會騙人的.

顯然, 這是一個馬爾可夫鏈, 由于其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率不隨時間而改變, 因而也是齊次的. 不妨進(jìn)行10,000次試驗, 設(shè)該物種繁衍了40代, 計算40代后物種滅絕的頻率作為滅絕概率的近似值. MATLAB代碼如下

clc; clear;

% 模擬物種滅絕問題

tic

roundCount = 10000; % 實驗次數(shù)

generationCount = 100; % 物種繁衍的代次

p = [0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3];

% 模擬個體以某一概率產(chǎn)生下一代個體

round_extinction = 0; % 初始化物種滅絕的次數(shù)

for round = 1 : roundCount

X1 = 1;

forgeneration = 1 : generationCount

X0 = X1; % X0表示上一代個體的數(shù)目

X1 =0; % 下一代個體的數(shù)目(初始值為0)

for x = 1 : X0

X1 = X1 + p(random('unid', 16, 1));

% 將下一代的個體累加

end

if X1 == 0 % 該物種滅絕時終止循環(huán)

break;

end

% 如果X1為0(i.e.該物種滅絕), 則將物種滅絕的次數(shù)加1

if X1 == 0

round_extinction = round_extinction + 1;

end

round_extinction / round % 計算物種滅絕的頻率

time = toc

運行得

ans =

0.8170

time =

81.6524

程序運行結(jié)果表明, 試驗10,000次, 有8170次經(jīng)過40代之后滅絕, 滅絕的概率為81.70%, 和理論值82.84%有一定誤差, 這是由兩個原因造成的: 一是試驗的次數(shù)不夠大, 二是試驗中設(shè)置的代次不夠大. 另外, 程序運行時間的大約是82秒. 將試驗的代次改為100, 仍進(jìn)行10,000次試驗, 運行結(jié)果為

ans =

0.8332

time =

4.3220e+003

結(jié)果表明, 試驗的代次generationCount越大, 頻率值越接近理論值0.8284, 但付出的代價是運行時間特別長, 當(dāng)取generationCount = 100時, 在Intel Cereron CPU G1820上運行約一小時零一十二分鐘, 時間是相當(dāng)長的.

分別取generationCount= 10, 20, …, 100, 仍然進(jìn)行10000次試驗, 將物種滅絕的頻率和代次之間的關(guān)系用下圖表示, 可以看出經(jīng)歷的代次越大, 則物種滅絕的概率越來越趨近于理論值0.8284.從此例可以看出, 盡管該物種的每個個體產(chǎn)生的后代個數(shù)期望值17/16> 1, 但是經(jīng)過足夠長時間(比如100代)后, 該物種滅絕的概率卻很大.