【原】【暑假特輯】學(xué)會動定轉(zhuǎn)換，巧解將軍飲馬

數(shù)海一葉舟 2021-05-17

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從初二開始，我們會遇到幾何最值問題，最常見的是將軍飲馬型的線段和最小值問題．

通常，我們會遇到以下兩種情況：

(1)如圖1，在定直線l外有兩定點(diǎn)A、B，請?jiān)趌上找一動點(diǎn)P，使得AP＋BP最短．

(2)如圖2，在定直線l外有兩定點(diǎn)A、B，請?jiān)趌上找兩動點(diǎn)M、N，且MN定長，使得AM＋BN最短．

解決這兩類問題，通常是作對稱，或先作平移，再作對稱．

(1)如圖3，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．

(2)如圖4，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'，將點(diǎn)B向左平移MN的長度到點(diǎn)B'，連接A'B'，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，點(diǎn)M向右平移MN的長度到點(diǎn)N，點(diǎn)M、N即為所求．

但是，有些題目屬于一定兩動問題，能否將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的兩定一動將軍飲馬問題呢？來看下面幾個例子．

例1：

分析：

本題看似將軍飲馬問題，但卻又有區(qū)別，一般的將軍飲馬問題中，是兩個定點(diǎn)一個動點(diǎn)，而本題卻是一定兩動，但最終肯定要轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的模型，因此，先考慮將AF轉(zhuǎn)化，考慮到正方形對角線可以作為對稱軸，則連接CF，AF＝CF，問題轉(zhuǎn)化為求AE＋FC的最小值．

解答：

反思

本題能否通過“動定轉(zhuǎn)換”的策略去解讀？

何為動定轉(zhuǎn)換？簡單的理解就是：把動點(diǎn)看作不動的定點(diǎn)，讓定點(diǎn)動起來，作相對運(yùn)動．

來看本題，這里E、F是動點(diǎn)，點(diǎn)A是定點(diǎn)，那么我們就可以把E、F看作定點(diǎn)，則點(diǎn)A是動點(diǎn)，而點(diǎn)A的“相對運(yùn)動”路線應(yīng)該是平行于EF運(yùn)動路線，即BD的平行線，由于E、F是BD上的任意兩點(diǎn)，我們在把它們看作定點(diǎn)時，不妨定在特殊位置，如點(diǎn)E和點(diǎn)B重合時，就有下圖．

變式：

分析：

本題幾乎和例1如出一轍，B為定點(diǎn)，E、D為動點(diǎn)，且DE＝2，我們要把兩動一定問題，轉(zhuǎn)化為兩定一動問題，要采用“動定轉(zhuǎn)換”的方法，將E、D看作定點(diǎn)，確定動點(diǎn)B的相對運(yùn)動軌跡，即平行CF的直線PQ．然后問題轉(zhuǎn)化為熟悉的將軍飲馬模型．

解答：