|
成才路上 奧數(shù)國家級教練與四名特級 教師聯(lián)手執(zhí)教。 初學(xué)全等，少不了認(rèn)識各種全等模型，一方面能夠加深一些常見圖形的理解，另外，基本模型也是以后解決復(fù)雜幾何問題的一種方式，本文將簡單介紹半角模型的相關(guān)內(nèi)容． 如圖，正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°，連接EF． 結(jié)論1：EF=BE+DF； 結(jié)論2：EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE； 結(jié)論3：過點A作AH⊥EF交EF于點H，則AH=AB=AD． 以下給出具體證明： 結(jié)論1：EF=BE+DF 結(jié)論2：EA平分∠BEF；FA平分∠DFE 結(jié)論3：AH=AB=AD 對于幾何圖形來說，可以存在多種變式，設(shè)計此類變式的原則就是，確定圖形的等價條件互相推導(dǎo)，所以，除了半角的條件外，還有什么條件能確定這個圖形呢？ 以上3個結(jié)論其實都可以，證明就不證了~ 條件變式1 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，連接EF，若EF=BE+DF． 求證：∠EAF=45°． 條件變式2 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，連接EF，若EA平分∠BEF． 求證：∠EAF=45°． 條件變式3 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，連接EF，過點A作AH⊥EF交EF于點H．若AH=AB． 求證：∠EAF=45°． 幾何題的魅力還不止于此，同樣的條件，當(dāng)圖形稍作變化時，便有了第2小問乃至第3小問了： 圖形變式 若E、F分別在CB、DC延長線上時，求證：EF=DF-BE． 【小結(jié)】截長、補短只是形式，關(guān)鍵點在于已知半角的情況下，構(gòu)造相應(yīng)的另一個半角．此處通過旋轉(zhuǎn)，想要將一個圖形毫無違和地旋轉(zhuǎn)到另一位置，需要：鄰邊相等，對角互補．正方形可滿足一切你所想．
證明 延長AC至點G使得CG=BE，
易證：△DBE≌△DCG（SAS）→DE=DG，∠FDG=∠FDE=60° 易證：△DFE≌△DFG（SAS）→EF=GF 綜上：EF=GF=GC+CF=BE+CF． 圖形變式 若點E、F分別在BA、AC的延長線上，EF、BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系？
結(jié)論是EF=BE-CF． 在BA上取點G使得BG=CF，
易證△DCF≌△DBG，∴DC=DG，∠CDF=∠BDG； 易證△EDG≌△EDF，∴EG=EF， ∵EG=EB-BG=EB-CF， ∴EF=BE-CF． 典型例題
來源：有一點數(shù)學(xué) |
|
|
