2013 年 4 月 17 日，數(shù)學(xué)領(lǐng)域頂級(jí)期刊之一《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）收到了一篇論文。這篇論文出自一位在其領(lǐng)域幾乎名不見(jiàn)經(jīng)傳的數(shù)學(xué)家——來(lái)自新罕布什爾大學(xué)年逾 50 歲的講師張益唐。該論文聲稱在理解孿生素?cái)?shù)猜想這一最古老數(shù)學(xué)問(wèn)題上取得了重大進(jìn)展。

頂級(jí)期刊的編輯們?cè)缫蚜?xí)慣面對(duì)不知名作者的夸夸其談，不過(guò)這篇論文卻是個(gè)例外，因?yàn)樗@然是一份嚴(yán)肅的證明：語(yǔ)言清楚明晰，且完全掌握了該領(lǐng)域目前最新的技術(shù)。《數(shù)學(xué)年刊》的編輯決定對(duì)其加快處理。

僅僅過(guò)了三周時(shí)間——相對(duì)于數(shù)學(xué)期刊正常的審稿速度也就是一眨眼的工夫，張益唐就收到了他論文的審稿意見(jiàn)。

其中一位審稿人寫道：“主要結(jié)果是一流的。作者證明了素?cái)?shù)分布中一個(gè)里程碑式的定理?！?/p>

一位此前默默無(wú)聞的學(xué)者取得了一項(xiàng)重大進(jìn)展——這一傳聞在數(shù)學(xué)界迅速傳播開(kāi)來(lái)。事實(shí)上，在 1991 年獲得博士學(xué)位后，張益唐的學(xué)術(shù)能力一直被人忽視，以至于他甚至無(wú)法在學(xué)術(shù)界找到一份工作。他當(dāng)過(guò)幾年會(huì)計(jì)，甚至在賽百味（三明治快餐連鎖店）干過(guò)。

蒙特利爾大學(xué)的數(shù)論學(xué)家安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville）教授說(shuō)：“在此之前基本沒(méi)人知道他。但突然間他就證明了數(shù)論史上重要的結(jié)果之一。”

當(dāng)年 5 月 13 日，哈佛大學(xué)的數(shù)學(xué)家們趕忙為張益唐安排了一場(chǎng)報(bào)告，請(qǐng)他在聽(tīng)眾面前展示自己的工作。隨著更多的細(xì)節(jié)浮出水面，人們意識(shí)到，張益唐的結(jié)果并非來(lái)自什么全新的方法，而是來(lái)自堅(jiān)持不懈地運(yùn)用已有的方法。

“這一領(lǐng)域的頂級(jí)專家之前嘗試過(guò)這種方法，”格蘭維爾表示，“雖然張益唐并不是知名的專家，但那些專家都失敗了，而他成功了?！?/p>素?cái)?shù)對(duì)問(wèn)題

素?cái)?shù)是指除了 1 和它自身以外沒(méi)有其他因子的自然數(shù)，它們是構(gòu)成算術(shù)的“原子”。兩千多年前，歐幾里得證明了存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，之后，關(guān)于素?cái)?shù)的問(wèn)題吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家。

素?cái)?shù)本質(zhì)上與乘法性質(zhì)相關(guān)，因此理解其加法性質(zhì)就變得非常棘手。數(shù)學(xué)中一些最古老的猜想就涉及素?cái)?shù)及其加法性質(zhì)，例如孿生素?cái)?shù)猜想，它斷言存在無(wú)窮多對(duì)相差為 2 的素?cái)?shù)；以及哥德巴赫猜想，它斷言所有偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。非常巧合的是，張益唐在哈佛做報(bào)告的同時(shí)，來(lái)自巴黎高等師范學(xué)校的哈拉爾德·黑爾夫戈特（Harald Helfgott）在線發(fā)布了一篇文章，證明了后一個(gè)猜想的一個(gè)弱版本。

數(shù)軸上一開(kāi)始有很多素?cái)?shù)，但隨著數(shù)字逐漸變大，它們變得越發(fā)稀疏。比如在前 10 個(gè)數(shù)中，素?cái)?shù)占 40%：2，3，5，7。但在 10 位數(shù)中，素?cái)?shù)僅占約 4%。一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家已經(jīng)理解了在平均意義上素?cái)?shù)的出現(xiàn)頻率是如何遞減的：在大數(shù)中，相鄰素?cái)?shù)之間的期望間隔大約是其位數(shù)的 2.3 倍，比如在 100 位數(shù)中，相鄰素?cái)?shù)之間的期望間隔大約是 230。

但這只是平均意義上的結(jié)果。素?cái)?shù)經(jīng)常比預(yù)測(cè)的平均值更加緊密或稀疏。尤其是孿生素?cái)?shù)經(jīng)常會(huì)突然出現(xiàn)，比如 3 和 5，11 和 13，它們僅相差 2。雖然在大數(shù)中孿生素?cái)?shù)變得越發(fā)稀少，但它們似乎從未完全消失（目前發(fā)現(xiàn)的最大的孿生素?cái)?shù)是 2 996 863 034 895×2^{1 290 000}±1）。

數(shù)百年來(lái)，數(shù)學(xué)家一直猜想有無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)。1849 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿方斯·德波利尼亞克（Alphonse de Polignac）推廣了這一猜想，提出對(duì)于任意可能的有限間隔（不僅僅是 2），都應(yīng)該存在無(wú)窮多素?cái)?shù)對(duì)。

從那時(shí)起，即使不知道有什么應(yīng)用，但這些猜想的內(nèi)在吸引力就足以讓人們賦予它數(shù)學(xué)圣杯的地位。盡管人們?cè)谧C明這些猜想方面付出了很多努力，數(shù)學(xué)家們還是不能排除素?cái)?shù)的間隔會(huì)一直增長(zhǎng)，并最終超過(guò)任意特定上界的可能。

現(xiàn)在張益唐突破了這道障礙。他的論文表明：存在某個(gè)小于 7 000 萬(wàn)的數(shù) N，使得有無(wú)窮多對(duì)素?cái)?shù)，它們之差小于 N。不論你在龐大素?cái)?shù)的沙漠里走多遠(yuǎn)，也不論這些素?cái)?shù)變得多稀疏，你總會(huì)不停地發(fā)現(xiàn)相差小于 7 000 萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)。

圣何塞州立大學(xué)的數(shù)論學(xué)家丹尼爾·戈德斯通（Daniel Goldston）說(shuō)這一結(jié)果“令人震驚”?！斑@是一個(gè)你之前無(wú)法確定能否解決的問(wèn)題。”

張益唐的證明源自 13 年前的一篇論文。這篇論文被數(shù)論學(xué)家們稱為 GPY，由論文三位作者姓名的首字母命名——戈德斯通、來(lái)自布達(dá)佩斯阿爾弗雷德·雷尼數(shù)學(xué)研究所的亞諾什·品茨（János Pintz）和伊斯坦布爾海峽大學(xué)的杰姆·伊爾迪里姆（Cem Y?ld?r?m）。雖然 GPY 論文非常接近最終的結(jié)論，但它最終還是無(wú)法證明存在無(wú)窮多具有某個(gè)有限間隔的素?cái)?shù)對(duì)。

不過(guò)，GPY 證明了總存在間隔比預(yù)測(cè)的平均間隔小得多的素?cái)?shù)對(duì)。精確來(lái)講，GPY 證明了對(duì)任意選定的分?jǐn)?shù)（無(wú)論多?。?，只要沿?cái)?shù)軸走得足夠遠(yuǎn)，總存在一對(duì)素?cái)?shù)，它們的間隔小于平均間隔的該分?jǐn)?shù)倍。但研究者無(wú)法證明這些素?cái)?shù)對(duì)的間隔總小于某個(gè)特定的有限數(shù)。

GPY 使用了一種被稱為“篩法”的方法來(lái)過(guò)濾出那些間隔小于平均值的素?cái)?shù)對(duì)。從兩千年前用于尋找素?cái)?shù)的埃拉托色尼篩法開(kāi)始，各種篩法在素?cái)?shù)研究中長(zhǎng)盛不衰。

舉個(gè)例子，我們來(lái)使用埃拉托色尼篩法來(lái)尋找 100 以內(nèi)的素?cái)?shù)。我們從 2 開(kāi)始，劃掉 100 以內(nèi)所有能被 2 整除的數(shù)；接著到 3 ，我們劃掉所有能被 3 整除的數(shù)；4 已經(jīng)被劃掉了，所以到了 5 ，我們劃掉所有能被 5 整除的數(shù)，以此類推。經(jīng)過(guò)了這一過(guò)程，最后剩下的數(shù)就是素?cái)?shù)。

埃拉托色尼篩在識(shí)別素?cái)?shù)方面效果很好，但對(duì)于解決理論問(wèn)題來(lái)說(shuō)卻過(guò)于煩瑣而低效。在過(guò)去的一個(gè)世紀(jì)中，數(shù)論學(xué)家們發(fā)展出了一整套方法來(lái)尋求這些問(wèn)題的近似答案。

“埃拉托色尼篩法的準(zhǔn)確性好過(guò)頭了，”戈德斯通說(shuō)，“現(xiàn)代篩法則放棄了完美篩選的嘗試。”

GPY 設(shè)計(jì)了一種篩法，它可以過(guò)濾出一串可能包含潛在素?cái)?shù)對(duì)的數(shù)。為了從這些數(shù)中找出真正的素?cái)?shù)對(duì)，研究者將他們的篩法和一個(gè)函數(shù)相結(jié)合，該函數(shù)的有效性取決于一個(gè)被稱為分布水平的參數(shù)，這一參數(shù)用來(lái)衡量素?cái)?shù)開(kāi)始顯現(xiàn)出某些規(guī)律性的速度。

我們已知這一分布水平至少為 1/2。這正好是證明 GPY 結(jié)果所采用的參數(shù)，但它無(wú)法證明總存在具有某個(gè)有界間隔的素?cái)?shù)對(duì)。研究人員已經(jīng)證明：只有當(dāng)素?cái)?shù)的分布水平大于 1/2 時(shí)，GPY 使用的篩法才可能證明這個(gè)結(jié)論——任何比 1/2 大，哪怕只是大一點(diǎn)點(diǎn)的數(shù)都可以。他們認(rèn)為：GPY 的定理“距離解決這個(gè)問(wèn)題看似只有一根頭發(fā)絲直徑的距離”。

但是隨著更多研究者試圖解決這個(gè)困難，這一根頭發(fā)絲的直徑看起來(lái)卻愈發(fā)遙遠(yuǎn)。在 20 世紀(jì) 80 年代，3 位研究者，來(lái)自普林斯頓高等研究院的菲爾茲獎(jiǎng)得主恩里科·邦別里（Enrico Bombieri）、多倫多大學(xué)的約翰·弗里德蘭德（John Friedlander）和羅格斯大學(xué)的亨里克·伊萬(wàn)涅茨（Henryk Iwaniec），發(fā)展出了一套調(diào)整分布水平定義的方法，將這一參數(shù)提高到 4/7。在 2005 年 GPY 論文發(fā)表之后，研究者們不遺余力地試圖將這一調(diào)整后的分布水平整合到 GPY 的篩法框架內(nèi)，但都無(wú)功而返。

格蘭維爾評(píng)論道：“這個(gè)領(lǐng)域最有名的專家都嘗試過(guò)，并且都失敗了。當(dāng)時(shí)我個(gè)人認(rèn)為沒(méi)有人能在短時(shí)間內(nèi)做到?！?/p>跨越溝壑

與此同時(shí)，張益唐在孤軍奮戰(zhàn)，試圖在 GPY 定理和素?cái)?shù)有界間隔猜想之間架設(shè)橋梁。張益唐是一位在普渡大學(xué)獲得博士學(xué)位的中國(guó)移民，他一直對(duì)數(shù)論充滿興趣，盡管這不是他博士論文的題目。在無(wú)法在學(xué)術(shù)界找到工作的艱難歲月里，張益唐仍然繼續(xù)關(guān)注著該領(lǐng)域的進(jìn)展。

他說(shuō)：“一個(gè)人的職業(yè)生涯中有很多機(jī)會(huì)，但重要的是要保持思考?！?/p>

張益唐讀到了 GPY 的論文，特別是那句關(guān)于 GPY 定理和素?cái)?shù)有界間隔猜想間僅有頭發(fā)絲直徑的距離的話。他說(shuō)：“那句話讓我印象深刻。”

在沒(méi)有和該領(lǐng)域的專家進(jìn)行交流的情況下，張益唐開(kāi)始獨(dú)自思考這個(gè)問(wèn)題。然而，三年過(guò)去了，他沒(méi)有取得絲毫進(jìn)展?！爱?dāng)時(shí)的我疲憊不堪。”他說(shuō)。

2012 年夏天，為了放松，張益唐拜訪了科羅拉多州的一位朋友。7 月 3 日，在朋友家的后院等待啟程去音樂(lè)會(huì)的半小時(shí)時(shí)間里，他突然想到了問(wèn)題的答案。他說(shuō)：“我馬上意識(shí)到這樣行得通?！?/p>

張益唐的想法是，不直接使用 GPY 的篩法，而是對(duì)其進(jìn)行修正。修正后的篩法不會(huì)對(duì)每一個(gè)數(shù)都進(jìn)行過(guò)濾，而僅僅過(guò)濾那些沒(méi)有大的素因子的數(shù)。

戈德斯通說(shuō)：“他的篩法并不是那么好，因?yàn)樗](méi)有使用可以用來(lái)篩數(shù)的所有工具。但事實(shí)證明，雖然它的效果稍差，但卻擁有某種靈活性，讓結(jié)論得以成立?！?/p>

戈德斯通認(rèn)為，雖然新的篩法能夠讓張益唐證明存在無(wú)窮多相差不超過(guò) 7 000 萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)，但它能證明孿生素?cái)?shù)猜想的可能性很小。他說(shuō)，即使假設(shè)最強(qiáng)的分布水平參數(shù)，通過(guò) GPY 方法可能得到的最好的結(jié)果，也只是存在無(wú)窮多相差不超過(guò) 16 的素?cái)?shù)對(duì)。

但格蘭維爾卻認(rèn)為，數(shù)學(xué)家不應(yīng)提前排除使用這些方法最終證明孿生素?cái)?shù)猜想的可能性。

他說(shuō)：“這項(xiàng)工作是革命性的。有時(shí)出現(xiàn)一個(gè)新的證明之后，原先人們認(rèn)為要難得多的問(wèn)題就變成了一個(gè)很小的擴(kuò)展而已。目前，我們需要研究這篇論文，看看結(jié)果如何?！?/p>

張益唐花費(fèi)了數(shù)月的時(shí)間來(lái)厘清所有細(xì)節(jié)，最終的論文闡述清晰，堪稱典范。格蘭維爾評(píng)價(jià)道：“他把每一個(gè)細(xì)節(jié)都講清楚了，讓人無(wú)從質(zhì)疑。文章沒(méi)有含糊不清的地方?！?/p>

在張益唐收到審稿意見(jiàn)之后，更多的事情紛至沓來(lái)。各地的研究機(jī)構(gòu)紛紛邀請(qǐng)他去做報(bào)告，介紹自己的工作。格蘭維爾說(shuō)：“一個(gè)默默無(wú)聞的人能做到這一點(diǎn)，令人感到相當(dāng)興奮?！?/p>

對(duì)于自稱非常害羞的張益唐來(lái)說(shuō)，聚光燈下的光芒多少令他有些不適應(yīng)。他說(shuō)：“我說(shuō)，‘為什么一切來(lái)得如此之快？’有時(shí)這令人很困惑?！?/p>

然而，在哈佛的演講現(xiàn)場(chǎng)，張益唐并不緊張。聽(tīng)眾稱贊他的演講思路清晰。他說(shuō)：“當(dāng)我做報(bào)告并且專注于數(shù)學(xué)時(shí)，我就忘記了害羞?！?/p>

張益唐說(shuō)，到目前為止，自己對(duì)于之前相對(duì)默默無(wú)聞的職業(yè)生涯并無(wú)怨恨。他說(shuō)：“我的心態(tài)很平和。我不是特別在乎錢，或者榮譽(yù)。我喜歡安靜，我喜歡繼續(xù)一個(gè)人工作?！?/p>

素?cái)?shù)間隔問(wèn)題：通力合作與孤軍奮戰(zhàn)

2013 年，張益唐攻克了素?cái)?shù)領(lǐng)域一個(gè)長(zhǎng)期懸而未決的問(wèn)題。他證明了，沿?cái)?shù)軸前進(jìn)時(shí)，盡管素?cái)?shù)的分布越來(lái)越稀疏，但你總能找到相差不超過(guò) 7 000 萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)。之后的幾個(gè)月里，整個(gè)數(shù)學(xué)界都沉浸在張益唐這一結(jié)果所帶來(lái)的興奮之中，他收到了鋪天蓋地的活動(dòng)邀請(qǐng)。張益唐在美國(guó)眾多知名學(xué)府報(bào)告了自己的工作，收到了中國(guó)頂尖科研機(jī)構(gòu)的工作邀請(qǐng)，還拿到了美國(guó)普林斯頓高等研究院訪問(wèn)學(xué)者的位置，后來(lái)，他所在的新罕布什爾大學(xué)也將他晉升為正教授。

與此同時(shí)，張益唐的工作也引出了一個(gè)問(wèn)題：為什么是 7 000 萬(wàn)？事實(shí)上，這一數(shù)字并沒(méi)有什么神奇之處——它只是滿足了張益唐的目的，并有助于簡(jiǎn)化他的證明。其他數(shù)學(xué)家很快就意識(shí)到，應(yīng)該有辦法減小這一差值的上界，盡管不能一直減小到 2。

截至 2013 年 5 月底，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)對(duì)張益唐的證明進(jìn)行了一些簡(jiǎn)單調(diào)整，將這個(gè)上界降到了 6 000 萬(wàn)以下。澳大利亞國(guó)立大學(xué)的斯科特·莫里森（Scott Morrison）發(fā)表了一篇博客，就此點(diǎn)燃了一場(chǎng)活動(dòng)的風(fēng)暴：數(shù)學(xué)家們開(kāi)始爭(zhēng)相減小這一數(shù)字，創(chuàng)造了一個(gè)又一個(gè)紀(jì)錄。截至同年 6 月 4 日，數(shù)學(xué)界的著名獎(jiǎng)項(xiàng)——菲爾茲獎(jiǎng)得主、加州大學(xué)洛杉磯分校的陶哲軒（Terence Tao）創(chuàng)建了一個(gè)公開(kāi)的“博學(xué)者計(jì)劃”在線項(xiàng)目（Polymath project）以改進(jìn)這個(gè)結(jié)果，該項(xiàng)目吸引了數(shù)十名參與者。

啟動(dòng)幾周以來(lái)，該項(xiàng)目以驚人的速度推進(jìn)。陶哲軒回憶道：“有的時(shí)候，這個(gè)上界每隔 30 分鐘就會(huì)下降?！苯刂?2013 年 7 月 27 日，該團(tuán)隊(duì)已經(jīng)成功將素?cái)?shù)間隔的上界從已證的 7 000 萬(wàn)降到了 4 680。

隨后，同年 11 月，當(dāng)時(shí)還在蒙特利爾大學(xué)獨(dú)立工作的博士后研究員詹姆斯·梅納德（James Maynard）在預(yù)印本網(wǎng)站 arxiv.org 上發(fā)布了一篇文章，使得縮小素?cái)?shù)間隔的競(jìng)爭(zhēng)進(jìn)入白熱化階段。就在張益唐宣布其結(jié)果幾個(gè)月之后，梅納德給出了一個(gè)獨(dú)立的證明，將這一間隔降到了 600。博學(xué)者項(xiàng)目中的另一項(xiàng)工作將該項(xiàng)目中合作者的技術(shù)和梅納德的方法相結(jié)合，將這個(gè)數(shù)值降到了 246。

陶哲軒說(shuō)：“數(shù)學(xué)界對(duì)這一新進(jìn)展非常興奮。”

梅納德的方法不僅適用于素?cái)?shù)對(duì)，也適用于三元、四元和多元素?cái)?shù)組。他證明，當(dāng)你沿?cái)?shù)軸前進(jìn)時(shí)，你可以找到無(wú)窮多個(gè)包含任意給定數(shù)目個(gè)素?cái)?shù)的有界的多元素?cái)?shù)組（陶哲軒說(shuō)，他與梅納德幾乎同時(shí)獨(dú)立地得到了這個(gè)結(jié)果）。

張益唐的工作，以及梅納德的工作（盡管梅納德的程度更輕一些），都是孤獨(dú)數(shù)學(xué)天才的典型寫照：他們?cè)谀硞€(gè)傳說(shuō)中的閣樓里埋頭工作數(shù)年，最后拿出一個(gè)震驚世界的偉大成果。而博學(xué)者計(jì)劃卻截然相反——它發(fā)展迅猛，提倡大規(guī)模合作，以隨時(shí)創(chuàng)造一項(xiàng)新世界紀(jì)錄所帶來(lái)的滿足感為動(dòng)力。

對(duì)于張益唐來(lái)說(shuō)，獨(dú)自工作并幾乎不正常地癡迷于某一個(gè)難題的方式給他帶來(lái)了豐碩的回報(bào)。那他會(huì)向其他數(shù)學(xué)家推薦這種方法嗎？“這很難說(shuō)，”他說(shuō)，“這是我選擇的方式，但也只是我個(gè)人（做數(shù)學(xué)）的方式。”

陶哲軒則強(qiáng)烈反對(duì)年輕數(shù)學(xué)家走與張益唐相同的道路，他稱這是“一種特別危險(xiǎn)的職業(yè)危害”，并指出，這條路很少奏效，除非你是有穩(wěn)定職位，并已經(jīng)做出了能證明自己實(shí)力的工作的知名數(shù)學(xué)家。不過(guò)，他在一次采訪中也表示，獨(dú)立和合作的工作方式都能給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的東西。

陶哲軒說(shuō)：“要有愿意獨(dú)立工作且敢于打破傳統(tǒng)觀念的人，這非常重要?！毕啾戎拢W(xué)者計(jì)劃“完全是群體思維”。“并非每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都適合這樣的合作，但就縮小素?cái)?shù)間隔的界這一問(wèn)題而言，它非常適合?！?/p>梳理數(shù)軸

為了證明自己的結(jié)果，張益唐使用了一種叫 k 元組（k-tuple）的數(shù)學(xué)工具來(lái)尋找素?cái)?shù)。你可以把 k 元組想象成一把梳子，其中部分梳齒被折斷了。如果你從數(shù)軸上任意選定的位置開(kāi)始，沿?cái)?shù)軸放置這樣一把梳子，那么剩余梳齒將會(huì)指向一組數(shù)字。

張益唐的目光集中在一類折斷梳子上，其剩余梳齒滿足“可容許性”（admissibility）這一整除性質(zhì)。首先，他證明，任意一把至少有 350 萬(wàn)個(gè)梳齒的“可容許梳子”會(huì)在數(shù)軸的無(wú)窮多個(gè)位置上發(fā)現(xiàn)至少兩個(gè)素?cái)?shù)。接下來(lái)，他展示了如何從一把有 7 000 萬(wàn)個(gè)梳齒的梳子出發(fā)，通過(guò)折斷除素?cái)?shù)梳齒以外的其他所有梳齒，來(lái)得到一把至少有 350 萬(wàn)個(gè)梳齒的可容許梳子。張益唐得出結(jié)論，這樣一把梳子一定能不斷地找到兩個(gè)素?cái)?shù)，且找到的兩個(gè)素?cái)?shù)相差不超過(guò) 7 000 萬(wàn)。

蒙特利爾大學(xué)的安德魯·格蘭維爾稱這一發(fā)現(xiàn)是“一個(gè)了不起的突破”，“（這）是一個(gè)具有歷史意義的結(jié)果”。

張益唐的工作包括三個(gè)單獨(dú)的步驟，每一步都為他 7 000 萬(wàn)的上界提供了潛在的改進(jìn)空間。首先，張益唐引用了一些非常深?yuàn)W的數(shù)學(xué)過(guò)程來(lái)確定素?cái)?shù)可能隱藏的位置。接下來(lái)，他用這個(gè)結(jié)果計(jì)算出他的梳子需要多少梳齒，才能保證它可以無(wú)窮多次地找到至少兩個(gè)素?cái)?shù)。最后，他計(jì)算出自己必須從多大的梳子開(kāi)始，才能在折斷到滿足可容許性之后還能留下足夠的梳齒。

陶哲軒表示，由于這三個(gè)步驟可以分別進(jìn)行，改進(jìn)張益唐的結(jié)果變成了一項(xiàng)適合多人合作的理想項(xiàng)目?！八淖C明是非常模塊化的，所以我們可以并行多個(gè)步驟，讓掌握不同技術(shù)的人分別貢獻(xiàn)出自己的改進(jìn)?！辈W(xué)者計(jì)劃很快吸引了掌握相關(guān)技術(shù)的人，它或許比自上而下組織的計(jì)劃更有效率?！安W(xué)者計(jì)劃把從未想過(guò)會(huì)一起工作的一群人聚集了起來(lái)?！碧照苘幷f(shuō)。

在張益唐的三個(gè)步驟中，最先得到改進(jìn)的是最后一步。在這一步中，他找到了一把至少有 350 萬(wàn)個(gè)梳齒的可容許梳子。張益唐證明，只需一把長(zhǎng)度為 7 000 萬(wàn)的梳子，就能得到這樣一把可容許梳子，但他并沒(méi)有特別努力去嘗試縮短這一長(zhǎng)度。這其中有很大的改進(jìn)空間，擅長(zhǎng)計(jì)算數(shù)學(xué)的研究人員很快就開(kāi)始了一場(chǎng)良性競(jìng)爭(zhēng)，尋找具有給定梳齒數(shù)的更小的可容許梳子。

麻省理工學(xué)院的安德魯·薩瑟蘭（Andrew Sutherland）很快就在構(gòu)造可容許梳子的競(jìng)爭(zhēng)中拔得頭籌。他的研究重心是計(jì)算數(shù)論，在張益唐宣布自己結(jié)果的那段時(shí)間里，安德魯正在旅行，并沒(méi)有特別注意這個(gè)結(jié)果。但當(dāng)他在芝加哥一家酒店辦理入住手續(xù)，并向前臺(tái)接待員提及自己在那兒參加一個(gè)數(shù)學(xué)會(huì)議時(shí)，接待員回答道：“哇，是那個(gè) 7 000 萬(wàn)，對(duì)嗎？”

薩瑟蘭說(shuō)：“我被酒店接待員都知道這件事震驚了?！彼芸炀桶l(fā)現(xiàn)，對(duì)有像他這樣計(jì)算能力的人來(lái)說(shuō)，張益唐給出的上界還有很大的改進(jìn)空間?！斑@個(gè)夏天我本來(lái)有很多計(jì)劃，但它們都被我擱下了?！?/p>

對(duì)于研究這一步驟的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，他們面臨的情況隨時(shí)在發(fā)生改變。每當(dāng)研究其他兩個(gè)步驟的數(shù)學(xué)家設(shè)法減少了梳子所需的梳齒數(shù)時(shí)，他們的任務(wù)就會(huì)發(fā)生變化?！坝螒蛞?guī)則每天都在改變，”薩瑟蘭說(shuō)，“當(dāng)我睡覺(jué)時(shí)，歐洲的合作者可能就貼出了新的上界。有時(shí)，我會(huì)在凌晨 2 點(diǎn)跑下樓，去發(fā)布一個(gè)想法?！?/p>

博學(xué)者項(xiàng)目的最終紀(jì)錄是一把總長(zhǎng)度為 4 680、有 632 個(gè)梳齒的梳子。該團(tuán)隊(duì)使用了一種遺傳算法，這種算法將不同的可容許梳子彼此“配對(duì)”，以制造出新的、可能更好的梳子。

梅納德發(fā)現(xiàn)了一把總長(zhǎng)度為 600、有 105 個(gè)梳齒的梳子，這使得之前博學(xué)者項(xiàng)目中那些龐大的計(jì)算都過(guò)時(shí)了。但這個(gè)團(tuán)隊(duì)的努力并沒(méi)有白費(fèi)。薩瑟蘭說(shuō)，尋找更小的可容許梳子在許多數(shù)論問(wèn)題中都有用武之地。梅納德則說(shuō)，在改進(jìn)自己關(guān)于三元、四元和多元素?cái)?shù)組的結(jié)果時(shí)，這個(gè)團(tuán)隊(duì)的計(jì)算工具就很可能派上用場(chǎng)。

關(guān)注張益唐證明第二步的研究人員的工作，則是沿?cái)?shù)軸尋找放置梳子的位置，使其最有可能找到一對(duì)素?cái)?shù)，并以此來(lái)確定所需要的梳齒數(shù)。當(dāng)你沿?cái)?shù)軸越走越遠(yuǎn)時(shí)，素?cái)?shù)會(huì)變得非常稀疏，因此如果你只是把梳子隨機(jī)放在某個(gè)位置，你很可能找不到任何素?cái)?shù)，更別說(shuō)找到兩個(gè)素?cái)?shù)了。尋找哪里有最多素?cái)?shù)的問(wèn)題最終變成了“變分法”領(lǐng)域中的一個(gè)問(wèn)題，變分法是微積分的一種推廣。

這一步包括可能是這個(gè)計(jì)劃里最了無(wú)新意的進(jìn)展，它們絕大部分最終也被梅納德的工作直接取代了。然而在當(dāng)時(shí)，這一進(jìn)展是最富有成果的進(jìn)展之一。當(dāng)這一團(tuán)隊(duì)在 2013 年 6 月 5 日填上這塊拼圖時(shí)，素?cái)?shù)間隔的上界從大約 460 萬(wàn)降到了 389 922。

張益唐證明的第一步處理的問(wèn)題是素?cái)?shù)是如何分布的，關(guān)注這一步的研究人員所面臨的可能是最困難的工作。一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)掌握了一系列關(guān)于素?cái)?shù)分布的規(guī)律。其中一條規(guī)律說(shuō)，如果將所有素?cái)?shù)除以 3，則一半的素?cái)?shù)余 1，一半的素?cái)?shù)余 2。薩瑟蘭認(rèn)為，這一類規(guī)律正是我們?cè)诖_定一把可容許梳子能否找到一對(duì)素?cái)?shù)時(shí)所需要的，因?yàn)樗砻鳌按硭財(cái)?shù)的魚(yú)兒不可能都藏在同一塊石頭下面，它們是分散在各處的”。但為了在證明中使用這些分布規(guī)律，張益唐以及后來(lái)的博學(xué)者項(xiàng)目都必須盡力攻克一些最深?yuàn)W的數(shù)學(xué)難題：其中包括從 20 世紀(jì) 70 年代起由皮埃爾·德利涅（Pierre Deligne）提出的一系列定理，這些定理關(guān)注的是在龐大的求和式中，什么時(shí)候某些特定的誤差項(xiàng)會(huì)相互抵消。皮埃爾·德利涅目前是普林斯頓高等研究院的名譽(yù)教授。莫里森認(rèn)為德利涅的工作是“20 世紀(jì)數(shù)學(xué)中巨大而驚人的一頁(yè)”。

陶哲軒說(shuō)：“幸運(yùn)的是，有一些參與者對(duì)德利涅發(fā)展出的這套困難的機(jī)制非常熟悉。在開(kāi)展這項(xiàng)計(jì)劃之前，我自己對(duì)這個(gè)領(lǐng)域了解不多。”

這一步的參與者不僅通過(guò)完善這部分的證明來(lái)改進(jìn)了得到的結(jié)果，還提供了另一種完全不依賴德利涅定理的方法，但此時(shí)要在得到的結(jié)果上付出一定代價(jià)：如果不用德利涅定理，這一計(jì)劃得到的最好的上界是 14 950。

對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這種對(duì)證明的簡(jiǎn)化（如果有的話）比這個(gè)計(jì)劃最終得到的數(shù)字更令人興奮，因?yàn)閿?shù)學(xué)家不僅關(guān)心證明是否正確，也關(guān)心它能帶來(lái)多少新的見(jiàn)解。

“我們需要的是新想法?！备裉m維爾說(shuō)。

引人注目的是，在博學(xué)者項(xiàng)目的進(jìn)程中，張益唐本人并未參與，盡管這一點(diǎn)可能并不令人意外。他說(shuō)自己并未密切關(guān)注過(guò)這個(gè)計(jì)劃，并表示：“我和他們沒(méi)有任何聯(lián)系。我更喜歡保持安靜和獨(dú)處，這能夠讓我集中精力。”

盡管不那么引人注目，但同樣缺席博學(xué)者項(xiàng)目的還有梅納德。當(dāng)博學(xué)者項(xiàng)目的參與者們狂熱地減小素?cái)?shù)對(duì)之間的間隔時(shí)，梅納德正在獨(dú)自發(fā)展一套不同的方法——一套在一篇已被遺忘的論文中預(yù)示的方法，那

篇論文是十年前寫的，后來(lái)被撤回了。（本文的寫作與發(fā)表時(shí)間是 2013 年 11 月。——編者注）

張益唐的工作基于 2005 年一篇被稱為 GPY 的文章，它以作者丹尼爾·戈德斯通、亞諾什·平茨和杰姆·伊爾迪里姆的姓氏首字母命名。GPY 論文發(fā)明了一個(gè)評(píng)分系統(tǒng)，來(lái)衡量某個(gè)給定的數(shù)與素?cái)?shù)的接近程度。偶數(shù)得分很低，能被 3 整除的奇數(shù)得分僅比偶數(shù)略高，等等。這類評(píng)分公式被稱為“篩”，它們也可以用來(lái)對(duì)可容許梳子指向的一組數(shù)進(jìn)行評(píng)分，在確定梳子放在數(shù)軸上的什么位置更有可能找到素?cái)?shù)時(shí)，它們是非常關(guān)鍵的工具。構(gòu)造一個(gè)有效的篩其實(shí)有點(diǎn)兒像一門藝術(shù)：這個(gè)公式必須能很好地估計(jì)不同的數(shù)與素?cái)?shù)的接近程度，但也必須足夠簡(jiǎn)單，能用于分析。

在 GPY 論文發(fā)表的兩年前，三位作者中的兩位——戈德斯通和伊爾迪里姆——就發(fā)布了一篇論文，描述了他們宣稱的強(qiáng)大評(píng)分方法。然而，沒(méi)過(guò)幾個(gè)月，數(shù)學(xué)家們就發(fā)現(xiàn)了該論文的一個(gè)漏洞。當(dāng)戈德斯通、平茨和伊爾迪里姆重新調(diào)整了評(píng)分公式，補(bǔ)上這一漏洞后，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家開(kāi)始將注意力轉(zhuǎn)向調(diào)整后的評(píng)分系統(tǒng)，即 GPY 版本，并未考慮是否有更好的方法來(lái)調(diào)整最初有漏洞的公式。

梅納德的博士后導(dǎo)師格蘭維爾說(shuō)：“我們這些研究 GPY 的人覺(jué)得自己已經(jīng)掌握了所有的基礎(chǔ)知識(shí)，從來(lái)沒(méi)想回過(guò)頭去重新做之前的分析?！?/p>

然而，2012 年，梅納德決定回過(guò)頭再看一看之前的論文。作為一名研究篩理論的剛剛畢業(yè)的博士，梅納德發(fā)明了一種調(diào)整 GPY 評(píng)分系統(tǒng)的新方法。GPY 對(duì)可容許梳子評(píng)分的方法是將其指向的所有數(shù)字相乘，然后對(duì)乘積進(jìn)行一次性評(píng)分。而梅納德想出了一種對(duì)每個(gè)數(shù)字分別評(píng)分的方法，以從評(píng)分系統(tǒng)中獲得更多細(xì)微差別的信息。

格蘭維爾表示，梅納德的篩法“出人意料地簡(jiǎn)單”?！斑@種方法是像我這樣的人會(huì)拍著額頭說(shuō)，‘如果七年前我們意識(shí)到自己可能做到，我們?cè)缇妥龅搅耍　哪欠N?！?/p>

利用這種改進(jìn)后的評(píng)分系統(tǒng)，梅納德將素?cái)?shù)的間隔縮小到了 600，并對(duì)更大的素?cái)?shù)組也證明了相應(yīng)的有界間隔結(jié)果。

張益唐和梅納德在幾個(gè)月之內(nèi)各自證明了素?cái)?shù)間隔是有界的，這“純屬巧合”。梅納德說(shuō)：“當(dāng)我聽(tīng)到張益唐的結(jié)果時(shí)，我非常興奮?！?/p>

對(duì)于梅納德?lián)屃瞬W(xué)者項(xiàng)目的風(fēng)頭，陶哲軒也持類似的看法，他說(shuō)：“紀(jì)錄就是用來(lái)被打破的——這就是進(jìn)展?！?/p>

陶哲軒和梅納德說(shuō)，將梅納德的篩法與張益唐和博學(xué)者項(xiàng)目關(guān)于素?cái)?shù)分布的深刻技術(shù)性工作結(jié)合起來(lái)，有可能進(jìn)一步縮小素?cái)?shù)間隔。

這一次，梅納德也加入了進(jìn)來(lái)。他說(shuō)：“我期待著使這個(gè)上界盡可能小?！睆膹堃嫣坪兔芳{德的方法中究竟還能榨出多少東西，仍有待觀察。

在梅納德的工作之前，最好的情況似乎是素?cái)?shù)間隔的界可以被降到 16，這是 GPY 方法的理論極限。梅納德的改進(jìn)將這一理論極限降到了 12。梅納德說(shuō)：“可以想象，用一個(gè)更巧妙的篩法可以將這一極限降到 6?！钡瑫r(shí)也表示，用這些想法不太可能將素?cái)?shù)間隔一直降到 2，來(lái)證明孿生素?cái)?shù)猜想。

梅納德說(shuō)：“我覺(jué)得我們?nèi)匀恍枰恍├砟钌系闹卮笸黄?，才能解決孿生素?cái)?shù)問(wèn)題?！?/p>

陶哲軒、梅納德和博學(xué)者項(xiàng)目的參與者們最終可能會(huì)從張益唐那里獲得大量新的想法。這位近期頻繁乘飛機(jī)四處旅行的數(shù)學(xué)家花了相當(dāng)一段時(shí)間才掌握了在飛機(jī)上思考數(shù)學(xué)的技能，但他現(xiàn)在已經(jīng)開(kāi)始研究新的問(wèn)題了。張益唐拒絕透露更多信息，只說(shuō)這個(gè)問(wèn)題“很重要”。他說(shuō)，盡管他目前沒(méi)有在研究孿生素?cái)?shù)問(wèn)題，但他保留了一個(gè)“秘密武器”——在他的結(jié)果公布之前，他就發(fā)明了一種可以降低上界的技術(shù)。張益唐說(shuō)，由于該“武器”太過(guò)技術(shù)性和困難，他在自己的論文中省去了這種技術(shù)。

“這是我自己的原創(chuàng)想法，”他說(shuō)，“它應(yīng)該是一個(gè)全新的東西。”

《素?cái)?shù)的陰謀》

編著：托馬斯·林