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對一道數(shù)學(xué)題，往往可以從不同的角度去分析。首先，可以從不同的知識角度去分析。小學(xué)生有小學(xué)生的知識角度；中學(xué)生有中學(xué)生的知識角度；大學(xué)生有大學(xué)生的知識角度。其次，可以從不同的方法角度去分析?？梢杂兴阈g(shù)方法的角度、代數(shù)方法的角度、幾何方法的角度。最后，可以從不同的觀察角度去分析。對于同一個幾何圖形，觀察的角度不同，往往可以把它分解成不同的構(gòu)成部件。角度不同，解決問題的思路往往也會不同。 一、不同的知識角度 例1 說明0.999…＝1。 角度1 從求兩個數(shù)的平均數(shù)的角度分析。 如果求兩個數(shù)的平均數(shù)，其結(jié)果等于其中的某個數(shù)，則說明這兩個數(shù)是相等的。 （0.999…＋1）÷2＝1.999…÷2＝0.999… 所以，0.999…＝1。 角度2 從把無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的角度分析。 設(shè)x＝0.999…，則 10x＝9＋0.999…＝9＋x。 解得x＝1，即0.999…＝1。 角度3 從級數(shù)的角度分析。 把0.999…看成如下級數(shù)：  因為  所以0.999…＝1。 角度4 從實數(shù)理論的角度分析。 根據(jù)實數(shù)理論，基本序列的極限為實數(shù)。如果兩個基本序列的極限相等，康托稱其為等價類。這樣，一個實數(shù)與一個由基本序列組成的等價類一一對應(yīng)。例如，下面的兩個序列 （1）0.9，0.99，0.999，… （2）1，1，1，… 是等價的兩個基本序列，因此它們定義同一個實數(shù)1。這也就表明：0.9999…＝1。 以上四個角度分別對應(yīng)不同的知識角度。角度1對應(yīng)小學(xué)生的知識角度；角度2對應(yīng)中學(xué)生的知識角度；角度3和角度4對應(yīng)大學(xué)生的知識角度。知識越豐富，就更能夠從多角度思考問題。 例2 求證：方程 (x-a)(x-a-b)=1有兩個實數(shù)根，并且其中一個根大于a，另一個根小于a。 角度1 用求根公式求出方程的兩個根。 將方程化為一般形式：   ∴方程有兩個實數(shù)根。    角度2 用韋達(dá)定理。     角度3 用二次函數(shù)知識。 設(shè) f(x)=(x-a)(x-a-b)，這是一個二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線。 由于f(a)=-1<0，且拋物線開口向上，于是拋物線與x軸必有兩個交點，且這兩個交點位于直線x=a的兩側(cè)。所以，原方程有兩個實數(shù)根，且一個根大于a，一個根小于a。 二、不同的方法角度 例3 “雞兔同籠”問題：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各幾何？ 角度1 算術(shù)方法 如果每只雞都用一只腳站著，而每只兔子都用后腿站著，在這種情況下，總腳數(shù)只出現(xiàn)了一半，即47只腳。在47這個數(shù)里，雞的頭數(shù)只數(shù)了一次，而兔子的頭數(shù)卻數(shù)了兩次，從47里減去總的頭數(shù)35，得到的就是兔子的頭數(shù)：47－35＝12，即有12只兔子。那么雞就是35－12＝23只。 角度2 代數(shù)方法 設(shè)雞x只，兔子y只。據(jù)題意得 解得x＝23，y＝12。 如果用a表示頭的總數(shù)，用b表示腳的總數(shù)，則可得 這就解釋了上述的算術(shù)解法。 例4 如圖1，線段AB的長為4，C為AB上一動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，那么DE長的最小值是 （ ）。 圖1 角度1 代數(shù)方法 轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題： 設(shè)AC=x，則 可得當(dāng)x=2時，DE的最小值為2。 角度2 幾何方法 轉(zhuǎn)化為點到直線的垂線段最短：如圖2，分別過點D、E作AB的垂線，垂足分別為點M、N，則DE≥MN=2。 圖2 例5 從幾何角度思考： 對于（1）：如圖3所示，如果把等式右邊結(jié)果中的n(n＋1)看著長和寬分別為n、n＋1的矩形的面積，則易證。 圖3 圖4 對于（3）：如圖5所示，把等式右邊的 中的 看成長和寬分別為 的矩形的面積，從而可得 圖5 從代數(shù)角度思考： （1）和（2）略。 對于（3）：將所求的和記為S，根據(jù)立方差公式可得： 從而可得： 將上述n個式子相加得： 從而可得 三、不同的觀察角度 對于例2，如果把x－a看著一個整體，會使解答過程更簡單： 如果設(shè) y=x-a，則原方程化為 即 因此，不同的觀察角度，會影響解題的難易程度。 例6 證明：三角形任意兩邊之和大于第三邊。 如圖6，已知△ABC，求證：AB＋BC＞AC。 圖6 觀察角度1 把AB、BC、AC分別看成△ABC的三邊。如圖7，延長AB至D，使BD＝BC。在△ADC中，根據(jù)大角對大邊，可得AD＞AC，從而可得AB＋BC＞AC。 圖7 觀察角度2 把AB＋BC看著A、C兩點之間的折線，根據(jù)“兩點之間線段最短”可得AB＋BC＞AC。 例7 證明：等邊對等角。 已知：如圖8，在△ABC中，AB=AC。 求證：∠B=∠C。 圖8 觀察角度1 由等腰三角形的軸對稱性得到啟發(fā)，通過作輔助線予以證明。 如圖9所示是華東師大版初中數(shù)學(xué)教材給出的證明方法。 觀察角度2 把∠B、∠C分別看成△ABC、△ACB的內(nèi)角，通過證明△ABC≌△ACB，得出∠B=∠C。 其證明過程如下： 如圖8，在△ABC和△ACB中， ∴△ABC≌△ACB（S.A.S）。 ∴∠B=∠C。 不同的知識角度依賴于知識水平；不同的方法角度依賴于解題經(jīng)驗；不同的觀察角度依賴于觀察力。較強的解題能力取決于寬廣的知識、豐富的解題經(jīng)驗和敏銳的觀察力。 來源： 華東師大出版社基教分社，若有侵權(quán)，請聯(lián)系刪掉。 |
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