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數(shù)姐有話 對(duì)于初二的同學(xué)來說，三角形與全等三角形，才是同學(xué)們正式接觸幾何，而在這塊內(nèi)容中，輔助線又是必不可少的，所以，希望同學(xué)們好好學(xué)習(xí)這塊內(nèi)容，對(duì)于以后學(xué)習(xí)更難的幾何知識(shí)打下基礎(chǔ)！ 例：已知D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC 證明： （一）：延長(zhǎng)BD交AC于E， ∵∠BDC是△EDC 的外角， ∴∠BDC＞∠DEC 同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC 證法（二）：連結(jié)AD，并延長(zhǎng)交BC于F ∵∠BDF是△ABD的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC 例：已知，如圖，AD為△ABC的中線且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求證：BE＋CF＞EF 證明： 在DA上截取DN = DB，連結(jié)NE、NF， 則DN= DC 在△BDE和△NDE中， DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE≌△NDE ∴BE = NE 同理可證：CF = NF 在△EFN中，EN＋FN＞EF ∴BE＋CF＞EF 例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求證：BE＋CF＞EF 證明： 延長(zhǎng)ED到M，使DM = DE，連結(jié)CM、FM △BDE和△CDM中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180° ∴∠3 ＋∠2 = 90° 即∠EDF = 90° ∴∠FDM = ∠EDF = 90° △EDF和△MDF中 ED = MD ∠FDM = ∠EDF DF = DF ∴△EDF≌△MDF ∴EF = MF ∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF BE＋CF＞EF （此題也可加倍FD，證法同上） 例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD 證明： 延長(zhǎng)AD至E，使DE = AD，連結(jié)BE ∵AD為△ABC的中線 ∴BD = CD 在△ACD和△EBD中 BD = CD ∠1 = ∠2 AD = ED ∴△ACD≌△EBD ∵△ABE中有AB＋BE＞AE ∴AB＋AC＞2AD 截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段； 補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等. 這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法. 當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法： ①a＞b ②a±b = c ③a±b = c±d 例：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P為AD上任一點(diǎn)， 求證：AB－AC＞PB－PC 證明： ⑴截長(zhǎng)法：在AB上截取AN = AC，連結(jié)PN 在△APN和△APC中， AN = AC ∠1 = ∠2 AP = AP ∴△APN≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN中有PB－PC＜BN ∴PB－PC＜AB－AC ⑵補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AC至M，使AM = AB，連結(jié)PM 在△ABP和△AMP中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP ∴△ABP≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC ∴AB－AC＞PB－PC 練習(xí)： 1.已知，在△ABC中，∠B = 60°,AD、CE是△ABC的角平分線,并且它們交于點(diǎn)O 求證：AC = AE＋CD 2.已知，如圖，AB∥CD，∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求證：BC = AB＋CD ①觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。 ②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等. ③如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形. 例:如圖，已知，BE、CD相交于F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求證：DF = EF 證明：∵∠ADF =∠B＋∠3 ∠AEF = ∠C＋∠4 又∵∠3 = ∠4 ∠B = ∠C ∴∠ADF = ∠AEF 在△ADF和△AEF中 ∠ADF = ∠AEF ∠1 = ∠2 AF = AF ∴△ADF≌△AEF ∴DF = EF 例：已知，如圖Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，過A作任一條直線AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求證：DE = BD－CE 證明：
∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90° ∴∠2 = ∠3 ∵BD⊥AN CE⊥AN ∴∠BDA =∠AEC = 90° 在△ABD和△CAE中， ∠BDA =∠AEC ∠2 = ∠3 AB = AC ∴△ABD≌△CAE ∴BD = AE且AD = CE ∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE 例：AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E 求證：BE = CF 證明：（略）
例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B 求證：AD = BC
證明：分別延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)E ∵AD⊥AC BC⊥BD ∴∠CAE = ∠DBE = 90° 在△DBE和△CAE中 ∠DBE =∠CAE BD = AC ∠E =∠E ∴△DBE≌△CAE ∴ED = EC，EB = EA ∴ED－EA = EC－ EB ∴AD = BC 例：已知，如圖，AB∥CD，AD∥BC 求證：AB = CD 證明：
∵AB∥CD，AD∥BC ∴∠1 = ∠2 在△ABC和△CDA中， ∠1 = ∠2 AC = CA ∠3 = ∠4 ∴△ABC≌△CDA ∴AB = CD 練習(xí)： 已知，如圖，AB = DC，AD = BC，DE = BF， 求證：BE = DF
例：已知，如圖，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于E 求證：BD = 2CE
證明： 分別 延長(zhǎng)BA、CE交于F ∵BE⊥CF ∴∠BEF =∠BEC = 90° 在△BEF和△BEC中 ∠1 = ∠2 BE = BE ∠BEF =∠BEC ∴△BEF≌△BEC ∴CE = FE =1/2CF ∵∠BAC = 90° , BE⊥CF ∴∠BAC = ∠CAF = 90° ∠1＋∠BDA = 90° ∠1＋∠BFC = 90° ∠BDA = ∠BFC 在△ABD和△ACF中 ∠BAC = ∠CAF ∠BDA = ∠BFC AB = AC ∴△ABD≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE 練習(xí)： 已知，如圖，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D， 求證：AB－AC = 2CD
例：已知，如圖，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD， 求證：∠A = ∠D 證明：（連結(jié)BC，過程略）
例：已知，如圖，AB = DC，∠A = ∠D 求證：∠ABC = ∠DCB 證明：分別取AD、BC中點(diǎn)N、M， 連結(jié)NB、NM、NC（過程略）
例：已知，如圖，∠1 = ∠2 ，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD， 求證：∠BAP＋∠BCP = 180°
證明：過P作PE⊥BA于E ∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 ∴PE = PD 在Rt△BPE和Rt△BPD中 BP = BP PE = PD ∴Rt△BPE≌Rt△BPD ∴BE = BD ∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE ∴AE = CD ∵PE⊥BE，PD⊥BC ∠PEB =∠PDC = 90° 在△PEA和△PDC中 PE = PD ∠PEB =∠PDC AE =CD ∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB = ∠EAP ∵∠BAP＋∠EAP = 180° ∴∠BAP＋∠BCP = 180° 練習(xí)： 1.已知，如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求證：BP為∠MBN的平分線
2. 已知，如圖，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20°，CE是∠ACB的平分線，D是AC上一點(diǎn)，若∠CBD = 20°，求∠CED的度數(shù)。
⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線 例：已知，如圖，AB = AC，BD⊥AC于D， 求證：∠BAC = 2∠DBC
證明： （方法一）作∠BAC的平分線AE，交BC于E，則∠1 = ∠2 = 1/2∠BAC 又∵AB = AC ∴AE⊥BC ∴∠2＋∠ACB = 90° ∵BD⊥AC ∴∠DBC＋∠ACB = 90° ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC （方法二）過A作AE⊥BC于E（過程略） （方法三）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE（過程略） ⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線 例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 求證：DE = DF
證明：連結(jié)AD. ∵D為BC中點(diǎn)， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF ⑶將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題 例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，在BA延長(zhǎng)線和AC上各取一點(diǎn)E、F，使AE = AF，求證：EF⊥BC 證明：延長(zhǎng)BE到N，使AN = AB,連結(jié)CN,則AB = AN = AC ∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180° ∴2∠BCA＋2∠ACN = 180° ∴∠BCA＋∠ACN = 90° 即∠BCN = 90° ∴NC⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE 又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC ⑷常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線 例：已知，如圖，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長(zhǎng)線上，且BD = CE，連結(jié)DE交BC于F 求證：DF = EF 證明：（證法一）
過D作DN∥AE，交BC于N，則∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E， ∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF和△ECF中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF （證法二）
⑸常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線 例：已知，如圖，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延長(zhǎng)線上，且AD = AE，連結(jié)DE 求證：DE⊥BC
證明：（證法一）過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F，則 ∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE 又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴DE⊥BC （證法二）過點(diǎn)D作DN∥BC交CA的延長(zhǎng)線于N，（過程略） （證法三）過點(diǎn)A作AM∥BC交DE于M，（過程略） ⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形------等邊三角形 例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P為形內(nèi)一點(diǎn)，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度數(shù). 解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE 則∠BAE =∠ABE = 60o AE = AB = BE ∵AB = AC ∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE ∵∠EAC =∠BAC－∠BAE = 80°－60° = 20° ∴∠ACE = 1/2(180°－∠EAC)= 80° ∵∠ACB= 1/2(180°－∠BAC)= 50° ∴∠BCE =∠ACE－∠ACB = 80°－50° = 30° ∵∠PCB = 30° ∴∠PCB = ∠BCE ∵∠ABC =∠ACB = 50°, ∠ABE = 60° ∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60°－50° =10° ∵∠PBC = 10° ∴∠PBC = ∠EBC 在△PBC和△EBC中 ∠PBC = ∠EBC BC = BC ∠PCB = ∠BCE ∴△PBC≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10° = 40° ∴∠PAB = 1/2(180°－∠ABP)= 70° 解法二： 以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。 解法三：
以BC為一邊作等邊三角形△BCE，連結(jié)AE,則 EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o ∵EB = EC ∴E在BC的中垂線上 同理A在BC的中垂線上 ∴EA所在的直線是BC的中垂線 ∴EA⊥BC ∠AEB = 1/2∠BEC = 30° =∠PCB 由解法一知：∠ABC = 50° ∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10°=∠PBC ∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE≌△PBC ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10°= 40° ∴∠PAB = 1/2(180o－∠ABP) = 1/2(180°－40°)= 70° ⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角 例： 已知，如圖，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C， 求證：AB＋BD = AC
證明：延長(zhǎng)AB到E，使BE = BD，連結(jié)DE 則∠BED = ∠BDE ∵∠ABD =∠E＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC = 2∠C ∴∠E = ∠C 在△AED和△ACD中 ∠E = ∠C ∠1 = ∠2 AD = AD ∴△AED≌△ACD ∴AC = AE ∵AE = AB＋BE ∴AC = AB＋BE 即AB＋BD = AC ⑵平分二倍角 例：已知，如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC 求證：∠ABC = ∠ACB
證明：作∠BAC的平分線AE交BC于E，則∠BAE = ∠CAE = ∠DBC ∵BD⊥AC ∴∠CBD ＋∠C = 90o ∴∠CAE＋∠C= 90o ∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o ∴AE⊥BC ∴∠ABC＋∠BAE = 90o ∵∠CAE＋∠C= 90o ∠BAE = ∠CAE ∴∠ABC = ∠ACB ⑶加倍小角
例：已知，如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC 求證：∠ABC = ∠ACB 證明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（過程略） 例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E 求證：BF =1/2FC 證明：連結(jié)AF，則AF = BF ∴∠B =∠FAB ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∵∠BAC = 120o ∴∠B =∠C∠BAC =1/2(180°－∠BAC) = 30° ∴∠FAB = 30° ∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120°－30° =90° 又∵∠C = 30° ∴AF = 1/2FC ∴BF =1/2FC 練習(xí)： 已知，如圖，在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延長(zhǎng)線于N 求證：BM = CN
例：已知，如圖，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D 求證：CD = AB＋BD 證明：
（一）在CD上截取DE = DB，連結(jié)AE，則AB = AE ∴∠B =∠AEB ∵∠B = 2∠C ∴∠AEB = 2∠C 又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC ∴∠C =∠EAC ∴AE = CE 又∵CD = DE＋CE ∴CD = BD＋AB （二）延長(zhǎng)CB到F，使DF = DC，連結(jié)AF則AF =AC（過程略）
例：已知，如圖，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD 求證：△ABC為直角三角形
證明：過D作DE⊥BC，交AC于E，連結(jié)BE，則BE = CE， ∴∠C =∠EBC ∵∠ABC = 2∠C ∴∠ABE =∠EBC ∵BC = 2AB，BD = CD ∴BD = AB 在△ABE和△DBE中 AB = BD ∠ABE =∠EBC BE = BE ∴△ABE≌△DBE ∴∠BAE = ∠BDE ∵∠BDE = 90° ∴∠BAE = 90° 即△ABC為直角三角形 例：已知，如圖，在△ABC中，∠A = 90°，DE為BC的垂直平分線 求證：BE2－AE2 = AC2
證明：連結(jié)CE，則BE = CE ∵∠A = 90° ∴AE2＋AC2 = EC2 ∴AE2＋AC2= BE2 ∴BE2－AE2 = AC2 練習(xí)： 已知，如圖，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，P為BC上一點(diǎn) 求證：PB2＋PC2= 2PA2
例：已知，如圖，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 30°，AB =根號(hào)2，求AC的長(zhǎng).
解：過A作AD⊥BC于D ∴∠B＋∠BAD = 90°， ∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45°， ∴AD = BD ∵AB2 = AD2＋BD2，AB =根號(hào)2 ∴AD = 1 ∵∠C = 30°，AD⊥BC ∴AC = 2AD = 2 |
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