電動力學(xué)應(yīng)該是四大力學(xué)里脈絡(luò)最清晰的一門，因為所有的經(jīng)典電磁現(xiàn)象無非就是麥克斯韋方程的解，在不同的情況我們使用麥克斯韋方程不同的寫法，這里寫四種。方程的物理意義普物電磁學(xué)已經(jīng)談過，這里不再討論。

（一) 積分形式麥克斯韋方程

積分形式的麥克斯韋方程為：

眾所周知，積分某種程度上就是一種求和或者取平均的操作（積分中值定理），積分形式麥克斯韋方程就是用在這種需要平均的地方，也就是當(dāng)電荷分布或者自由電流分布在界面上出現(xiàn)不連續(xù)的情況時。什么時候界面會出現(xiàn)電流電荷分布的不連續(xù)？也就是不同介質(zhì)的交界面上。

在一個界面上如果存在不連續(xù)的電荷分布，首先造成電場法向分量不連續(xù)：

取一個薄高斯面包圍界面一點，根據(jù)第一個麥克斯韋方程，得到不連續(xù)的值為：

再做一個環(huán)路包圍界面一點，穿過兩種介質(zhì)，可以得到電場切向分量是連續(xù)的。

對磁場如法炮制，得到法向分量是連續(xù)的（第三式），切向分量是不連續(xù)的（第四式）：

統(tǒng)一以下，寫成矢量形式就是：

（二) 微分形式麥克斯韋方程

根據(jù)高斯定理和斯托克斯定理，我們可以立刻把積分形式麥克斯韋方程寫成微分形式：

微分形式麥克斯韋方程+積分形式得到的邊界條件，可以解決大多數(shù)問題了，當(dāng)電磁場不含時的時候，我們要解決的就是靜電靜磁問題：

2.1 靜電場

注意到靜電場旋度是0，因此它是保守場，因為標(biāo)量梯度的旋度總是0，所以存在標(biāo)勢Φ，滿足：

解決靜電學(xué)的方法有很多種，但無非都是疊加原理思想的運(yùn)用。

第一種是直接用庫倫定律+疊加原理。庫侖定律告訴我們，一個點電荷激發(fā)的電勢為:

對于一個給定了電荷分布的系統(tǒng)，使用疊加原理

第二種是解泊松方程，在線性，各項同性的，均勻的介質(zhì)中，電位移矢量D和場強(qiáng)E只差一個介電常數(shù)ε：

把標(biāo)勢代入電場散度中，得到泊松方程：

在沒有電荷分布的地方，標(biāo)勢也就滿足拉普拉斯方程：

求解的方法很多，參見數(shù)學(xué)物理方法。疊加原理得到的Φ就是泊松方程的一個特解。

第三種是對特解進(jìn)行多級展開，因為特解的積分不好求，因此把它展開成泰勒級數(shù)，因為各階的系數(shù)（電多級矩）是好求的，只要我們展開夠多，得到的結(jié)果就更精確：

2.2 靜磁場

磁場旋度一般不是0，因此不是保守場，但它的散度是0，因為矢量旋度的散度總是0，因此我們可以定義失勢：

于是多了一個靜電場不存在的麻煩：我們完全確定一個場，需要知道它的旋度，散度和邊界條件，靜磁場中引入了新的場A，并且知道了A的旋度，但我們不知道它的散度，也就是說引入矢勢后增加了一個方程，如果需要唯一解，我們需要為A添加新的約束條件，不同約束條件就是所謂不同的規(guī)范。靜磁場中我們選取庫倫規(guī)范為約束條件：

在非鐵磁性介質(zhì)中，H和B也是線性關(guān)系：

對磁場兩邊取旋度，得到：

在庫倫規(guī)范下，失勢A滿足泊松方程，于是回到了靜電學(xué)求解的套路，我們可以對A再來一遍。

（三) 洛倫茲規(guī)范下的麥克斯韋方程

對于微分形式麥克斯韋方程（真空為例）：

因為B散度總是0，因此失勢在非靜磁情況同樣可以接著用：

但電場已經(jīng)不保守了，接下來要重新構(gòu)造標(biāo)勢（找旋度為0的場）

把矢勢代入方程第二式

注意到一對勢A和Φ對應(yīng)了B和E，但這對勢不是唯一的，經(jīng)過規(guī)范變換，我們可以找到另外的對應(yīng)相同B和E的勢：

現(xiàn)在把勢代回麥克斯韋方程，得到：

整理一下：

現(xiàn)在我們?nèi)÷鍌惼澮?guī)范：

就得到了達(dá)朗貝爾方程：

同樣的，使用洛倫茲規(guī)范可以得到標(biāo)勢也滿足達(dá)朗貝爾方程：

所以電磁場以波的形式傳播，波動方程的解是推遲勢（比靜電勢推遲了一點時間）：

也就是說，電磁相互作用是有傳播速度的，即光速：

特別的，在自由空間里，特解就是平面波：

把平面波的解代入界面邊界條件，即可得到反射定律，折射定律，由能量守恒就能得到菲涅爾公式。

考慮電磁波輻射的時候，輻射源的勢進(jìn)行多級展開，就可以得到電偶極，電四極，磁偶極等貢獻(xiàn)的輻射，其中電偶極輻射占主要，磁偶極和電四極的貢獻(xiàn)在同一個數(shù)量級，比電偶極小幾個數(shù)量級。

（四）張量形式的麥克斯韋方程

以下的我們會用張量的記號處理問題，詳情參見 張量分析初步。

狹義相對論中，不同慣性系之間的坐標(biāo)變換稱為洛倫茲變換，洛倫茲變換有兩個基本假設(shè)：

1.光速不變

2.所有慣性系中，物理規(guī)律有相同的表達(dá)形式

洛倫茲變換中，時空被耦合在一起，因此相對論的時空是四維的，第四維度是時間，為了對其量綱，我們讓時間乘一個光速。定義協(xié)變矢量：

逆變矢量：

根據(jù)光速不變，我們能得到第一個洛倫茲不變量：時空間隔（注意求和約定）

郭碩鴻版教材把協(xié)變矢量和逆變矢量統(tǒng)一了，第四維度用乘了個i，這樣數(shù)學(xué)形式不好看，所以這里使用張量統(tǒng)一的形式。

根據(jù)假設(shè)2，我們可以得到洛倫茲變換是線性變換，根據(jù)假設(shè)一推出的時空間隔不變，我們得到線性變換的矩陣：

其中：

四維線性變換的形式為：

容易得到動尺收縮（同時不通地）和時間膨脹（同地不通時）效應(yīng)：

在狹義相對論中，電動力學(xué)是具有洛倫茲不變性的，在洛倫茲規(guī)范下，標(biāo)勢和失勢滿足達(dá)朗貝爾方程：

事實上，達(dá)朗貝爾算符就是四維下的laplacian:

如果把勢和電流密度寫成四維形式：

就可以把兩個方程和為一個：

并且洛倫茲規(guī)范也可以寫成簡潔的形式：

再進(jìn)一步，我們湊出電磁場的拉格朗日量密度，把它寫成最小作用量原理的形式（拉格朗日方程），只需構(gòu)造四維張量：

拉格朗日量是標(biāo)量，所以我們要把張量變成標(biāo)量形式，最簡單的操作莫過于：

電磁場的拉格朗日量密度就出來了：

代入拉格朗日方程，我們得到麥克斯韋方程的第一個和第四個(其實是麥克斯韋方程湊拉格朗日):

第二個和第三個則滿足:

當(dāng)然，注意這個張量的上標(biāo)，它是協(xié)變的：

這也是電磁場的變換關(guān)系。