從閱卷過(guò)程中看學(xué)生不同思路的形成原因

九年級(jí)四月調(diào)研考試，基本可以看作是一次中考的模擬考試，無(wú)論是命題的形式，考試組織，基本接近中考，而此時(shí)的中考復(fù)習(xí)，第一階段也快完成，因此，這是一次極好的檢驗(yàn)階段性復(fù)習(xí)成果的考試。本次數(shù)學(xué)考試第23題，一道看似很簡(jiǎn)單的幾何綜合題，在閱卷過(guò)程中，其得分率并不如預(yù)期?？梢圆孪耄簧賹W(xué)生在考完對(duì)答案時(shí)，只怕還不知道自己的解法有誤，還沾沾自喜，而一旦老師進(jìn)行了講解，便會(huì)后悔莫及。類似的坑以往有嗎？有，為何還會(huì)一踩再踩？這便是本文嘗試研討的問(wèn)題。

題目

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，E是邊AD的中點(diǎn)，一個(gè)含有45°的三角板EFG的直角頂點(diǎn)與E點(diǎn)重合，并繞著E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，EF交BC于點(diǎn)I，EG交DC于點(diǎn)H。

(1)如圖1，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上

①若DH=2，求BF的長(zhǎng)；

②連接CG，求證：∠HCG=90°；

(2)如圖2，F(xiàn)G經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，若CG=2，求EF的長(zhǎng).

解析：

(1)

①A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，于是圖中出現(xiàn)了“一線三直角”的經(jīng)典模型，如下圖：

可證△AEF∽△DEH，不妨設(shè)BF=x，于是AF:DE=AE:DH，其中AE=DE=3，可得2(x+3)=9，解得x=1.5；

②需要提防的坑有兩個(gè)，第一個(gè)坑就是前一小題的結(jié)論，不能再使用，第二個(gè)坑就是圖中的CG是連接起來(lái)的，而不是BC延長(zhǎng)線，即B，C，G三點(diǎn)不一定共線。避坑的方式顯然是在思考過(guò)程中不使用相關(guān)的條件。

方法一：

如果對(duì)“一線三直角”模型情有獨(dú)鐘，我們依然可以構(gòu)造與前一問(wèn)類似的全等，過(guò)點(diǎn)I作AD的垂線IM，如下圖：

顯然我們能找到△MEI≌△DHE，理由是IM=ED=3，∠IME=∠D=90°，∠MEI=∠DHE，這些都是比較容易能找到的條件，隨后的思路是證明△FBI≌△GCH，畢竟前者中含有90°角，如果全等成立，那么后者中的∠HCG便是直角了。

由△MEI≌△DHE，可得IE=EH，而EF=EG，相減之后可證明IF=HG；而四邊形ABIM是矩形這一結(jié)論也容易得到，因此BI=AM，而AM=AE-EM，CH=CD-DH，因此AM=CH=BI，而∠BIF=∠MEI=∠DHE=∠CHG，至此全等的三個(gè)條件全部找齊，于是∠HCG=∠IBF=90°；

方法二：

“一線三直角”不僅可在矩形內(nèi)部構(gòu)造，在外部同樣可以，延長(zhǎng)AD，并過(guò)點(diǎn)G作AD的垂線GN，如下圖：

顯然我們又能找到△AEF≌△NGE，于是NG=AE=3，請(qǐng)注意此時(shí)的四邊形CDNG，CD⊥AD且NG⊥AD，即CD∥NG，且它們又相等，于是它是平等四邊形，再加上有一個(gè)直角，于是得到矩形CDNG，自然∠HCG=90°，此法相對(duì)方法一更為簡(jiǎn)便；

方法三：

偏好旋轉(zhuǎn)變換的同學(xué)，自然也有更獨(dú)特的解法，既然題目中三角板是繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)的，于是肯定能找到兩個(gè)以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心的全等三角形，別說(shuō)，還真能找到，連接BE，CE，如下圖：

顯然我們依然能找到△EBF≌△ECG，因?yàn)镋B=EC，∠BEF=∠CEG，EF=EG，于是可證明∠EBF=∠ECG，∠EBF=∠EBC+∠FBC，正好是一個(gè)45°角和一個(gè)90°角，而在∠ECG中，∠ECG=∠ECD+∠HCG，也包含一個(gè)45°角，于是剩下的∠HCG=90°；

方法四：

擅長(zhǎng)相似的同學(xué)，或者懶得作輔助線的同學(xué)，也有其獨(dú)特的解法，既然在第一問(wèn)中用到了相似，那就接著用吧！但是DH=2不能使用，那就設(shè)其為x好了，如下圖：

(2)

方法A：

和上一問(wèn)的方法一類似，同樣構(gòu)造“一線三直角”模型，得到△IME≌△EDH，和①中的證明基本一致，然后連接BF，證明△IBF≌△HCG，如下圖：

于是在△CBF中，我們可以得到∠BFI=∠G=45°，而∠EFG=45°，正好湊成直角即∠BFC，由勾股定理可求得FC=4√2，則FG=4√2+2，根據(jù)等腰直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系，可得結(jié)果EF=4+√2；

方法B：

而對(duì)前面旋轉(zhuǎn)變換使用得心應(yīng)手的同學(xué)，依然可以構(gòu)造這樣的一對(duì)全等三角形，如下圖：

和方法A類似，△BEF≌△CEG之后，BF=CG=2，∠BFE=∠G=45°，同樣在Rt△BCF中用勾股定理求FC，最后再求EF；

方法C：

題目中的等腰直角△EFG中，∠G=45°，CG=2，于是再構(gòu)造出一個(gè)等腰直角△EMC，作EM⊥FG于點(diǎn)M，連接CE，如下圖：

設(shè)CM=x，于是GM=2+x，則EM=2+x，在Rt△EMC中，由勾股定理列方程可得(3√2)2=(2+x)2+x2，解得x=2√2-1，于是GM=2√2+1，EF=4+√2；

方法D：

既然可以利用∠G來(lái)構(gòu)造等腰直角三角形，那么最直接的方法莫過(guò)于過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EG，再連接CE，如下圖：

在圖中最小的等腰直角△CNG中，可求得CN=NG=√2，而在Rt△ECN中，可求出EN=4，于是EG=EF=4+√2；

部分學(xué)生答題圖片如下：

這些答題過(guò)程并非全對(duì)，有些錯(cuò)誤正是踩坑結(jié)果，但基本上所描述方法都能找到，學(xué)生錯(cuò)誤的原因較多，無(wú)法一一列舉，但看圖審題絕對(duì)是丟分最多的因素。

閱卷反思

以上種種解法，均出自學(xué)生答題過(guò)程，甚至還有在第1小題第②問(wèn)中，為了繞開B，C，G三點(diǎn)共線，而又作了一個(gè)點(diǎn)G'，然后證明它與G點(diǎn)重合的學(xué)生。說(shuō)明在答題過(guò)程中，確實(shí)有學(xué)生注意到了這個(gè)坑，但是更多學(xué)生卻置之不理，想當(dāng)然地以為它們共線，于是各種默認(rèn)共線的條件便那么被使用了。

在幾何綜合題中，這種坑其實(shí)考查的就是學(xué)生審題能力，特別是圖形理解能力，看上去像就認(rèn)為是條件的學(xué)生，無(wú)疑在平時(shí)學(xué)習(xí)中經(jīng)常這么說(shuō)，不經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的思維證明就充當(dāng)條件或結(jié)論，態(tài)度上也有明顯問(wèn)題，應(yīng)付作業(yè)的習(xí)慣使然，可見形式主義已經(jīng)嚴(yán)重影響到了學(xué)生這個(gè)未成年人群體。

從學(xué)生使用的各種方法來(lái)看，無(wú)論我們的教學(xué)側(cè)重哪一類，學(xué)生都會(huì)有自己獨(dú)特的思考方式，偏愛全等，相似，代數(shù)計(jì)算，特殊直角三角形的學(xué)生都能找到相應(yīng)的思路，可謂條條大路通羅馬。但在課堂上，一個(gè)老師是無(wú)論如何也不可能將這么多方法全部都涉及到，時(shí)間有限，但在多節(jié)習(xí)題課中，分別展示不同的思維方向引導(dǎo)學(xué)生是可行的。隨之而來(lái)的問(wèn)題就是，老師研究多種解法，并在不同場(chǎng)合引導(dǎo)學(xué)生思維，下課后學(xué)生必須將這些方法進(jìn)行消化整理，方能為已所用。

這道題的原型依然是教材，旋轉(zhuǎn)變換中有它，矩形中有它，等腰三角形中也有它，而“一線三直角”更是經(jīng)典模型。事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)C經(jīng)過(guò)FG時(shí)，三角板的大小已經(jīng)確定，于是圖中可求線段遠(yuǎn)不止EF，其實(shí)DH，CH也可求，若將最后一問(wèn)改為求DH：CH的值，難度就上升不少了，私下計(jì)算了一番，貌似數(shù)字不好算，還需要對(duì)條件進(jìn)行修改，由于本人較懶，就沒(méi)下文了。