【方法歸納】

等腰直角三角形“三線合一”．

如圖等腰直角△ABC，D為斜邊（底邊）BC的中點(diǎn)，連接AD．AD是中線、角平分線，也是高線．

結(jié)論：①∠BDA＝∠CDA＝90°；

②BD＝AD＝CD＝1/2BC；③∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°．

【典型例題】

1．（11黑河）在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖（1），易證EG＝CG且EG⊥CG．

圖（1）

圖（2）

圖（3）

（1）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．

（2）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．

【解題過(guò)程】

解：（1）EG＝CG，EG⊥CG．

（2）EG＝CG，EG⊥CG．理由如下：

延長(zhǎng)FE交DC延長(zhǎng)線于M，連MG．∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，

∴四邊形BEMC是矩形．∴BE＝CM，∠EMC＝90°，由圖（3）可知，

∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠EBF＝45°，又∵EF⊥AB，∴△BEF為等腰直角三角形，

∴BE＝EF，∠F＝45°．∴EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝1/2FD＝FG．

∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD．∵EF＝CM，∴FM＝DM，

又∵FG＝DG，∠CMG＝1/2∠EMC＝45°，∴∠F＝∠GMC．

∵在△GFE與△GMC中，FG＝MG,∠F＝∠GMC,EF＝CM，∴△GFE≌△GMC（SAS）．

∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC．∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD，

∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°，∴EG⊥CG．