角平分線的解析化處理——2019年連云港中考數(shù)學第26題

幾何條件的解析處理，是在函數(shù)壓軸題中數(shù)形結(jié)合的方向之一，在題目條件中出現(xiàn)角平分線，通常能聯(lián)想起來的有兩個角相等、角平分線上的點到角兩邊的距離相等，而兩個角相等，進一步可聯(lián)想到構(gòu)造全等或相似三角形，到角兩邊距離相等，也可聯(lián)想到構(gòu)造全等三角形，以上這些屬于常規(guī)常法，在此基礎(chǔ)上做拓展，則可聯(lián)系到一次函數(shù)解析式、兩函數(shù)交點坐標等解析問題，而找到正確解題思路的關(guān)鍵，則是對角平分線的解析化處理。

題目

解析：

(1)給出點A橫坐標，且點A在拋物線L2上，可求得它的坐標為(2,-3)，拋物線L1經(jīng)過點C(0,-3)，則解析式中參數(shù)c=-3，再將點A坐標代入，可求剩下一個參數(shù)b=-2，于是拋物線L1解析式為y=x2-2x-3；

(2)典型的平行四邊形存在性探索，基本思路是四個點中，A、C已知，以線段AC為基礎(chǔ)，分兩種情況，一是以AC為邊，二是以AC為對角線。剩下兩個動點P和Q，采取設(shè)其中一個，表示另一個的方法，設(shè)P(m,m2-2m-3)。

第一種情況：以AC為邊

接下來表示點Q坐標時，面臨一個新的問題，點Q在點P的左側(cè)還是右側(cè)？又需要分類討論：

①點Q在點P右側(cè)，由平行四邊形性質(zhì)PQ∥AC，則點Q縱坐標與點P相同，于是Q(m+2,m2-2m-3)，代入L2中，得m2-2m-3=-1/2(m+2)2-3/2(m+2)+2，解得m1=0(舍)，m2=-1，因此點P坐標為(-1，0)；

②點Q在點P左側(cè)，因此Q(m-2,m2-2m-3)，代入L2中，得m2-2m-3=-1/2(m-2)2-3/2(m-2)+2，解得m1=-4/3，m2=3，因此點P坐標為(-4/3,13/9）或(3,0)；

第二種情況：以AC為對角線

由平行四邊形對角線互相平分，先求得AC中點坐標為(1,-3)，根據(jù)中點公式，表示出Q(2-m,-m2+2m-3)，代入L2中，得-m2+2m-3=-1/2(2-m)2-3/2(2-m)+2，解得m1=0(舍)，m2=-3，因此點P坐標為(-3,12)；

綜上所述，點P坐標有四個，分別為(-1,0)，(-4/3,13/9)，(3,0)，(3,12)；

(3)AC平分∠PCR，進行軸對稱處理，即作點P關(guān)于AC的對稱點P'，然后求出CP'的解析式，它與拋物線L1的交點為R，表示出R坐標之后，再求PR的解析式，隱隱感覺到直線PR的斜率應該是一個定值，否則無從去求點Q坐標，因為從題目所求結(jié)論來看，既然要求Q坐標，則直線OQ應該相對固定。基于以上猜測，先寫出P'坐標為(m,-m2+2m-3)，然后求出CP'解析式為y=(2-m)x-3，與拋物線L1聯(lián)立得方程(2-m)x-3=x2-2x-3，解得x1=0，x2=4-m，于是點R坐標可求，為(4-m,m2-6m+5)，再設(shè)PR解析式為y=kx+b，只需要求出k即可，果不其然，k=2，因此直線OQ解析式為y=2x，再聯(lián)立它與拋物線L2便能求出點Q坐標，有兩個，分別為(（-7+√65)/2，-7+√65)和((-7-√65)/2，-7-√65)。

解題反思

在對角平分線進行解析化處理的時候，側(cè)重于代數(shù)解析法，對于學生的計算基本功有較高要求，同時對于參考答案中的幾何法，也有一定啟發(fā)作用，利用角平分線構(gòu)造相似三角形，也是較為簡單的處理方法。但無論解析法或幾何法，歸根到底要還原到函數(shù)解析式中，此時的計算量很難說孰多孰少，只要最終能通向羅馬，那么任何一道路都是可以的。