【例題2】如圖，拋物線 y＝ax2﹣bx + 3 交 x 軸于 B（1，0），C（3，0）兩點(diǎn)，交 y 軸于 A 點(diǎn)，連接 AB，點(diǎn) P 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn) P 到直線 AB 的距離為 7/9 √10 時(shí)，求點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)；

（3）當(dāng) △ACP 和 △AOC 的面積相等時(shí)，請直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)．

【解析】解：

（1）用交點(diǎn)式拋物線表達(dá)式得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x + 3），

即 3a＝3，

解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x + 3 …①，

則點(diǎn) A（0，3）；

（2）過點(diǎn) P 作 PH⊥AB 于點(diǎn) H，過點(diǎn) H 作 HG∥x 軸交過點(diǎn) P 平行于 y 軸的直線于點(diǎn) G，

則 ∠ABO＝∠HPG＝α，

在 △AOB 中，tan∠ABO＝OA/OB＝3＝tanα，

設(shè) PG＝n，則 HG＝3n，PH＝ 7/9 √10 ，

即：n2 + 9n2＝（ 7/9 √10）2，

解得：n＝7/9，

則直線直線 AB 的表達(dá)式為：y＝﹣3x + 3，

設(shè)點(diǎn) H（m，3﹣3m），則點(diǎn) P（m + 7/3，34/9﹣3m），

將點(diǎn) P 坐標(biāo)代入 ① 式并整理得：3m2 + 11m﹣14＝0，

解得：m＝1 或 ﹣14/3，

故點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為：10/3 或﹣7/3；

（3）

① 當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸上方時(shí)，參考（2）作 △P′G′H′（P'H'⊥AC），過點(diǎn) O 作 OM⊥AC 于點(diǎn) M，

∵ △ACP 和 △AOC 的面積相等，

∴ P′H′＝OM，

∵ OA＝OC，

∴ ∠ACO = ∠OAC＝45°，

∴ OM＝3/2 √2，

即：P′H′＝OM＝3/2 √2，

∵ H'G'∥x 軸，

∴ ∠ACO = ∠P'H'G' = 45°，

∴ H'G' = P'G' = 3/2，

可知直線 AC 的表達(dá)式為：y＝﹣x + 3，

設(shè)點(diǎn) H'（m，3﹣m），則點(diǎn) P'（m + 3/2，9/2﹣m），

將點(diǎn) P' 坐標(biāo)代入 ① 式并整理得：m2 ＝21/4，

解得 m = 1/2 √21 或 -1/2 √21，

此時(shí) P' 的坐標(biāo)為（（3+√21）/ 2，（9-√21）/ 2）或（（3-√21）/ 2，（9+√21）/ 2），

② 當(dāng)點(diǎn) P 不在 x 軸上方時(shí)，參考（2）作 △P′G′H′（P'G'⊥AC），過點(diǎn) O 作 OM⊥AC 于點(diǎn) M，

同理可得：點(diǎn) G'（n，3﹣n），則點(diǎn) P'（n - 3 / 2，3/2﹣n ），

將點(diǎn) P' 坐標(biāo)代入 ① 式并整理得：n2 - 8n + 51/4 = 0，

解得 n = （8+√13）/ 2 或（8-√13）/ 2，

此時(shí) P' 的坐標(biāo)為（（5+√13）/ 2，（-5-√13）/ 2）或（（5-√13）/ 2，（-5+√13）/ 2），

綜上點(diǎn) P 的坐標(biāo)為：

（（3+√21）/ 2，（9-√21）/ 2）或（（3-√21）/ 2，（9+√21）/ 2），

（（5+√13）/ 2，（-5-√13）/ 2）或（（5-√13）/ 2，（-5+√13）/ 2）.