如何求解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)？

這是一個多數(shù)人都知道答案的問題。從中學(xué)的數(shù)學(xué)課堂上，我們知道尋找二次方程的根方法無外乎因式分解，或者配方法，再或者跳去求解過程，直接代入求根公式中。

從某種意義上說，以上說的這些方法算不上不同方法，因為求根公式本就是通過配方法而推導(dǎo)得來的。

對求解任意二次方程的探索可追溯到4000多年前的古巴比倫時期。4000多年來，許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知名人物都在這個現(xiàn)在看來十分簡單的問題上留下了自己的記錄。而二次方程的求根公式也成為了代數(shù)領(lǐng)域中的一個眾所周知的標(biāo)準(zhǔn)公式。

最近，在一篇發(fā)表在arXiv的論文中，卡耐基梅隆大學(xué)的數(shù)學(xué)家Po-Shen Loh（羅博深）提出了一種求解二次方程的更簡單的新方法。

羅博深認(rèn)為通過配方法推導(dǎo)出的求根公式的計算有點“亂”，而且對一些初次學(xué)習(xí)代數(shù)的人來說，求根公式其實并不好記。再者，他認(rèn)為傳統(tǒng)的求根公式的推導(dǎo)過程其實頗有難度，因為“配方”這一概念本身就是智慧飛躍的結(jié)果，它并不容易。

在他新提出的方法中，他繞開了傳統(tǒng)的配方過程，介紹了一種更為直觀的求解方法，可以用更少的步驟找到二次方程的根。

那么這個更適用于代數(shù)初學(xué)者的求解過程是怎樣的呢？

現(xiàn)在，讓我們考慮一元二次方程：

求解的第一步與傳統(tǒng)的方法很像，將多項式 x2 + Bx + C 寫作 (x - R)(x - S) ，如果

那么R 和 S就是x2 + Bx + C=0的兩個根。

將(x - R)(x - S) 展開，再合并同類項，得到：

也就是說兩根之和為

兩根之積為

由此得出，R和S的平均數(shù)等于-B/2，所以所要求解的根應(yīng)該以-B/2±z的形式存在，

其中 z 是一個未知量。

前面我們說R和S的乘積等于C，也就是說(-B/2+z)(-B/2-z)=C，將式子展開，就得到了(-B/2)2-z2=C，因此我們可以很容易的得出z 的值為

從而最終得到，R和S等于

作者在論文中舉例了用新的方法求解二次方程：

首先要做的是在等式兩邊都乘以2，將x2的系數(shù)變?yōu)?，得到

根據(jù)上述方法我們知道，這個方程的兩根之和等于2，兩根之積等于4，也就是說1-z2=4，從而得出z=± i√3。

所以方程的兩個根為 

這種方法的優(yōu)點在哪呢？羅博深認(rèn)為，根據(jù)現(xiàn)在的代數(shù)課程設(shè)置，學(xué)生在了解二次方程之前，首先學(xué)會的是多項式相乘，比如他們懂得(a+b)2=a2+2ab+b2，以及 (a+b)(a-b)=a2-b2。因此對于初學(xué)者來說，將兩根之和的平均數(shù)作為參數(shù)，再在其基礎(chǔ)上加減一個未知量，會是一種具有更直觀的數(shù)學(xué)意義的技巧。因為與通過配方而推導(dǎo)出求根公式的過程相比，新的方法的動機(jī)更加直接。

羅博深的方法強(qiáng)化了每個二次方程都具有兩個根的概念，簡化了推導(dǎo)過程。通過引入兩個根的平均值的概念，讓運算的第一步變成搜尋的不是兩個單獨的、不同的值，而是一個相同的值。他認(rèn)為，這種方法可以讓學(xué)生不用去硬記某個公式來求解二次方程，而只要記住一些關(guān)于根的簡單歸納，再最終找到方程的解。這將有助于學(xué)生理解二次方程是如何工作的，或許能幫助他們更好地適應(yīng)數(shù)學(xué)。

參考鏈接：

https:///pdf/1910.06709.pdf