定義

　　在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。
　　一元二次方程有三個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理．如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程．

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一般形式

　　ax^2+bx+c=0（a、b、c是實(shí)數(shù)a≠0)
　　x^2+2x+1=0

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一般解法

　　1..配方法（可解所有一元二次方程）
　　2.公式法（可解所有一元二次方程）
　　3.因式分解法（可解部分一元二次方程）
　　4.開(kāi)方法（可解部分一元二次方程）一元二次方程的解法實(shí)在不行(你買(mǎi)個(gè)卡西歐的fx-500或991的計(jì)算器 有解方程的，不過(guò)要一般形式)
　　一、知識(shí)要點(diǎn)：
　　一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基
　　礎(chǔ)，應(yīng)引起同學(xué)們的重視。
　　一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2
　　的整式方程。
　　解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解
　　法：1、直接開(kāi)平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
　　二、方法、例題精講：
　　1、直接開(kāi)平方法：
　　直接開(kāi)平方法就是用直接開(kāi)平方求解一元二次方程的方法。用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
　　方程，其解為x=m± .
　　例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
　　分析：（1）此方程顯然用直接開(kāi)平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以
　　此方程也可用直接開(kāi)平方法解。
　?。?）解：(3x+1)2=7
　　∴(3x+1)2=7
　　∴3x+1=±√7(注意不要丟解)
　　∴x= ...
　　∴原方程的解為x1=...,x2= ...
　?。?）解： 9x2-24x+16=11
　　∴(3x-4)2=11
　　∴3x-4=±√11
　　∴x= ...
　　∴原方程的解為x1=...,x2= ...
　　2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
　　先將固定數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c
　　將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2+x=-
　　方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
　　方程左邊成為一個(gè)完全平方式：(x+ )2=
　　當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，x+ =±
　　∴x=...(這就是求根公式)
　　例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
　　解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊 3x2-4x=2
　　將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2-x=
　　方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
　　配方：(x-)2=
　　直接開(kāi)平方得：x-=±
　　∴x=
　　∴原方程的解為x1=,x2= .
　　3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
　　當(dāng)b^2-4ac>0時(shí)，求根公式為x1=-b+√(b^2-4ac)/2a,x2==-b-√(b^2-4ac)/2a（兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根）
　　當(dāng)b^2-4ac=0時(shí)，求根公式為x1=x2=-b/2a（兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）
　　當(dāng)b^2-4ac<0時(shí)，求根公式為x1=-b+√(4ac-b^2)i,x2=-b-√(4ac-b^2)i（兩個(gè)共軛的虛數(shù)根）（初中理解為無(wú)實(shí)數(shù)根）
　　例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
　　解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0
　　∴a=2, b=-8, c=5
　　b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
　　∴x= = =
　　∴原方程的解為x1=,x2= .
　　4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓
　　兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)
　　根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
　　例4．用因式分解法解下列方程：
　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
　　(3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學(xué)）
　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡(jiǎn)整理得
　　x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零)
　　(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
　　∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程)
　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
　　(2)解：2x2+3x=0
　　x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
　　∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程)
　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。
　　注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解。
　　(3)解：6x2+5x-50=0
　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號(hào)不要出錯(cuò))
　　∴2x-5=0或3x+10=0
　　∴x1=, x2=- 是原方程的解。
　　(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）
　　(x-2)(x-2 )=0
　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
　　小結(jié)：
　　一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫(xiě)成一般
　　形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。
　　直接開(kāi)平方法是最基本的方法。
　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬(wàn)能法），在使用公式
　　法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算判別式的值，以便判斷方程
　　是否有解。
　　配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
　　解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方
　　法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。
　　例5．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠獭?選學(xué)）
　?。?）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
　?。?） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
　　分析：（1）首先應(yīng)觀察題目有無(wú)特點(diǎn)，不要盲目地先做乘法運(yùn)算。觀察后發(fā)現(xiàn)，方程左邊可用平方差
　　公式分解因式，化成兩個(gè)一次因式的乘積。
　?。?）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
　?。?）化成一般形式后利用公式法解。
　?。?）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
　?。?）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
　　[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
　　(5x-5)(-x+13)=0
　　5x-5=0或-x+13=0
　　∴x1=1,x2=13
　?。?）解： x2+(2- )x+ -3=0
　　[x-(-3)](x-1)=0
　　x-(-3)=0或x-1=0
　　∴x1=-3，x2=1
　?。?）解：x2-2 x=-
　　x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
　　△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
　　∴x=
　　∴x1=,x2=
　?。?）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
　　4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
　　[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
　　2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
　　∴x1= ,x2=
　　例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學(xué)）
　　分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同類項(xiàng)化成一般形式后再做將會(huì)比較繁瑣，仔細(xì)觀察題目，我
　　們發(fā)現(xiàn)如果把x+1和x-4分別看作一個(gè)整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實(shí)際上是運(yùn)用換元的方
　　法）
　　解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
　　即 (5x-5)(2x-3)=0
　　∴5(x-1)(2x-3)=0
　　(x-1)(2x-3)=0
　　∴x-1=0或2x-3=0
　　∴x1=1,x2=是原方程的解。
　　例7．用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0
　　解：x2+px+q=0可變形為
　　x2+px=-q (常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊)
　　x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方)
　　(x+)2= (配方)
　　當(dāng)p2-4q≥0時(shí)，≥0（必須對(duì)p2-4q進(jìn)行分類討論）
　　∴x=- ±=
　　∴x1= ,x2=
　　當(dāng)p2-4q<0時(shí)，<0此時(shí)原方程無(wú)實(shí)根。
　　說(shuō)明：本題是含有字母系數(shù)的方程，題目中對(duì)p, q沒(méi)有附加條件，因此在解題過(guò)程中應(yīng)隨時(shí)注意對(duì)字母
　　取值的要求，必要時(shí)進(jìn)行分類討論。
　　練習(xí)：
　?。ㄒ唬┯眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?
　　1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
　　3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
　　5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
　　（二）解下列關(guān)于x的方程
　　1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
　　練習(xí)參考答案：
　?。ㄒ唬?.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
　　3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
　　6.解：（把2x+3看作一個(gè)整體，將方程左邊分解因式）
　　[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
　　即 (2x+9)(2x+2)=0
　　∴2x+9=0或2x+2=0
　　∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
　?。ǘ?．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0
　　[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
　　∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
　　∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
　　原方程的解。 原方程的解。
　　測(cè)試(有答案在下面)
　　選擇題
　　1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
　　A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
　　2．多項(xiàng)式a2+4a-10的值等于11，則a的值為（ ）。
　　A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
　　3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之和等于零，那么方程必有一個(gè)
　　根是（ ）。
　　A、0 B、1 C、-1 D、±1
　　4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根是零的條件為（ ）。
　　A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
　　C、b=0且c=0 D、c=0
　　5． 方程x2-3x=10的兩個(gè)根是（ ）。
　　A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
　　6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
　　A、 B、 C、 D、無(wú)實(shí)根
　　7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
　　A、x= B、x=-
　　C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
　　8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個(gè)完全平方式后，所得的方程是（ ）。
　　A、(x-)2= B、(x- )2=-
　　C、(x- )2= D、以上答案都不對(duì)
　　9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方后的方程是（ ）。
　　A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
　　答案與解析
　　答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
　　解析：
　　1．分析：移項(xiàng)得：(x-5)2=0，則x1=x2=5,
　　注意：方程兩邊不要輕易除以一個(gè)整式，另外一元二次方程有實(shí)數(shù)根，一定是兩個(gè)。
　　2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
　　3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側(cè)為a+b+c, 且具僅有x=1時(shí)， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當(dāng)x=1
　　時(shí)，方程成立，則必有根為x=1。
　　4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個(gè)根為零，
　　則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時(shí)，存在公因式x，所以 c=0.
　　另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡(jiǎn)單！
　　5．分析：原方程變?yōu)?x2-3x-10=0,
　　則(x-5)(x+2)=0
　　x-5=0 或x+2=0
　　x1=5, x2=-2.
　　6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無(wú)實(shí)根。
　　7．分析：2x2=0.15
　　x2=
　　x=±
　　注意根式的化簡(jiǎn)，并注意直接開(kāi)平方時(shí)，不要丟根。
　　8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次項(xiàng)系數(shù)配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
　　整理為：(x-)2=
　　方程可以利用等式性質(zhì)變形，并且 x2-bx配方時(shí)，配方項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)-b的一半的平方。
　　9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1
　　則(x-1)2=m+1.
　　中考解析
　　考題評(píng)析
　　1．（甘肅省）方程的根是（ ）
　?。ˋ） （B） （C） 或 （D） 或
　　評(píng)析：因一元二次方程有兩個(gè)根，所以用排除法，排除A、B選項(xiàng)，再用驗(yàn)證法在C、D選項(xiàng)中選出正確
　　選項(xiàng)。也可以用因式分解的方法解此方程求出結(jié)果對(duì)照選項(xiàng)也可以。選項(xiàng)A、B是只考慮了一方面忘記了一元
　　二次方程是兩個(gè)根，所以是錯(cuò)誤的，而選項(xiàng)D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯(cuò)誤的。正確選項(xiàng)為
　　C。
　　另外常有同學(xué)在方程的兩邊同時(shí)除以一個(gè)整式，使得方程丟根，這種錯(cuò)誤要避免。
　　2．（吉林?。┮辉畏匠痰母莀_________。
　　評(píng)析：思路，根據(jù)方程的特點(diǎn)運(yùn)用因式分解法，或公式法求解即可。
　　3．（遼寧?。┓匠痰母鶠椋?）
　?。ˋ）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1
　　評(píng)析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個(gè)實(shí)根，用排除法和驗(yàn)證法可選出正確選項(xiàng)為C，而A、
　　B兩選項(xiàng)只有一個(gè)根。D選項(xiàng)一個(gè)數(shù)不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
　　4．（河南省）已知x的二次方程的一個(gè)根是–2，那么k=__________。
　　評(píng)析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構(gòu)造成關(guān)于k的一元二次方程，然后求解。
　　5．（西安市）用直接開(kāi)平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）
　?。ˋ）x=3+2 （B）x=3-2
　?。–）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
　　評(píng)析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計(jì)算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方
　　根，即可選出答案。
　　課外拓展
　　一元二次方程
　　一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次項(xiàng)是二
　　次的整式方程。 一般形式為
　　ax2+bx+c=0, (a≠0)
　　在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現(xiàn)于古巴比倫人的泥板文書(shū)中：求出一個(gè)數(shù)使它與它
　　的倒數(shù)之和等于 一個(gè)已給數(shù)，即求出這樣的x與，使
　　x=1, x+ =b,
　　x2-bx+1=0,
　　他們做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - ?？梢?jiàn)巴比倫人已知道一元二次
　　方程的求根公式。但他們當(dāng)時(shí)并不接受 負(fù)數(shù)，所以負(fù)根是略而不提的。
　　埃及的紙草文書(shū)中也涉及到最簡(jiǎn)單的二次方程，例如：ax2=b。
　　在公元前4、5世紀(jì)時(shí)，我國(guó)已掌握了一元二次方程的求根公式。
　　希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個(gè)正根，即使遇到兩個(gè)都是正根的情況，他亦只取其中
　　之一。
　　公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫(xiě)成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個(gè)求根公
　　式。
　　在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種
　　不同的形式，令 a、b、c為正數(shù)，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成
　　不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次
　　給出二次方程的一般解法，承認(rèn)方程有兩個(gè)根，并有無(wú)理根存在，但卻未有虛根的認(rèn)識(shí)。十六世紀(jì)意大利的
　　數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私馊畏匠潭_(kāi)始應(yīng)用復(fù)數(shù)根。
　　韋達(dá)（1540-1603）除已知一元方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解外，還給出根與系數(shù)的關(guān)系。
　　我國(guó)《九章算術(shù)．勾股》章中的第二十題是通過(guò)求相當(dāng)于 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國(guó)數(shù)學(xué)
　　家還在方程的研究中應(yīng)用了內(nèi)插法。

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判別方法

　　一元二次方程的判斷式：
　　b^2-4ac>0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
　　b^2-4ac＝0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
　　b^2-4ac<0 方程有兩個(gè)共軛的虛數(shù)根（初中可理解為無(wú)實(shí)數(shù)根）．
　　上述由左邊可推出右邊，反過(guò)來(lái)也可由右邊推出左邊．

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列一元二次方程解題的步驟

　　(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；
　　(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；
　　(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；
　　(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；
　　(5)檢驗(yàn)所求的答案是否符合題意，并做答．

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經(jīng)典例題精講

　　1．對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
　　2．解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解法，再考慮用公式法．
　　3．一元二次方程 (a≠0)的根的判別式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題．
　　4．一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．

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韋達(dá)定理

　　韋達(dá)（Vieta's ，F(xiàn)rancois，seigneurdeLa Bigotiere）1540年出生于法國(guó)普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷學(xué)習(xí)法律，后任律師，1567年成為議會(huì)的議員。在對(duì)西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯敵軍的密碼，贏得很高聲譽(yù)。法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)，并對(duì)方程論做了改進(jìn)。
　　他1540年生于法國(guó)的普瓦圖。1603年12月13日卒于巴黎。年青時(shí)學(xué)習(xí)法律當(dāng)過(guò)律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過(guò)議會(huì)的議員，在對(duì)西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”）。
　　韋達(dá)定理實(shí)質(zhì)上就是一元二次方程中的根與系數(shù)關(guān)系
　　韋達(dá)定理(Viete's Theorem）的內(nèi)容
　　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
　　設(shè)兩個(gè)根為X1和X2
　　則X1+X2= -b/a
　　X1*X2=c/a
　　韋達(dá)定理的推廣
　　韋達(dá)定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對(duì)一個(gè)一元n次方程∑AiX^i=0
　　它的根記作X1,X2…,Xn
　　我們有
　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
　　…
　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，Π是求積。
　　如果一元二次方程
　　在復(fù)數(shù)集中的根是，那么
　　法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理。歷史是有趣的，韋達(dá)的16世紀(jì)就得出這個(gè)定理，證明這個(gè)定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個(gè)實(shí)質(zhì)性的論性。
　　由代數(shù)基本定理可推得：任何一元 n 次方程
　　在復(fù)數(shù)集中必有根。因此，該方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積：
　　其中是該方程的個(gè)根。兩端比較系數(shù)即得韋達(dá)定理。
　　韋達(dá)定理在方程論中有著廣泛的應(yīng)用。
　　韋達(dá)定理的證明
　　設(shè)x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個(gè)解。
　　有:a(x-x1)(x-x2)=0
　　所以　ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
　　通過(guò)對(duì)比系數(shù)可得：
　　-a(x1+x2)=b ax1x2=c
　　所以　x1+x2=-b/a x1x2=c/a
　　韋達(dá)定理推廣的證明
　　設(shè)x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個(gè)解。
　　則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
　　所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i?。ㄔ诖蜷_(kāi)(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時(shí)最好用乘法原理）
　　通過(guò)系數(shù)對(duì)比可得：
　　A（n-1）=-An(∑xi)
　　A（n-2）=An(∑xixj)
　　…
　　A0==(-1)^n*An*ΠXi
　　所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
　　…
　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，Π是求積。