(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)，在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除0以外都是正數(shù)，正數(shù)比0大。

(2) 像－3、－1.5、-1/2、－584等在正數(shù)前面加“－”(讀作負(fù))號的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)比0小。

(3) 零即不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。

注意：

(1) 為了強(qiáng)調(diào)，正數(shù)前面有時也可以加上“＋”（讀作正）號，例如：3、1.5也可以寫作＋3、＋1.5。

(2) 對于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單理解為：帶“＋”號的數(shù)是正數(shù)，帶“－”號的數(shù)是負(fù)數(shù)。

例如：－a一定是負(fù)數(shù)嗎？答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數(shù)，若a表示的是正數(shù)，則－a是負(fù)數(shù)；若a表示的是0，則－a仍是0；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時，－a就不是負(fù)數(shù)了（此時－a是正數(shù)）。

正數(shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實際需要而產(chǎn)生的，隨著社會的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢？

我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負(fù)的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)。

用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù)。

有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

注：(1)有時為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù)，這時的分?jǐn)?shù)包括整數(shù)。但是本講中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù)。

(2)因為分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示，所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。

(3)“0”即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但“0”是整數(shù)。

整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，例如：1/2、0.6、－1/2、－0.6等等。

(1) 按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：

(2) 按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：

注：通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)（也叫做自然數(shù)），負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。

如果用字母表示數(shù)，則a>0表明a是正數(shù)；a<0表明a是負(fù)數(shù)；a≥0表明a是非負(fù)數(shù)；a≤0表明a是非正數(shù)。

數(shù)軸是理解有理數(shù)概念與運(yùn)算的重要工具，數(shù)與表示數(shù)的圖形（如數(shù)軸）相結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想。正如華羅庚教授詩云：

數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。

數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)是難入微。

數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。

切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！

數(shù)與形的第一次聯(lián)姻——數(shù)軸，使數(shù)與直線上的點之間建立了對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，并由此成為數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。

1.數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

數(shù)軸的定義包含三層含義：

(1) 數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；

(2) 數(shù)軸有三要素——原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；

(3) 原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）。

2.數(shù)軸的畫法：

(1) 畫一條直線（一般畫成水平的直線）。

(2) 在直線上選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下面標(biāo)上“0”）。

(3) 確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來。

(4) 選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3……；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為－1，－2，－3……

注：

(1) 原點的位置、單位長度的大小可根據(jù)實際情況適當(dāng)選?。?/span>

(2) 確定單位長度時，根據(jù)實際情況，有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2，4，6，……；從原點向左，依次表示為－2，－4，－6，……；

3.數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系：

所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示。正有理數(shù)可以用原點右邊的點表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。

4.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。?/span>

在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

1.相反數(shù)的定義

(1) 相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。如，4與－4互為相反數(shù)。

(2) 相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)（除了符號不同以外完全相同），我們說其中一個是另一個的相反數(shù)。

2.相反數(shù)的性質(zhì)：

任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個。正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0。

0是唯一一個相反數(shù)等于本身的數(shù)。反之，如果a=-a，那么a一定是0.

3.相反數(shù)的特征：

若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0（或a=-b）

若a+b=0（或a=-b），則a與b互為相反數(shù)。

4.求一個數(shù)的相反數(shù)的方法：（見書）

5.多重符號的化簡

(1) 在一個數(shù)的前面添上一個“＋”號，仍然與原數(shù)相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。

(2) 在一個數(shù)的前面添上一個“－”號，就成為原數(shù)的相反數(shù)。如－（－3）就是－3的相反數(shù)，因此，－（－3）＝3。

1.絕對值的幾何定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，數(shù)a的絕對值記作“丨a丨”

2.絕對值的代數(shù)定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。

正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

利用數(shù)軸，在數(shù)軸右邊的數(shù)永遠(yuǎn)大于左邊的數(shù)。

把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運(yùn)算叫做有理數(shù)的加法。

相加的兩個有理數(shù)有以下幾種情況：

（1）兩數(shù)都是正數(shù)；

（2）兩數(shù)都是負(fù)數(shù)；

（3）兩數(shù)異號，即一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)；

（4）一個是正數(shù)，一個是0；

（5）一個是負(fù)數(shù)，一個是0；

（6）兩個都是0。

（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。

（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

（1）加法交換律：a+b=b+a。

（2）加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即a-b=a+(-b)。

1.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義

對于有理數(shù)的加減混合運(yùn)算中的減法，可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法。

這樣一來，就將原來的混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法運(yùn)算。統(tǒng)一成加法以后的式子是幾個正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式，有時，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。

2.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法

(1) 運(yùn)用減法法則將有理數(shù)混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。

(2) 運(yùn)用加法法則、加法交換律、加法結(jié)合律簡便運(yùn)算。

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。

乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

由于a×1/a(a≠0) ，所以當(dāng)a是不為0的有理數(shù)時，a的倒數(shù)是1/a。若a、b互為倒數(shù)，則ab＝1。

（1）幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正。

（2）幾個數(shù)相乘，只要有一個因數(shù)為0，積就為0。

（1）乘法交換律：ab=ba。

（2）乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)。

（3）分配律：a(b+c)=ab+ac。

(1) 除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a×1/b(b≠0)。

(2) 兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

除轉(zhuǎn)乘，確定符號。

先乘除，后加減，如果有括號，就先算括號里面的。同級運(yùn)算中，要按照從左到右的順序。

正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。0的任

何次冪都是0。

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

在生產(chǎn)實踐和實際生活中，不僅存在著大量的準(zhǔn)確數(shù)，同時也存在著大量的近似數(shù)。近似數(shù)就是與實際接近的數(shù)。

出現(xiàn)近似數(shù)的原因有兩點：一是有時候不能得到完全準(zhǔn)確的數(shù)，如太陽的半徑大約是696 000千米；二是有時也沒有必要弄得完全準(zhǔn)確，如買10千克大米，有時可能多一點，有時也可能少一點。

四舍五入后的近似數(shù)，從左邊第一個不為0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“負(fù)”號的個數(shù)確定結(jié)果的符號?！柏?fù)”號有奇數(shù)個時，結(jié)果為負(fù)；“負(fù)”號有偶數(shù)個時，結(jié)果為正。

方法技巧2：分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘除混合運(yùn)算，通常把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。當(dāng)把乘除都化成乘積的形式時，應(yīng)先確定積和符號。含有多重括號，去括號的一般方法是由內(nèi)向外，即依次去掉小、中、大括號，也可以由外到內(nèi)。在進(jìn)行混合運(yùn)算時，要注意兩點：一是運(yùn)算順序，二是運(yùn)算符號。

方法技巧3：靈活運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，適當(dāng)?shù)靥砑踊蛉ダㄌ柛淖冞\(yùn)算順序常可達(dá)到簡化運(yùn)算的效果。湊整、分組、拆項、相消、分解相約、整體處理等是有理數(shù)運(yùn)算常用的方法與技巧。

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