如果你在數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域還只是個(gè)新手，那么建議你先看看《五本書帶你入門數(shù)據(jù)科學(xué)》，入門之后，再看《R語(yǔ)言案例實(shí)戰(zhàn)》系列。

開篇

我們的知識(shí)總是有限的，人類不可能觀察到所有的事情，計(jì)算機(jī)也無法表示整個(gè)宇宙。因此，我們只能根據(jù)一定程度的相信或者一些不確定的知識(shí)，去描述不同變量之間的關(guān)系。

概率圖模型可以模擬人類的認(rèn)知思維，處理關(guān)于世界的不完整的知識(shí)，它由概率論和圖論組成。概率是表示和處理不確定性的嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法，圖論則是模擬人類的邏輯推導(dǎo)思維，概率圖模型把兩者完美地結(jié)合在了一起。

貝葉斯定理

貝葉斯公式是概率圖模型的基礎(chǔ)，它是這樣子描述的。

其中：

P(X) 代表 X 事件發(fā)生的概率，也稱為先驗(yàn)概率；

P(X|Y) 代表事件 Y 發(fā)生后，X 事件發(fā)生的概率，也稱為后驗(yàn)概率；

P(Y|X) 代表在 X 事件發(fā)生的前提下，Y 事件發(fā)生的概率，也稱為似然率；

貝葉斯公式直接從公式上理解，是有一定的難度的，下面我們通過一個(gè)例子，來理解一下貝葉斯公式。

由產(chǎn)品質(zhì)量判斷機(jī)器是否正常

假設(shè)有一個(gè)制作燈泡的機(jī)器，在機(jī)器生產(chǎn)出一個(gè)燈泡之后，由燈泡是合格還是不合格，來判斷機(jī)器是正常工作還是出現(xiàn)異常。

根據(jù)問題的描述，我們可以確定機(jī)器狀態(tài)的隨機(jī)變量 M (Machine)，有兩個(gè)狀態(tài) {working, broken}。一開始，我們相信機(jī)器是好的，是可以正常工作的，所以可以假設(shè)先驗(yàn)分布如下：

P(M=working)=0.99

P(M=broken)=0.01 

也就是說，我們對(duì)于機(jī)器正常工作的信念度很高，在一開始，機(jī)器會(huì) 99% 的正常和 1% 的有問題。

第二個(gè)隨機(jī)變量是 Q (Quality)，代表機(jī)器生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量。燈泡可能是好的，也可能是壞的，所以 Q 包含兩個(gè)狀態(tài) {good,bad}。

設(shè)定了這兩個(gè)變量之后，我們的問題 P(M|Q)，也就是在知道生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量的前提下，機(jī)器的工作狀態(tài)。

根據(jù)貝葉斯公式：

P(M|Q)=P(M)*P(Q|M)/P(Q)

也就是，當(dāng)生產(chǎn)出一個(gè)質(zhì)量為 good 的燈泡的時(shí)候，機(jī)器正常工作和有問題的概率，具體如下：

  P(M=working|Q=good)

=P(M=working)*P(Q=good|M=working)/P(Q=good)

  P(M=broken|Q=good)

=P(M=broken)*P(Q=good|M=broken)/P(Q=good)

以及當(dāng)生產(chǎn)出一個(gè)質(zhì)量為 bad 的燈泡的時(shí)候，機(jī)器正常工作和有問題的概率，具體如下：

  P(M=working|Q=bad)

=P(M=working)*P(Q=bad|M=working)/P(Q=bad)

  P(M=broken|Q=bad)

=P(M=broken)*P(Q=bad|M=broken)/P(Q=bad)

根據(jù)這臺(tái)機(jī)器歷史的生產(chǎn)記錄，可以知道：

正常工作的前提下，99%的概率產(chǎn)出合格的產(chǎn)品，也就是：

P(Q=good|M=working)=0.99 

正常工作的前提下，1%的概率產(chǎn)出不合格的產(chǎn)品，也就是：

P(Q=bad|M=working)=0.01

異常工作的前提下，60%的概率產(chǎn)出合格的產(chǎn)品，也就是： 

P(Q=good|M=broken)=0.6

異常工作的前提下，40%的概率產(chǎn)出不合格的產(chǎn)品，也就是：

P(Q=bad|M=broken)=0.4

到這里，只剩下分母的 P(Q=good) 和 P(Q=bad) 未知了，根據(jù)全概率公式，它們等于：

  P(Q=good)

=P(Q=good|M=working)P(M=working)+P(Q=good|M=broken)P(M=broken)

  P(Q=bad)

=P(Q=bad|M=working)P(M=working) + P(Q=bad|M=broken)P(M=broken)

所以，貝葉斯公式中所有的概率，都已經(jīng)知道了。把這些數(shù)據(jù)加入公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到對(duì)應(yīng)的結(jié)果。

當(dāng)生產(chǎn)出一個(gè)質(zhì)量為good的燈泡時(shí)，機(jī)器working和broken的概率，如下所示：

P(M=working|Q=good)=0.993915

P(M=broken|Q=good)=0.0060845

可以看到，機(jī)器正常的概率，從開始的0.99增加到0.993，異常的概率也從0.01減少到0.006。

當(dāng)生產(chǎn)出一個(gè)質(zhì)量為bad的燈泡時(shí)，機(jī)器working和broken的概率，如下所示：

P(M=working|Q=bad)=0.712230

P(M=broken|Q=bad)=0.2877698

可以看到，機(jī)器正常的概率，從開始的0.99下降到了0.71了，異常的概率也從開始的0.1，增加到0.28。

這個(gè)，就是貝葉斯定理的應(yīng)用了。通過上面的案例，我們來加深一下，對(duì)貝葉斯公式的理解：

所謂的先驗(yàn)概率，就是我們?cè)跊]有任何的事件發(fā)生，根據(jù)我們對(duì)某個(gè)事件的經(jīng)驗(yàn)，預(yù)估出來的，這個(gè)事件會(huì)發(fā)生的概率。例如機(jī)器是否能夠正常工作的概率。

所謂的后驗(yàn)概率，就是我們?cè)谥酪呀?jīng)發(fā)生的事件之后，根據(jù)這個(gè)事件的結(jié)果，去調(diào)整先驗(yàn)概率的大小，已達(dá)到累計(jì)經(jīng)驗(yàn)的目的。例如生產(chǎn)了一個(gè)質(zhì)量為good的燈泡后，我們對(duì)機(jī)器能夠正常工作的信心增加了。

最后是似然率，也就是事件發(fā)生的概率大小，這個(gè)可以由日常的生產(chǎn)工作經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)行統(tǒng)計(jì)總結(jié)。

貝葉斯定理的R語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)

根據(jù)貝葉斯定理的定義，我們很容易就寫出了它的實(shí)現(xiàn)代碼，如下所示：

通過程序，我們假設(shè)生產(chǎn)出來的燈泡的質(zhì)量為 bad, good, good, good，那么，對(duì)機(jī)器能夠正常工作的估算先是下降，然后再慢慢地提升。