（數(shù)據(jù)分析是門大學問）

一臺正確率為99%的機器，它的檢測結果有多大可信度？

這個問題，我經(jīng)常在課堂上問學生，大多數(shù)人的第一反應是愕然——不是說了99%嗎？還能是多少？在重點大學的課堂上尚且如此想，更不用說一般人是多么容易犯迷糊了。其實，這道題的正解應該是：那得看你檢測的是什么。如果不知道檢測對象事實上的分布情況，就只能兩手一攤，老老實實地承認“條件不足，無法作答?！?/span>

這種說法聽起來很怪，不過別著急，比較以下這兩個例子，你就會大概明白這里的門道。

例1：一位經(jīng)驗豐富的老警察，辨識小偷的正確率達到99%，當他覺得一個人是小偷的時候，這人真是小偷的概率是多少？

例2：美國電影“黑衣人”里的特工常年與外星人打交道，辨識外星人的正確率也是99%，請問，當他說你是外星人的時候，你真是外星人的概率是多少？

我相信，沒人會覺得這兩個例子的機率相同，因為小偷比較常見，而外星人則過于離奇。這個直覺是對的——即使檢驗者同等精確，由于他們所驗證的事情本身在先驗概率上的不同，導致其令人信服的程度也是不一樣的。更妙的是，這種直覺，完全可以通過計算來印證。

回到最開始的那個例子。用一臺正確率為99%的機器來檢測疾病，檢測結果的可靠性一定不是99%。因為病有不同種類，有些如乙肝病毒攜帶一樣常見，有些如亨廷頓氏舞蹈癥一樣罕見。假設前者在人群中的分布是十分之一，這就意味著，用這臺機器查一萬個人（根據(jù)先驗概率，其中有九千陰性和一千陽性），陰性的會以1%的比率被誤判為陽性（誤報90人），陽性的同樣會以1%的比率被誤判為陰性（漏網(wǎng)10人），所以這一萬份檢測報告中，會有90+（1000-10）=1080個陽性，而真陽性的那1000人中又只990個被檢測出來。所以，當機器檢測出陽性結果時，真正攜帶乙肝病毒的可能性，就是990（真陽性）/1080（被檢測出陽性），約等于91.67%。

這個結果略小于99%，似乎還不算差太多。這是因為乙肝病毒攜帶者的數(shù)量本來就不少。但是，如果檢測的對象是像亨廷頓氏舞蹈癥這樣的罕見癥，情況就很不一樣了。假設發(fā)病率是萬分之一（這已經(jīng)是大大高估了），按照剛才這套算法，你會驚奇地發(fā)現(xiàn)，正確率99%的機器，檢測結果的準確性居然只有0.9804%，還不到百分之一！

以上是我自己從常識出發(fā)的一種很笨拙的計算方法。其實18世紀的英國數(shù)學家葉貝斯，早就整理出了一個簡潔優(yōu)雅的公式：P（A/B）=P（B/A）P（A）/P（B）。用剛才這個例子來說，P（A/B）就是指，當機器檢測出陽性時，事實上果然就是陽性的概率。而這個數(shù)值，等于機器的準確性P（B/A），乘以該疾病在人群中事實上的分布比例P（A），再除以所有對象被這臺機器檢測出陽性（漏網(wǎng)和誤報相抵）的可能性P（B）。

當然，這只是對于貝葉斯公式最粗略的描述，有興趣的讀者可以進一步自學。而我所關心的，其實是這個公式在現(xiàn)實生活中的意義。那就是，由于任何檢測與判斷都有誤差，所以不管它看起來有多可靠，在小概率事件上看走眼的可能性，都會意想不到的高。說得再明確點，非常之事，需有非常之據(jù)，事情本身越少見，做判斷時就越是要謹慎。

而在辯論中，這就意味著一個常被忽視的事實，即論戰(zhàn)雙方的論證義務，在程度上往往是不對等的。正如要保證檢測結果的可靠性達到91.67%，查乙肝的機器只需要99%的準確率，查亨廷頓氏舞蹈癥的機器則在要小數(shù)點后面再加上一連串的9（具體數(shù)值也可以用這個公式計算出來）；同樣，主張一個在真實世界中存在概率較低的觀點，要達到同等的論證效力，其論證義務也要比主張更符合常識的觀點重得多。這就是為什么即便是鐵證如山的惡性罪案，也得經(jīng)過冗長繁復的質證程序，而且饒是如此，冤獄也時有發(fā)生。而所有危言聳聽的陰謀論，疑神疑鬼的亂猜忌，無一例外地都會對此視而不見，把自己的論證義務降到與一般論題相同，所以才顯得格外難纏。下次遇見這種奇談怪論的時候，想想貝葉斯定理所揭示的辯論原則，一定能省不少口舌。