全等三角形在考試中，輔助線的做法是經(jīng)常會(huì)用的，也是解決證明題的有效的方法之一，繼詳解中點(diǎn)相關(guān)輔助線的做法后，今天和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)與角平分線相關(guān)題型的輔助線的做法。希望能夠幫助到同學(xué)們更好的理解輔助線的做法，以及更好的學(xué)好幾何證明題。

例1. 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC交BC于E，AD=AB+CD.

（1）求證：E是BC的中點(diǎn)； （2）判斷AE與DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）求證：AE平分∠DAB.

【解析】證明：（1）延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵CD∥AB，∴∠CDE=∠F，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADE，∴∠ADE=∠F，∴AD=AF，

∵AD=CD+AB，AF=AB+BF，∴BF=CD，在△CDE和△BFE中，∵∠CDE=∠F，∠CED=∠BEF，CD=BF，∴△CDE≌△BFE，∴CE=BE，即E是BC中點(diǎn)；

（2）（3）由（1）知，△CDE≌△BFE，∴DE=EF，∵AD=AF，∴AE⊥DF，AE平分∠DAB，

即AE⊥DE；AE平分∠DAB.

例2. 已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：BAD+∠BCD=180°.

【解析】證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于D，DF⊥AB于F，

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，在Rt△CDE和Rt△ADF中，∵AD=CD，DE=DF，∴Rt△CDE≌Rt△ADF，∴∠C=∠FAD，∵∠FAD+∠BAD=180°，∴∠C+∠BAD=180°.

例3. 如圖，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的角平分線.求證：AC+CD=BC.

【解析】證明： 在BC上截取CE=AC，連接DE，

∵CD是△ABC的角平分線，∴∠ACD=∠ECD，在△ACD和△ECD中，∵AC=CE，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD，∴∠A=∠CED，∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B，∵∠CED是△BDE的外角，∴∠CED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴DE=BE=AD，∴BC=CE+BE=AC+AD.

例4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，（1）如圖1，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是線段AC、AB上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且∠BEF=∠BAO，若∠BAO=2∠OBE，求證：AF=CE.

（2）如圖2，OA=OB，△AMN是等腰三角形，將△AMN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，且AM=MN，∠AMN=90°，連接BN，取BN的中點(diǎn)P，猜想OP與MP的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由.

【解析】證明：（1）∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴OA=OC，AB=BC，∠BAO=∠BCE，∵∠AFE是△BEF的外角，∠BEC是△ABE的外角，

∴∠AFE=∠ABE+∠BEF，∠BEC=∠ABE+∠BAO，∵∠BEF=∠BAO，∴∠AFE=∠BEC，

∴∠AEF=∠CBE，∴∠ABO=∠CBO=∠EBO+∠CBE=∠EBO+∠AEF，

∴∠FBE=∠ABO+∠EBO=2∠EBO+∠AEF，∠BFE=∠BAO+∠AEF=2∠EBO+∠AEF，

∴∠FBE=∠BFE，∴EF=BE，在△AEF和△CBE中，∵∠FAE=∠ECB，∠AFE=∠BEC，EF=BE，

∴△AEF≌△CBE，∴AF=CE.

（2）OP⊥MP，OP=MP，理由如下，延長(zhǎng)MP至C，使PC=MP，連接BC,MO,延長(zhǎng)AM交BC于D，連接OC，ON，

∵P為BN的中點(diǎn)，∴PN=PB，在△MPN和△CPB中，∵PN=PB，∠MPN=∠CPB，MP=CP，

∴△MPN≌△CPB，∴MN=AM=BC，∠MNP=∠CBP，∴MN∥BC，∵∠AMN=90°，∴∠ADB=90°，∴∠OBD=∠MAO，在△AMO和△BCO中，∵OA=OB，∠OBD=∠MAO，AM=BC，∴△AMO≌△BCO，∴OM=OC，∠MOA=∠COB，∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=∠MOB+∠BOA=90°，即△OMC是等腰直角三角形，又因?yàn)?strong>MP=PC，∴OP⊥MP，OP=MP.

例5. 如圖，已知△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC（1）如圖1，AB=8，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，求△BCD的面積.（2）如圖2，若BD是△ABC的角平分線，猜想線段AB、AD、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（3）如圖3，若點(diǎn)E、D是AC邊上的兩點(diǎn)，且AD=CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，連接BE、GE，求證：∠ADB=∠CEG.

【解析】證明：（1）∵∠BAC=90°，BA=AC=8，D是AC邊上的中點(diǎn),

∴AD=CD=4，∴S△BCD= S△ABD=16.

（2）BC=AB+AD，理由如下，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E,

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠BAC=90°，∴AD=DE，∠BAD=∠EBD，∴△ABD≌△EBD，

∴AB=BE，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴∠C=∠CDE=45°，∴CE=DE=AD，

∴BC=BE+CE=AB+AD.

(3)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AC，交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

由題意知，∠DAF+∠ADF=∠ABD+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠ABD，∵AB=AC，HCA=∠DAB，

∴△ABD≌△CAH，∴AD=CH，∠ADB=∠H，∵AD=CE，∴CH=CE，∵∠ACB=45°，ACH=90°，

∴∠BCH=∠ACB=45°，∴△ECG≌△HCG，∴∠GEC=∠H，∴∠ADB=∠CEG.