什么是證明？哲學(xué)家已經(jīng)就這個(gè)問題以及一件事如何才算被證明爭(zhēng)論了多個(gè)世紀(jì)。毫無疑問，他們還將繼續(xù)爭(zhēng)論下去！另一方面，數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期以來使用“暫定的定義（working definitions）”來推動(dòng)數(shù)學(xué)的進(jìn)步。

以這個(gè)問題為開端，PASS Maths 已經(jīng)發(fā)表了一系列文章來介紹證明和邏輯推理背后的基本思想以及它們?cè)跀?shù)學(xué)中的重要性。在這篇文章中，我們將對(duì)演繹推理進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹并且考察一下已知最早的數(shù)學(xué)證明之一。

演繹推理

給定一組已知或者被假定為真的命題，演繹推理是擴(kuò)展這些命題的強(qiáng)有力的方法。在演繹推理中，我們認(rèn)為如果前提P是已知或被假定為真的，那么我們可以得到結(jié)論C。例如，給定以下一些前提：

P：所有人都會(huì)死。

P：蘇格拉底（Socrates）是人。

利用演繹推理，結(jié)論是：

C：蘇格拉底會(huì)死。

在這個(gè)例子中，推理的原則是如果A蘊(yùn)含B，且A為真，那么B也為真，中世紀(jì)哲學(xué)家稱之為假言推理（modus ponens）。當(dāng)然，演繹推理不是無懈可擊的：推理的前提可能是錯(cuò)誤的，推理的過程也可能是錯(cuò)誤的！這就是為什么你有時(shí)候會(huì)做出錯(cuò)誤的證明。例如，有多種方法可以證明1=2。下面是其中一個(gè)例子：

令a = b

有：

整理得：

兩邊同時(shí)除以得：

證畢。

你能指出證明中的漏洞嗎？

如果結(jié)論無法從前提中得出，那么論證就是無效的，即便前提是正確的，我們也無法判斷結(jié)論的真假。

如果論證是有效的但前提是錯(cuò)誤的，那么我們同樣無法判斷命題真假，推理無法幫我們做出判斷。

如果論證是有效的且前提是正確的，我們認(rèn)為論證是可靠的且結(jié)論是正確的。從實(shí)用主義的觀點(diǎn)來看，如果我們可以找到一個(gè)可靠的論證，我們就能認(rèn)為證明了某件事。

以下表1給出了幾種論證的形式， 表2給出了具體的例子：

表1 不同類型的演繹推理

在表格中，兩個(gè)無效的論證不代表結(jié)論一定錯(cuò)誤，只是無法從論證中得到判斷。

開端：歐幾里得幾何

歐幾里得出生在大約公元前365年的埃及亞歷山大港，于約公元前300年去世。除了他在亞歷山大港教授數(shù)學(xué)外，我們對(duì)他的生平知之甚少。歐幾里得書寫了大量著作，但是最有名的是他的《幾何原本》，這是一本關(guān)于幾何的著作并被當(dāng)作教科書使用了超過2000年！這本書中的內(nèi)容并不是歐幾里得的原創(chuàng)，而是對(duì)當(dāng)時(shí)的幾何知識(shí)的總結(jié)。但是它們包含了數(shù)學(xué)史上最早的證明之一。

在《幾何原本》中，歐幾里得從描述點(diǎn)、線、平面、圓、鈍角、銳角等的23條定義開始展開。歐幾里得的定義既不正確也不錯(cuò)誤，它們只是像字典一樣解釋著他要用到的術(shù)語的含義。然后他又寫下了數(shù)條假設(shè)。其中五條并不限于幾何，他稱之為公理：

1、和同一個(gè)量相等的兩個(gè)量也相等。

2、等量加等量，其和相等。

3、等量減等量，其差相等。

4、 彼此能夠重合的幾何圖形是全等的。

5、整體大于部分。 

剩下五條假設(shè)和幾何相關(guān)，他稱之為公設(shè)：

1、兩點(diǎn)可以決定一條直線。

2、直線可以沿其正反兩個(gè)方向無限延長(zhǎng)。

3、給定任意線段，可以以其一個(gè)端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作一個(gè)圓。

4、凡直角都相等。

5、同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在這條直線同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于180°，則另外兩條直線一定相交。

這十條內(nèi)容合在一起共同構(gòu)成了歐氏幾何的公理系統(tǒng)。公理指的是被假定為正確的邏輯原則，它無需被證明是正確的，它可以作為演繹推理的前提。

歐幾里得的公理系統(tǒng)是利用演繹推理推導(dǎo)出其他內(nèi)容的“第一性原理”。當(dāng)然，所有的演繹論證只有在歐幾里得公理和公設(shè)是正確時(shí)才是可靠的。

命題和證明

歐幾里得在《幾何原本》推導(dǎo)出大量幾何命題并且用演繹推理展示了它們?cè)谒墓眢w系內(nèi)是正確的。

一個(gè)例子是命題6：“如果三角形中兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等?！?/p>

歐幾里得的證明方法如下：

Figure 1: 命題6

“做三角形ABC且∠ABC等于∠ACB；那么邊AB等于AC。假如AB不等于AC，其中一個(gè)會(huì)長(zhǎng)于另一個(gè)。假設(shè)AB比較長(zhǎng)；從AB中切下和AC等長(zhǎng)的BD；連接DC。因?yàn)镈B等于AC，而BC是公用的，DB等于AC，BC等于CB，且∠DBC等于∠ACB。

因此，DC等于AB，所以三角形DBC全等于三角形ACB，顯然它們兩個(gè)不一樣大，因此出現(xiàn)了矛盾。所以只能是AB等于AC?！?/p>

歐幾里得的公設(shè)是對(duì)的嗎？

所有歐幾里得時(shí)期的希臘人和后來的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家都直覺的認(rèn)為第五條公設(shè)實(shí)際上可以由五條公理和前四條公設(shè)推導(dǎo)出來。

許多人試圖證明第五條公設(shè)，通常一個(gè)公認(rèn)的證明在被證明有錯(cuò)之前會(huì)被長(zhǎng)期接受。一般的，有瑕疵的證明會(huì)包含“循環(huán)論證”：不管怎樣，他們先假定第五條公設(shè)是正確的來證明它是正確的

事實(shí)上，第五條公設(shè)無論對(duì)錯(cuò)，它都無法從其他公設(shè)和公理中推導(dǎo)出來。數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期著迷于第五條公設(shè)，但是直到十九和二十世紀(jì)我們才知道了第五條公設(shè)不成立的幾何（非歐幾何）。

在歐氏幾何中，第五公設(shè)是對(duì)的。但是，在其他許多類型的幾何中它是不對(duì)的。這是顯而易見的，只要考慮球面上的幾何就能看到。

在球面內(nèi)是無法畫一條真正的直線的，因此在球面幾何中歐幾里得關(guān)于線的想法變成了大圓。可以思考一下地球上的情形，經(jīng)線都是一個(gè)大圓，赤道也是。事實(shí)上，球面上兩點(diǎn)之間距離最短的路徑就是這樣一個(gè)大圓。

歐幾里得前四條公設(shè)的一個(gè)推論是兩條不同的直線相交，只能交于一點(diǎn)。在圓上，這個(gè)說法也有問題，因?yàn)椴煌拇髨A總是交于兩點(diǎn)！兩條不同的經(jīng)線都經(jīng)過南極和北極！

但是請(qǐng)你記住，我們還沒有說歐氏幾何中的點(diǎn)在球面上對(duì)應(yīng)什么！我們?nèi)绻严嗷?duì)跖的兩個(gè)點(diǎn)定義為球面上的一個(gè)點(diǎn)，問題就消失了。

根據(jù)歐幾里得的第23個(gè)定義，“平行直線是在同一個(gè)平面內(nèi)向兩端無限延長(zhǎng)不能相交的直線?！?/p>

按照這個(gè)定義，很容易看出歐幾里得的前四條公設(shè)仍然成立。但是第五條公設(shè)失效，因?yàn)闊o法畫出兩條不相交的線。球面幾何中沒有平行線。

第五條公設(shè)失效的結(jié)果就是在球面上三角形內(nèi)角和不再總是180度。事實(shí)上，有一個(gè)思維難題和非歐幾何有關(guān)：

獵人離開家朝南走了一英里。然后朝西走了一英里并且射殺了一頭熊，最后朝北走了一英里返回家里。問熊是什么顏色？

 歐幾里得和演繹推理

關(guān)于歐氏幾何的故事以及后來對(duì)非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，說明了利用公理進(jìn)行演繹推理的好處和缺點(diǎn)。

利用定義、公理和公設(shè)作為一個(gè)系統(tǒng)。歐幾里得可以通過演繹推理得到大量的幾何命題，他的公理和證明在數(shù)個(gè)世紀(jì)中成為數(shù)學(xué)家們有用的工具，并且展示了演繹推理的威力。

然而，發(fā)現(xiàn)非歐幾何漫長(zhǎng)又痛苦的過程展示了演繹推理的局限性：公理系統(tǒng)中的所有證明都不能超出公理系統(tǒng)自身。在歐氏平面中，歐幾里得第五公設(shè)是對(duì)的，他的證明既有效又可靠。然而在非歐幾何中，例如球面幾何，第五公設(shè)就是錯(cuò)的，因此歐幾里得的證明是不可靠的。

原文來源：

https://plus./content/origins-proof#Appendix