如果有人問你：“三角形內(nèi)角和等于多少？”你肯定會(huì)不假思索地告訴他：“180°！”

假如那個(gè)人說不是180°，那么你可能會(huì)認(rèn)為他無知。

其實(shí)，“三角形內(nèi)角和等于180°”只是歐幾里得幾何學(xué)（Euclid Geometry）中的一個(gè)定理。也就是說，在歐幾里得幾何學(xué)里，一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于 180°，但如果跳出歐幾里得幾何學(xué)的范圍，一個(gè)三角形的內(nèi)角和就不一定等于 180°！

舉個(gè)栗子，地球的赤道、0 度經(jīng)線和 90 度經(jīng)線相交構(gòu)成一個(gè)“三角形”，這個(gè)“三角形”的三個(gè)角都應(yīng)該是 90°，它們的和就是 270°！

你感到奇怪嗎？你知道除了歐幾里得幾何（歐氏幾何）學(xué)外，還有其他幾何學(xué)嗎？這些幾何學(xué)稱為非歐（歐幾里得）幾何學(xué)。

歐式幾何

想要探索非歐幾何，先要了解歐式幾何。歐幾里得幾何指按照古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》構(gòu)造的幾何學(xué)。有時(shí)單指平面上的幾何，即平面幾何。數(shù)學(xué)老師課堂上教授的就是歐式幾何。它有以下幾條簡單的公理：

1、任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過一條直線連接。

2、任意線段能無限延長成一條直線。

3、給定任意線段，可以以其一個(gè)端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作一個(gè)圓。

4、所有直角都全等。

5、若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。

這五條“顯然”的公理是平面幾何的基石，我們也是仰仗這些公理干掉了一道道幾何題目。但機(jī)智的你有沒有發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)（平行公設(shè)）和前面的四個(gè)公設(shè)比較起來，文字?jǐn)⑹鋈唛L，而且不那么顯而易見，有違數(shù)學(xué)的簡潔美感呢?

在《幾何原本》中，證明前28個(gè)命題并沒有用到這個(gè)公設(shè)，這很自然引起人們考慮：這條啰哩八嗦的公設(shè)是否可由其他的公理和公設(shè)推出，也就是說，平行公設(shè)可能是多余的。

羅氏幾何的誕生

因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個(gè)公設(shè)來證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達(dá)2000多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。

由于證明第五公設(shè)的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走得不對(duì)。第五公設(shè)到底能不能被證明？

到了十八世紀(jì)，俄國喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基（ Lobachevsky）在證明第五公設(shè)的過程中走了另一條路。羅巴切夫斯基的爸爸“老羅”也一生致力于研究第五公設(shè)的證明，但并沒有什么成果，老羅曾告誡自己的兒子“小羅”：“你不要搞第五公理了，我都研究一輩子了，都沒搞出來，這簡直是數(shù)學(xué)家的噩夢?！?/span>

然而小羅并沒有聽從老爸的建議。他提出了一個(gè)和歐氏平行公理相矛盾的命題“過直線外一點(diǎn)，至少可以作兩條直線和已知直線不相交”，用它來代替第五公設(shè)，然后與歐氏幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。我們知道，這其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的反證法。

羅氏幾何符合雙曲面模型

但是，在他極為細(xì)致深入的推理過程中，得出了一個(gè)又一個(gè)在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論：

第一，第五公設(shè)不能被證明。

第二，在新的公理系統(tǒng)里展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上沒有矛盾的新的定理，并形成了新的理論體系。這個(gè)理論體系像歐氏幾何學(xué)的理論體系一樣是完備的、嚴(yán)密的。

左：歐式幾何  右：羅氏幾何

這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何學(xué)，簡稱羅氏幾何學(xué)（Lobachevskian geometry），也是我們最早發(fā)現(xiàn)的非歐幾何學(xué)。

羅氏幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐氏幾何學(xué)不同的地方，僅僅是把歐氏幾何學(xué)平行公理“過直線外一點(diǎn)，能并且只能作一條直線平行于已知直線”用“過直線外一點(diǎn)，至少可以作兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經(jīng)過演繹推理卻引出了一連串和歐氏幾何學(xué)內(nèi)容不同的新命題。 

機(jī)智的你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，上面這些命題和我們的直覺是矛盾的。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過思考提出，可以用我們習(xí)慣的辦法作一個(gè)直觀“模型”來證實(shí)它的正確性。

擬球曲面

1868 年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何學(xué)可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。他發(fā)現(xiàn)這里三角形的三個(gè)內(nèi)角之和小于180°，這相當(dāng)于給羅氏幾何找到了一種有實(shí)際意義的模型。

那個(gè)時(shí)代被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不能被證明，同時(shí)也涉足了非歐幾何學(xué)的研究。但高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)教會(huì)力量的打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己的研究成果，只是在書信中向朋友表示了自己的看法，并沒有公開支持羅巴切夫斯基的新理論。

黎曼幾何學(xué)

那么既然我們能把第五公里改成“過一點(diǎn)，有多條直線與已知直線平行”，是不是也可以改成“過一點(diǎn)，沒有直線與已知直線平行”呢？

于是，有個(gè)叫黎曼的聰明人，結(jié)合歐式幾何的前四條公里加上“過一點(diǎn)，沒有直線與已知直線平行”創(chuàng)建了自己的幾何——黎曼幾何。比如，在一個(gè)球面上，過直線外一點(diǎn)所畫的直線一定與已知直線相交。所以黎曼幾何又稱橢球幾何。

##可能會(huì)有人說地球儀上的緯線是平行的呀？！但是注意曲率展開后的緯線是彎的，緯線上任意兩點(diǎn)最短連線不是緯線本身，當(dāng)然赤道除外。球面上的直線只有大圓。##

在航海學(xué)上黎曼幾何也得到了廣泛應(yīng)用。地球本身就是曲面的，如果使用歐式幾何，只會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論。

Credit：B站 肉兔君

近代黎曼幾何學(xué)在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。物理學(xué)家愛因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對(duì)論里，愛因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空是彎曲的，這恰恰是和黎曼幾何學(xué)的背景相似。正因?yàn)槿绱藧垡蛩固乖诳吹搅肆_巴切夫斯基和黎曼的發(fā)現(xiàn)之后，才會(huì)欣喜若狂，他終于找到了一種可以解釋相對(duì)論的數(shù)學(xué)工具了。

數(shù)學(xué)的意義就在于，它經(jīng)常走在其他科學(xué)的前面，我們通過數(shù)學(xué)的研究，可以為其他科學(xué)提供很多幫助。