反比例函數(shù)是大家接觸最早和最熟悉的函數(shù)之一，它的函數(shù)解析式是y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）。我們利用反比例函數(shù)的解析式，就可以畫出它的圖像，如下圖所示：

?根據(jù)函數(shù)的圖像可知，在k＞0情況下的第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)中x的值無(wú)限變大，大到無(wú)窮的時(shí)候，曲線就不斷向x軸靠近，換句話說(shuō)y的值逐漸向“0”靠近；或者是y的值無(wú)限變大，曲線就不斷向y軸靠近，x的值逐漸向“0”靠近。

此時(shí)，有些人就會(huì)產(chǎn)生一些疑問(wèn)，當(dāng)這個(gè)x的值取到非常大、非常大、非常大的時(shí)候，y的的值和“0”之間存在什么樣的關(guān)系呢？會(huì)相等嗎？

對(duì)于類似這樣的疑惑，我們從現(xiàn)代數(shù)學(xué)“極限”的角度出發(fā)，就很好回答，但在幾百年前，像這樣的問(wèn)題在當(dāng)時(shí)卻屬于一個(gè)世界性的難題。

我們知道，對(duì)于某一個(gè)函數(shù)，假設(shè)其中的某一個(gè)變量x，它在無(wú)限變大（或者變?。┑倪@一變化過(guò)程中，導(dǎo)致另一個(gè)變量y逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值m不斷地靠近，不過(guò)最終的結(jié)局只能是不斷的接近“m”，卻永遠(yuǎn)都無(wú)法跟“m”重合。

??簡(jiǎn)而言之，某一變量x處于無(wú)限變大或無(wú)限變小這一變化過(guò)程，那么另一個(gè)變量y的值永遠(yuǎn)都不會(huì)等于m，但只要變量x一直處于無(wú)限變大或無(wú)限變小中，那么y的值可以取等于m，這就是極限的思想。

因此，如果一個(gè)人要想理解“極限”這一抽象數(shù)學(xué)概念，那么就需要學(xué)會(huì)接受和明確知道極限是一種“變化狀態(tài)”的描述，變量y有不斷地努力靠近m點(diǎn)的趨勢(shì)。此時(shí)，變量y永遠(yuǎn)趨近的值m就叫做“極限值”。

極限作為微積分、數(shù)學(xué)分析等重要內(nèi)容的基礎(chǔ)，可以說(shuō)是初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)一個(gè)關(guān)鍵門檻。正如所有的數(shù)學(xué)知識(shí)概念出現(xiàn)的背景一樣，極限也是屬于社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)之間產(chǎn)生的“矛盾”產(chǎn)物。

在早期16世紀(jì)的歐洲，一些國(guó)家開始進(jìn)入資本主義萌芽階段，整個(gè)社會(huì)處于快速變革狀態(tài)，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，出現(xiàn)一些最基本的工業(yè)化。人們?cè)诎l(fā)展過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)很多生產(chǎn)技術(shù)都出現(xiàn)問(wèn)題，跟不上社會(huì)發(fā)展的速度，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)無(wú)法順利解決一些“變化的量”，如運(yùn)動(dòng)變化、天文學(xué)、機(jī)械化、航海、采礦、大壩建造等，都需要新的數(shù)學(xué)知識(shí)才能解決。

?初等數(shù)學(xué)很多時(shí)候只能解決一些相對(duì)“穩(wěn)定”的量，但在現(xiàn)實(shí)工作生活中，充滿了大量“變化的量”，這就要求數(shù)學(xué)必須突破現(xiàn)有的知識(shí)壁壘，能夠找到一種可以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程的新數(shù)學(xué)知識(shí)，最終解決這些“變量”問(wèn)題?；诋?dāng)時(shí)這樣的社會(huì)發(fā)展背景，數(shù)學(xué)家都努力嘗試突破傳統(tǒng)的思維模式，直接促進(jìn)“極限”思維的形成和發(fā)展，從而建立微積分等重要數(shù)學(xué)分支。

最早的時(shí)候，牛頓和萊布尼茨在各自的領(lǐng)域創(chuàng)立了微積分，讓“極限”的發(fā)展擁有了正是展開拳腳的舞臺(tái)。在當(dāng)時(shí)，微積分一經(jīng)創(chuàng)立誕生，就幫助很多人順利解決了以往在運(yùn)動(dòng)變化、力學(xué)、天文學(xué)等中認(rèn)為束手無(wú)策的難題，數(shù)學(xué)也迎來(lái)了新的發(fā)展。

不過(guò)，牛頓和萊布尼茨所創(chuàng)立的微積分并不是十分完善，特別是在一些關(guān)鍵疑難點(diǎn)沒(méi)有講清楚，如“無(wú)窮小量”的解釋，邏輯上存在著很多混亂，盡管當(dāng)時(shí)的“初始微積分”已經(jīng)能輕而易舉解決一些實(shí)際工作中的難題。

?就像牛頓的瞬和流數(shù)或是萊布尼茨的dx和dy，都需要解決和講清楚“無(wú)窮小量”這一特殊概念，但這兩位偉人都沒(méi)有給出明確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。

為什么“無(wú)窮小量”會(huì)這么重要呢？

我們都知道，在微積分的推導(dǎo)或運(yùn)算過(guò)程中，常常需要先用“無(wú)窮小量”作為分母進(jìn)行除法，然后又把“無(wú)窮小量”當(dāng)作零來(lái)處理，以消除那些包含有它的項(xiàng)。

那么問(wèn)題就來(lái)了，“無(wú)窮小量”究竟是零還是非零呢？

因?yàn)槿绻橇?，怎么能用它去作除?shù)呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的那些項(xiàng)消除掉呢？這種邏輯上的矛盾，直接或間接影響微積分的發(fā)展，更讓所有數(shù)學(xué)家不僅意識(shí)到“極限”這一概念的重要性，更明白極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。

?當(dāng)時(shí)的人們束縛于狹小的觀念里，還是以傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方式去看待“極限”，試圖用“零誤差”去進(jìn)行變量計(jì)算，這樣的思維方式只能導(dǎo)致悖論的發(fā)生，這就是數(shù)學(xué)史上所說(shuō)的“無(wú)窮小量”悖論產(chǎn)生的原因。

牛頓和萊布尼茨在晚期都不同程度地接受了極限思想，也都努力去嘗試解決這一“神秘”概念，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)。

很多可惜，牛頓和萊布尼茨為都無(wú)法完整得出極限的嚴(yán)格表述。

雖然當(dāng)時(shí)的人們沒(méi)有弄清楚“極限”這一概念，但微積分的出現(xiàn)，確實(shí)促進(jìn)社會(huì)的發(fā)展。隨著微積分應(yīng)用的更加廣泛和深入，大家都意識(shí)到需要解決“極限”這一問(wèn)題，要有嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯的數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行完整描述。

加上人類文明不斷向前進(jìn)步，遇到的問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，這就要求數(shù)學(xué)必須推出明確的概念、合乎邏輯的推理和運(yùn)算法則。

?進(jìn)入19世紀(jì)之后，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西比較完整地闡述了“極限”的概念，以及相關(guān)的理論?？挛髟凇斗治鼋坛獭分兄赋觯寒?dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無(wú)限地減小使之收斂到極限0，就說(shuō)這個(gè)變量成為“無(wú)窮小量”。

柯西把“無(wú)窮小量”視為“以0為極限的變量”，這就準(zhǔn)確地確立了“無(wú)窮小量”概念，“無(wú)窮小量”就是極限為“0”的變量，在變化過(guò)程中，它可以是“非零”，但它的變化趨向是“0“，無(wú)限地接近于“0”，可以人為用等于0方式去處理。

直白地講，在變量的變化過(guò)程中，它的值實(shí)際上不等于“0”，但它變化的趨向是向“0”，可以無(wú)限地接近于“0”，那么人們就可以用“等于0”的方式來(lái)處理，就不會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果。

?極限論正是從變化趨向上說(shuō)明了“無(wú)窮小量“與“0“的內(nèi)在聯(lián)系，從而澄清了邏輯上的混亂，完善了微積分的發(fā)展。

柯西在《分析教程》中，不僅對(duì)極限概念進(jìn)行基本明確的敘述，并以極限概念為基礎(chǔ)，對(duì)“無(wú)窮小量“、無(wú)窮級(jí)數(shù)的“和”等概念給出了比較明確的定義。

“極限”這一重要理論之后又經(jīng)過(guò)波爾察諾、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托等人的努力工作，進(jìn)一步把極限論建立在嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)上，并且形成了描述極限過(guò)程的ε-δ語(yǔ)言。

要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，就要弄清楚“極限”這一重要概念，認(rèn)識(shí)到它是一個(gè)動(dòng)態(tài)無(wú)限變化的過(guò)程，這樣變化的趨勢(shì)可以等于某一個(gè)常量。這一極限思想是建立微積分理論的重要思想基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)等眾多學(xué)科的發(fā)展有著的重大意義。