極限是一個(gè)非常重要概念，但也很難理解。

極限概念的出現(xiàn)，主要是因?yàn)槲⒎e分發(fā)展到 18 世紀(jì)末的時(shí)候還沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)，雖然微積分作為一種工具，很強(qiáng)大，解決了很多問(wèn)題，但基礎(chǔ)卻一直不穩(wěn)固。到了18世紀(jì)末，柯西和威爾斯特拉斯把基礎(chǔ)的問(wèn)題解決了，解決的手段就是引入極限。

那什么是極限：

對(duì)于一個(gè)函數(shù) y = f(x)，當(dāng) x 趨進(jìn)于數(shù) a 時(shí)，則 y 的極限是 b，指的是：對(duì)于數(shù) b 任意一個(gè)領(lǐng)域 V （無(wú)論這個(gè)領(lǐng)域多小），一定能找到一個(gè)領(lǐng)域 U，使得當(dāng) x 的值在除 a 點(diǎn)以外的任意一個(gè)領(lǐng)域 U 內(nèi)時(shí)，y 的值總在 V 范圍內(nèi)。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)：

用符號(hào)來(lái)表示即 ，a 與 b 是兩個(gè)沒(méi)有關(guān)系的實(shí)數(shù)，f 是一個(gè)定于于包含 a 的開區(qū)間（不包含 a 點(diǎn)）上的實(shí)值函數(shù)，則

表示對(duì)于任意的 ε > 0，都存在一個(gè) δ > 0，使得當(dāng)滿足 0 < | x - a | < δ 時(shí)總有 | f(x) - b | < ε。

極限概念想說(shuō)什么：

就是說(shuō)，無(wú)論函數(shù) f(x) 在 x = a 這個(gè)點(diǎn)上有沒(méi)有定義，如果有定義的話，這個(gè)定義值是什么，對(duì)于 y = f(x) 這么一個(gè)函數(shù)，x 在不斷靠近 a 的時(shí)候，那么 y 的值會(huì)不斷靠近 b，如果 x 變成 a 了，那么 y的值會(huì)由于“慣性”變成 b 。（我們?cè)?x = a 這個(gè)點(diǎn)上，填上 y = b 這個(gè)值，這句話后面再解釋）

注意，我的理解與“數(shù)學(xué)書上的解釋”是不一致的，當(dāng)然就不是“學(xué)科意義上正確”的了。數(shù)學(xué)書上告訴我們的是 x “不會(huì)成為 a”，它只會(huì)不斷地逼近 a，它會(huì)離 a 點(diǎn)“任意地近”，距離可以小于“任意給出的一個(gè)正數(shù)”，能小于任意一個(gè)正數(shù)的數(shù)是什么？不就是零么？但數(shù)學(xué)家們很別扭地就不承認(rèn)它，而要繞開它，叫它“無(wú)窮小”，或是“過(guò)程無(wú)窮小量”。為什么呢？為了避開“函數(shù)在點(diǎn) a 處可能沒(méi)有定義”這么一個(gè)尷尬的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題影響很嚴(yán)重，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的定義中，就是希望分母變成 0，但變成 0 了代數(shù)運(yùn)算又沒(méi)意義，也就是它是個(gè)希望它等于 0 但又不能讓它等于 0 的“東西”。一方面我們要有“分母為 0 時(shí)的”值，一方面又要避開除以 0 沒(méi)有意義。怎么辦？用極限來(lái)解決，說(shuō)：△x 是一個(gè)無(wú)限接近于 0 但又不等于 0 的量，因?yàn)椴坏扔?0，所以可以進(jìn)行除法，又因?yàn)闊o(wú)限接近于 0，所以最終得到的值是一個(gè)準(zhǔn)確值而不是一個(gè)近似值。（如果是近似值，那極限就沒(méi)有能解決導(dǎo)數(shù)和積分定義的基礎(chǔ)問(wèn)題，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)和積分最近都是可以得到準(zhǔn)確值而不是近似值的運(yùn)算）

可能是對(duì)連續(xù)統(tǒng)（實(shí)數(shù)理論）的理解還不夠深，“這個(gè)無(wú)限逼近”對(duì)我來(lái)說(shuō)造成了理解上的困難。因?yàn)槲铱倳?huì)覺(jué)得“x沒(méi)有到達(dá)點(diǎn) a”，那么 “y 就沒(méi)有到達(dá)點(diǎn) b”，一個(gè)“無(wú)限逼近 b 的值”怎么會(huì)等于 b 呢？于是我被堵在這了。

好吧，只能自己來(lái)安慰自己，給自己一個(gè)暫時(shí)上邏輯上能說(shuō)得通的說(shuō)法以繼續(xù)前行（等以后學(xué)了更多東西，有了新的理解之后再修正）。

在數(shù)學(xué)分析八講第二章講極限的時(shí)候看到一句話，說(shuō)極限是一種“分析運(yùn)算”，另外，在很多人談對(duì)極限理解，以及不少教材上，也都說(shuō)極限是一個(gè)“過(guò)程運(yùn)算”。這一點(diǎn)很重要，極限是一種“新類型”的運(yùn)算，與中學(xué)時(shí)代學(xué)過(guò)的傳統(tǒng)的代數(shù)運(yùn)算不一樣，代數(shù)運(yùn)算是靜態(tài)的運(yùn)算，而極限是一種動(dòng)態(tài)的，反應(yīng)變化的運(yùn)算。舉個(gè)不一定恰當(dāng)?shù)睦樱鷶?shù)運(yùn)算是知道我在北京，有張到上海的預(yù)定表，所以我很清楚地知道了我下一站就一定是上海，但我不知道也不管我是怎么去的。但極限則是這樣一種運(yùn)算，那就是我坐在火車上，我的導(dǎo)航儀地不斷告訴我現(xiàn)在的位置，我發(fā)現(xiàn)自己在去京滬線上上，而且隨著時(shí)間的流逝越來(lái)越接近上海，于是我可以肯定，按這個(gè)“規(guī)律”等到車停下來(lái)的時(shí)候，我一定是在上海的，但最終我未必會(huì)真的到上海，也許就在火車停下的那一刻，車爆炸了，我變得“不存在了”。所以極限運(yùn)算這種分析運(yùn)算，是用來(lái)刻畫按函數(shù)變化規(guī)律時(shí)的函數(shù)的取值規(guī)律的。所以它最終 x ＝a 這個(gè)點(diǎn)函數(shù)的表現(xiàn)并不關(guān)心，只關(guān)心到這個(gè)點(diǎn)之前函數(shù)的變化規(guī)律，并以此推測(cè)函數(shù)在 x = 0 時(shí)的值。

這樣的話，我解決了自己的兩個(gè)問(wèn)題：

一、當(dāng) △x → 0 時(shí)，△x 作分母會(huì)不會(huì)有問(wèn)題？不會(huì)，因?yàn)?△x 是一個(gè)極限運(yùn)算中“對(duì)變化的表示”，他不是“靜態(tài)的數(shù)”，所以不必要遵守“代數(shù)運(yùn)算定律”，它可以作分母參與運(yùn)算（也就是 △x 可以在分子分母同時(shí)抵消）。

從另一個(gè)角度說(shuō)，代數(shù)除零“沒(méi)有意義”是人為規(guī)定的，但其實(shí)也可以說(shuō)“有無(wú)數(shù)種意義”，但因?yàn)檫\(yùn)算的數(shù)據(jù)是靜態(tài)的，無(wú)法確定這時(shí)候的運(yùn)算是什么意義。但極限運(yùn)算比代數(shù)有更多的信息，那就是，值是有函數(shù)關(guān)系的，這種函數(shù)關(guān)系會(huì)限定“除零”成某一種意義（也就是取得一個(gè)值），如果這個(gè)函數(shù)關(guān)系也定不出這個(gè)值，那么直觀地說(shuō)就是“沒(méi)有極限”。

二、“無(wú)限逼近”是不是“等于”的問(wèn)題，在我看來(lái)就不存在了，因?yàn)槲野褬O限看成“按這個(gè)規(guī)律下去，會(huì)取到什么值”，這個(gè)值不是x無(wú)限逼近a時(shí) y 的值，而是 x 在除 a 點(diǎn)以外 y 取值過(guò)程可以推測(cè)出 x ＝ a 時(shí) y = b。再?gòu)?qiáng)調(diào)一次，雖然大部我們會(huì)接觸到的函數(shù)，x＝a 的極限就是 y = f(a)，但是，極限運(yùn)算中是不管真實(shí)的 x ＝ a 時(shí)， y 有沒(méi)有定義，以及 y 的值是多少的。

所以，目前數(shù)學(xué)中定義的極限運(yùn)算就是這樣一種運(yùn)算。我必須明白這只是觀察函數(shù)的一種視角，這種視角是動(dòng)態(tài)的，與變化規(guī)律相聯(lián)系的。但是，人類的知識(shí)是積累起來(lái)的，特別是數(shù)學(xué)家，總是把待求解的問(wèn)題盡可能地轉(zhuǎn)化成已求解的問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。我們要最終計(jì)算出極限值的時(shí)候，還是要依靠代數(shù)運(yùn)算這種人類已經(jīng)掌握得“很好”地運(yùn)算。

讓我再回到極限地定義，至少上面的理解，并不與這個(gè)定義有矛盾之處。也體會(huì)到了這個(gè)定義的牛X之處。因?yàn)榉浅：?jiǎn)潔又很嚴(yán)格而沒(méi)有歧義。這個(gè)定義解決了微積分的基礎(chǔ)問(wèn)題。而且這個(gè)定義給出了“求極限的一般代數(shù)方法”。在這個(gè)定義下，我們也可以得到極限的各種計(jì)算法則和重要性質(zhì)。這樣，我們可以通過(guò)一般方法求到常用的函數(shù)的極限，再用這些計(jì)算法則加常見極限計(jì)算出更復(fù)雜的函數(shù)的極限。而且也從數(shù)學(xué)上給出了極限唯一性的性質(zhì)，這種性質(zhì)是函數(shù)的一個(gè)非常重要的性質(zhì)，它直接決定了微分和積分的存在。

想想第一篇和第三篇都很直接地一直在講函數(shù)，是的，在理解三角函數(shù)和極限的過(guò)程中，我更新了自己對(duì)函數(shù)的理解，后面找時(shí)間整理下。