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（一）教學(xué)目標(biāo) 1．使學(xué)生理解比例的意義，會判斷四個數(shù)是否能夠組成比例。 2．使學(xué)生理解比例的基本性質(zhì)，能正確地解比例。 3．使學(xué)生理解相關(guān)聯(lián)的量，理解正比例和反比例的意義，掌握成正、反比例的量的變化規(guī)律。 4．使學(xué)生認識正比例關(guān)系的圖象，能根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在有坐標(biāo)系的方格紙上畫出圖象，會根據(jù)其中一個量在圖象中找出或估計出另一個量的值；體會數(shù)形結(jié)合思想。 5．使學(xué)生理解比例尺的意義，掌握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，能正確地求圖上距離、實際距離和比例尺。 6．使學(xué)生認識放大與縮小現(xiàn)象，能利用方格紙等形式按一定的比將簡單圖形放大與縮小，體會圖形的相似。 7．使學(xué)生能運用比例的相關(guān)知識，分析、解決實際問題，并在經(jīng)歷問題解決的過程中，積累和豐富解決問題的經(jīng)驗策略，提高問題解決能力。 8．使學(xué)生體會比例知識與其他知識之間的聯(lián)系，綜合運用多種知識，靈活解決實際問題，促進對知識間關(guān)系的理解，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 9．讓學(xué)生體會函數(shù)思想，使學(xué)生受到辯證唯物主義觀點的啟蒙教育。 ?。ǘ﹥?nèi)容安排及其特點 1．教學(xué)內(nèi)容和作用 本單元是六年級下冊的重點單元，比例的知識是除法、分?jǐn)?shù)、比、方程等知識的綜合與提升，學(xué)習(xí)完本單元后，學(xué)生會以更廣的視野和更高的思維水平審視和發(fā)展這些知識。本單元的知識包括比例的意義和基本性質(zhì)、正比例和反比例、比例的應(yīng)用三個部分。 具體編排結(jié)構(gòu)如下頁。 比例的意義和基本性質(zhì)是整個單元的基礎(chǔ)與核心，是后續(xù)學(xué)習(xí)的有效支持。比例的意義是學(xué)習(xí)正、反比例知識和用比例解決問題的基礎(chǔ)，必須讓學(xué)生深刻理解，牢固掌握；比例的基本性質(zhì)是解比例和進一步研究比例問題的基礎(chǔ)，直接涉及到解決問題的效率。正比例和反比例是重要的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了基本的函數(shù)思想，在數(shù)學(xué)思想層面上對以前所學(xué)過的許多數(shù)學(xué)問題（如單位量不變的數(shù)學(xué)問題、總量不變的數(shù)學(xué)問題、幾何中等積變形問題等）和數(shù)學(xué)規(guī)律（如分?jǐn)?shù)和比的基本性質(zhì)、商與積的變化規(guī)律等）進行一般化與模型化，對學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展十分有益。比例的應(yīng)用，是在更高水平上對一些特殊的實際問題以及原來遇到過的數(shù)學(xué)問題運用代數(shù)方法進行分析與解答，要求學(xué)生具備綜合運用各方面知識的能力，在數(shù)學(xué)思想方法的層面上具有重要的教育教學(xué)價值。 本單元內(nèi)容的教學(xué)，對學(xué)生的發(fā)展具有以下幾方面的作用。 ?。?）有利于學(xué)生完善認知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)習(xí)水平，進一步牢固掌握基礎(chǔ)知識和基本技能。 從知識層面講，比例的知識與除法、分?jǐn)?shù)、等式與方程等密切相關(guān)，有著內(nèi)在的聯(lián)系。通過比例知識的學(xué)習(xí)可以極大地拓展和豐富學(xué)生對以前所學(xué)知識的理解，促進認知結(jié)構(gòu)的完善。 （2）有利于豐富學(xué)生的問題解決策略與方法，提高問題解決能力。 四年級以前，學(xué)生主要運用算術(shù)思維解決問題，其思維過程基本上是這樣的：想要解決題目中的問題，需要確定利用哪些信息，根據(jù)什么數(shù)量關(guān)系，列出什么算式。五年級通過簡易方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步體會了從分析等量關(guān)系的角度來思考、解決問題。而本冊教材中用正、反比例解決問題，突破了單一的算術(shù)思維，使學(xué)生嘗試用新的思路來解決同樣的問題，進一步豐富問題解決的策略，提高思維水平，形成初步的代數(shù)思維，理解和掌握運用等式、方程等方法來解決問題，促進問題解決策略與方法的多樣化。 ?。?）有利于學(xué)生從關(guān)系與結(jié)構(gòu)的角度去分析和解決問題，促進代數(shù)思維的發(fā)展。 比例的知識以及用比例解決問題的內(nèi)容一般都可以用以前學(xué)過的知識與方法加以解決，而當(dāng)用比例去解決時，其思維的過程與方式發(fā)生了變化，不是像以前那樣直接思考怎么計算，而是需要思考題目中什么量是相等或不變的，即從關(guān)系與結(jié)構(gòu)的角度去分析與解決問題。這樣的內(nèi)容，能更好地促進學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展，有利于學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展脈絡(luò)，學(xué)會融會貫通地運用知識。 （4）有利于促進學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。 比例知識，特別是正、反比例的知識，反映了生活和數(shù)學(xué)中最基本、最常見的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，是重要的數(shù)學(xué)模型，蘊涵了基本的函數(shù)思想。它既是現(xiàn)實問題的抽象，又是解決問題的工具。通過比例知識的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生更深地體會數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系。通過分析關(guān)系、抽象建模、問題解決等學(xué)習(xí)過程，能使學(xué)生更好地經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，更好地掌握數(shù)學(xué)思想方法。 2.教材編排特點 ?。?）重視呈現(xiàn)真實的問題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，展示數(shù)學(xué)知識的抽象和建模過程，促進基礎(chǔ)知識的建構(gòu)。 比例知識與生活有著密切的聯(lián)系，在現(xiàn)實生活中可以找到大量的有關(guān)比例的原型。教材在編寫時充分體現(xiàn)了這一特點，例如，比例知識是在大、中、小三面國旗的情境中引出的，既真實又為學(xué)生所熟悉，還隱含了“形狀相同”這一重要的表象經(jīng)驗。再如，用正比例解決問題采用的是“李奶奶家交水費”的問題，用反比例解決問題創(chuàng)設(shè)的是“普通白熾燈與節(jié)能燈用電時間比較”的情境，符合學(xué)生的生活經(jīng)驗，便于學(xué)生理解量與量之間的關(guān)系。 同時，教材在編排時努力體現(xiàn)知識的形成和抽象過程，促進學(xué)生對知識的理解和模型的掌握。例如，正比例的意義，教材雖篇幅不大，但仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，知識形成的過程非常完整：理解情境，觀察數(shù)量——發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)，探索規(guī)律——對應(yīng)觀察，計算比值——明確規(guī)律，表征關(guān)系——揭示概念，字母表征。學(xué)生既經(jīng)歷了知識的發(fā)現(xiàn)、抽象、表征、建模的過程，又很好地理解了知識的本質(zhì)。 （2）重視解比例等基本技能的培養(yǎng)。 要讓學(xué)生會應(yīng)用比例的知識解決實際問題，需要有一個重要的技能作為保障和支持，這個技能就是解比例。因此，教材在學(xué)生學(xué)習(xí)了比例的基本性質(zhì)之后，安排了兩個例題教學(xué)解比例，讓學(xué)生通過掌握不同類型比例的解法，形成良好的技能。教材編排的練習(xí)題，不僅題量豐富，關(guān)注基本的知識鞏固、理解和應(yīng)用，還十分重視解比例等計算技能的熟練和提高，為學(xué)生扎實、全面地掌握比例知識提供保障。 ?。?）重視用直觀形象的圖形或圖象來揭示知識的本質(zhì)屬性，展現(xiàn)量的變化規(guī)律。 數(shù)形結(jié)合，既是重要的數(shù)學(xué)思想與方法，又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的有效手段。比例的意義和性質(zhì)、正比例和反比例的知識，都可以用具體的圖形或圖象來直觀形象地呈現(xiàn)，幫助學(xué)生更好地理解比例的特征和量與量之間的變化關(guān)系。例如，在編排正比例的內(nèi)容時，教材以學(xué)生熟悉的“數(shù)對”形式呈現(xiàn)正比例關(guān)系的圖象，讓學(xué)生通過看圖、畫圖、找點、計算、判斷等方式，體會正比例關(guān)系的特征，讓學(xué)生體會和初步理解函數(shù)思想。在編排反比例的內(nèi)容時，教材通過將相同體積的水倒在一組不同底面積的圓柱形量杯中，觀察它們的不同高度，讓學(xué)生直觀地體會反比例關(guān)系中底面積和高度之間的變化規(guī)律，這種直觀形象的呈現(xiàn)比抽象的數(shù)量關(guān)系分析會給學(xué)生留下更深刻的印象。在圖形的放大和縮小中，教材又通過照相、投影和影子游戲等實際情境，不僅讓學(xué)生感受到圖形的縮放是自己生活中常見的問題，還讓學(xué)生直觀地體會到在圖形的縮放過程中必須做到形狀不變，而形狀不變的數(shù)學(xué)實質(zhì)就是相對應(yīng)的邊的比值相等。例如，照相時如果不能保持形狀不變，照片就“拍壞”了。 ?。?）強調(diào)知識的應(yīng)用，重視創(chuàng)設(shè)真實的應(yīng)用情境，展現(xiàn)問題解決的思維過程和完整步驟。 教材在編寫時充分體現(xiàn)了對知識應(yīng)用的重視。教材創(chuàng)設(shè)了很多應(yīng)用知識的問題情境，幫助學(xué)生提高問題解決的能力。例如，在例題中創(chuàng)設(shè)了求埃菲爾鐵塔模型的高度、求軌道交通部分線路的長度、求水費的多少等真實情境；而在習(xí)題的編寫中，應(yīng)用性的情境就更多了：求兵馬俑的高度，求汽車的油耗，求高鐵跑完全程的時間，求鋪房間所用地磚的塊數(shù)，求姐姐的零花錢等，都很好地體現(xiàn)了知識的應(yīng)用價值，促進了學(xué)生應(yīng)用意識的提高，也為學(xué)生展現(xiàn)問題解決的思維過程和掌握完整的問題解決步驟提供了較好的經(jīng)驗支持。 ?。ㄈ┙虒W(xué)建議 1．重視概念的理解，強調(diào)概念的應(yīng)用，提升概念掌握的水平。 本單元有許多重要的基礎(chǔ)性概念，如比例的意義、比例的基本性質(zhì)、比例尺、正比例的意義、反比例的意義等。這些概念揭示了數(shù)學(xué)中的重要規(guī)律或關(guān)系，并且與解比例等技能或用比例解決問題密切相關(guān)。因此，教學(xué)中不僅僅需要記住概念的描述，更重要的是要理解這些概念，并能正確地加以應(yīng)用。要理解概念，關(guān)鍵是要理解知識的本質(zhì)和要素。例如，“比例”的本質(zhì)是一個等式，描述的是兩個比值相等的比之間的關(guān)系；在通常情況下，比例尺是一個形式上相對固定的比，即圖上距離與實際距離的比，且把前項或后項化簡為“1”……而概念的應(yīng)用是指能用概念去作出判斷或解決問題，必然是以理解概念的本質(zhì)和相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)的。因此，教學(xué)中要多給學(xué)生提供有效的材料，讓學(xué)生判斷、思考并表達思維過程，促進理解。例如，給一個房間的長方形地面鋪地磚，不同邊長的正方形地磚與所需要的塊數(shù)之間的關(guān)系如下表。 教學(xué)時，需要學(xué)生清楚地表述：在這個問題中，正方形地磚邊長的變化與所需要的塊數(shù)的變化之間有怎樣的關(guān)系？這種關(guān)系的背后原因是什么？在這個問題中直接相關(guān)的量到底是哪兩種？那個不變的量是什么？如何清晰地把它們之間的關(guān)系表達出來？它們成什么比例？……像這樣的實例，你還能舉出一些嗎？ 通過這樣的討論與交流，讓學(xué)生理解清楚每一個問題（特別是那些數(shù)量關(guān)系較隱蔽的問題）中，相關(guān)聯(lián)的是哪兩種量？它們之間存在怎樣的關(guān)系？然后作出正確的判斷，使學(xué)生根據(jù)量與量之間的本質(zhì)關(guān)系扎實有效地掌握概念。 2．注重學(xué)生的參與，重視讓學(xué)生經(jīng)歷知識、方法的獲得過程，在此過程中積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，獲得基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高能力。 《課標(biāo)（2011版）》提出，不僅要讓學(xué)生獲得必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，還應(yīng)該讓學(xué)生獲得必需的數(shù)學(xué)的基本思想和基本活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)的基本思想和基本活動經(jīng)驗的獲得，必須依賴于過程的經(jīng)歷。教材在編排時也盡量充分地展示知識的形成過程，以利于學(xué)生的過程參與，因此在教學(xué)時更應(yīng)關(guān)注到這一點。例如，教學(xué)比例的意義時，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——觀察提問——計算比值——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——得到比例——類比拓展”這樣一個完整的過程。在“問題情境——觀察提問”階段，要讓學(xué)生仔細觀察形狀相同、大小不同的物體或圖形，從而引出問題：它們的對應(yīng)邊之間有什么關(guān)系？在這個題的引領(lǐng)下逐步研究。當(dāng)?shù)玫奖壤院?，可以進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是像這樣的“形狀相同、大小不同”的圖形之間可以找到很多比例？然后出示更豐富的材料：形狀相同、大小不同的三角形、平行四邊形，大小不同的圓等，讓學(xué)生根據(jù)這些圖形上面的數(shù)據(jù)寫出比例并匯報交流。通過豐富的材料和活動，讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的形成過程。再如，教學(xué)正比例的意義時，務(wù)必要讓學(xué)生經(jīng)歷“理解情境，觀察數(shù)量——發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)，探索規(guī)律——對應(yīng)觀察，計算比值——明確規(guī)律，表征關(guān)系——揭示概念，字母表征”這一過程，再結(jié)合其他相關(guān)聯(lián)的量之間的變化關(guān)系，并通過正比例關(guān)系圖象的觀察與研究，讓學(xué)生體會正比例關(guān)系的本質(zhì)特征和量與量之間的一一對應(yīng)關(guān)系，從而真正理解正比例的意義。在這樣的過程中，學(xué)生通過不斷抽象、推理、模型化，數(shù)學(xué)思想越來越豐富，研究數(shù)學(xué)、建構(gòu)知識等數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗也得到了有效的積累。 3．重視知識的應(yīng)用，重視問題解決的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的完整過程。 本單元中，比例尺以及用正、反比例解決問題等，都是比例知識的有效應(yīng)用。教學(xué)中，要多創(chuàng)設(shè)一些真實的應(yīng)用情境，讓學(xué)生體會比例知識在生活中的廣泛應(yīng)用。例如，讓學(xué)生體會房子的平面圖、城市的交通圖、照片的放大或縮小等都與比例知識有關(guān)，只要知道了必要的信息（如比例尺、圖上距離、實際距離等）就可以求得未知的信息。在應(yīng)用知識解決問題的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生掌握必要的問題解決策略與方法，靈活處理知識。例如，用列方程的方法求圖上距離或?qū)嶋H距離時，應(yīng)根據(jù)比例尺的概念把比例尺看作一個比，這樣所列的方程就是一個比例，用比例的基本性質(zhì)解比例就比較順利；如果不用列方程的方法求圖上距離或?qū)嶋H距離，可以把比例尺看作一個比值，這樣用算術(shù)方法進行計算，思路相對清晰。另外，在教學(xué)用正、反比例解決問題時，要注意以下兩點：（1）理解解決問題的關(guān)鍵是什么；（2）要讓學(xué)生充分經(jīng)歷問題解決的完整過程。關(guān)于第（1）點，要讓學(xué)生明確解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的情境與數(shù)量關(guān)系正確判斷哪個量是一定的，這個“一定的量”是一個“比值”還是一個“積”，在把握了這個關(guān)鍵以后就能很快地判斷出題目中“兩種相關(guān)聯(lián)的量”成什么比例；關(guān)于第（2）點，要讓學(xué)生體會到，用比例解決問題需要經(jīng)歷“閱讀題目，理解題意，獲取有效數(shù)學(xué)信息——分析表征數(shù)量關(guān)系，明確其中不變的量——判斷相關(guān)聯(lián)的兩種量成什么比例，列方程解答——得數(shù)檢驗，思路回顧和方法反思”這樣一個完整的過程，并有意識地將這個過程加以突出和強化，幫助學(xué)生形成有條理的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，獲得問題解決的經(jīng)驗。 4．注重知識的溝通與梳理，重視問題解決策略的多樣性和方法的靈活性。 比例是小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)的最后一單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，這個內(nèi)容的特點是應(yīng)用性強、綜合性強、內(nèi)容情境不新但采用新的思維方式和數(shù)學(xué)模型，需要學(xué)生在較高水平層面上學(xué)習(xí)。教學(xué)時，需要對知識之間的關(guān)系進行梳理、比較，找出它們的聯(lián)系和區(qū)別，如比和比例之間的聯(lián)系和區(qū)別、比的基本性質(zhì)與比例的基本性質(zhì)之間的比較與區(qū)別、比和比例尺之間的聯(lián)系和區(qū)別等。有些知識之間既有一定的聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別，分屬于不同的知識領(lǐng)域，如比和比例。有些知識之間是一般與特殊的關(guān)系，屬于同類知識，如比和比例尺。用正、反比例解決問題時，所解決的問題是以前用算術(shù)方法解決過的“歸一”“歸總”問題，用新方法解決舊問題，對學(xué)生而言，也是一種挑戰(zhàn)。教學(xué)時，要通過問題解決方法的回憶與比較，使學(xué)生明確：用以前的方法解決時，必須先求出“單一量”是多少才能求出結(jié)果，而現(xiàn)在只要判斷相關(guān)聯(lián)的兩個量成什么比例關(guān)系，列出比例式，再解比例即可，無需求出具體的比值；以前重點思考“單一量”是多少，現(xiàn)在重點思考問題中的兩種量成什么比例關(guān)系。通過這樣的溝通與比較，可以使學(xué)生更清楚地了解知識、方法之間的聯(lián)系與差別，促進學(xué)生構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)和方法系統(tǒng)。 5．適當(dāng)提供靈活、綜合、變式的練習(xí)，以高質(zhì)量的思維材料促進學(xué)生思維的提升。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，適量的練習(xí)是形成技能、發(fā)展能力的必要途徑。而練習(xí)的質(zhì)量對學(xué)習(xí)的效率和思維水平的提高具有直接的意義，高質(zhì)量的練習(xí)能有效促進對概念的理解，促進思維的發(fā)展，促進策略與方法的形成，因此教學(xué)中一定要重視練習(xí)設(shè)計，提高練習(xí)材料的有效性。一方面，練習(xí)材料的類型要豐富，要涉及各方面的知識。例如，要求學(xué)生寫出比例或者根據(jù)比例的基本性質(zhì)解比例時，構(gòu)成比例的各項應(yīng)呈現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等各種類型。再如，用比例解決問題的練習(xí)，問題情境除了數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的內(nèi)容以外，還應(yīng)該創(chuàng)設(shè)圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等領(lǐng)域的情境，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)問題的普遍性和解決方法的一般性，促進問題解決經(jīng)驗的積累。另一方面，有必要設(shè)計一些適度綜合和變式的練習(xí)，以促進學(xué)生理解的深刻性和思維的靈活性。例如，像“從甲地到乙地，火車出發(fā)6小時以后，還剩下全程的60%，還要再行多少小時才能到達目的地”這樣的問題，將比例知識與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的知識綜合起來，具有一定的思維難度。學(xué)生解答時既可以用分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的知識來思考，也可以用正比例的知識和思路來解決，方法與策略非常豐富。再如，學(xué)生可以直接根據(jù)a×16＝b×10（a、b≠O）這個等式寫出很多比例式，但是，如果我們把問題改變一下：下面兩個長方形的面積相等，你能根據(jù)它們邊之間的關(guān)系寫出一些比例嗎？學(xué)生可能會遇到困難，無從下手。 此時，如果學(xué)生能從兩個長方形的面積相等想到a×16＝b×10，就能很快地解決問題。這樣的訓(xùn)練，能有效地發(fā)展學(xué)生的思維靈活性與變通性。 6．建議用14課時教學(xué)。 |
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