關于數(shù)與圖形結合的根本性工作，即坐標系和解析幾何的發(fā)明，是由兩位法國數(shù)學家笛卡爾和費馬完成的?？吕稍谒闹鳌妒裁词菙?shù)學》中說，費馬的工作是在1626年，笛卡爾的工作是在1637年完成的。

雖然笛卡爾在數(shù)學上作出過杰出的貢獻，但他更重要的貢獻卻是在哲學方面，他的思想對于科學的發(fā)展影響深遠，甚至影響到萊布尼茨和牛頓這樣的偉人。笛卡爾崇尚科學，關于科學考察的對象，在《探求真理的指導原則》的“原則二”中，他明確地寫道：

“應當僅僅考察憑我們地心靈似乎就足以獲得的確信無疑的認識的那些對象”

在這一點，笛卡爾說得比柏拉圖更為深刻，因為他不僅說出了科學所應當考察的對象，也就是柏拉圖所說的必須用思考才能看到的對象，笛卡爾還說了憑借什么去考察，這就是心靈，也就是直觀。在“原則三”中，他又進一步強調：

“關于打算考察的對象，應當要求的不是某些別人的看法，也不是我們自己的推測，而是我們能夠從中清楚而明顯地直觀出什么，或者說，從中確定無疑地演繹出什么，因為，要獲得真知，是沒有其他方法的”

在這里，我們能夠明晰地知道，無論是知識獲取的方法還是科學研究的方法，笛卡爾強調的是直觀和演繹。關于直觀，他接著論述道：

“我用直觀一詞，......指的是純粹而專注的心靈的構想，......產(chǎn)生于唯一的光芒，即理性的光芒的不容置疑的構想，這種構想由于更單純而比演繹本身更為確實無疑”

更進一步，笛卡爾又對直觀和演繹的功能進行了分工：

“起始原理本身則僅僅通過直觀而得知，相反，較遠的推論是僅僅通過演繹而獲得”

我們看到，雖然對于直觀的解釋有所不同，但無論是古希臘的柏拉圖，文藝復興后的笛卡爾，還是工業(yè)革命后的康德，都非常強調直觀對于思維的重要，強調直觀對于知識的重要，我們將在后續(xù)《數(shù)學的抽象》專門討論這個問題。

笛卡爾于1637年發(fā)表了著名的《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》，因為書名太長，人們通常稱這部書為“方法論”。在《方法論》中，笛卡爾說出了他對數(shù)學的看法，闡述了一個大膽的，對后世產(chǎn)生了重要影響的思想：

“我發(fā)現(xiàn)在邏輯方面，三段論式和大部分其他法則只能用來向別人說明已知的東西，......，并不能求知未知的東西。......至于古代人的幾何和近代人的代數(shù)，都是只研究非常抽象，看來毫無用處的題材。此外，前者始終局限于考察圖形，直到把想象力累得疲憊不堪后才運用理解力；后者則一味地用規(guī)則和數(shù)字來約束，使人感覺晦澀枯燥，頭昏腦脹，卻得不到心靈的學問。正因為如此，我才要尋找另一種方法，包含這三種學問的長處，而沒有它們的短處”

笛卡爾在《方法論》的附錄《幾何學》中實踐了上述想法，他尋找的另一種方法就是解析幾何，通過解析幾何笛卡爾把傳統(tǒng)幾何與代數(shù)有機地結合起來了。《幾何學》共分三編，第一編的題目為“僅使用直線和圓的作圖問題”，討論如何利用尺規(guī)把算術問題轉化為幾何問題；第二編的題目為“曲線的性質”，在這一編，笛卡爾批判了傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖的方法，認為應當引入度量的方法來研究復雜的曲線，這樣，他發(fā)明了坐標系和解析幾何；第三編的題目為“立體及超立體問題的作圖”，討論高次方程的根與幾何作圖的關系，雖然笛卡爾對負數(shù)還不理解，比如他認定方程的負數(shù)根為假根，但在這一編他給出了三個重要的，對后來數(shù)學的發(fā)展影響深遠的概念：（1）n次方程有n個根；（2）代數(shù)基本定理的雛形，即如果a是方程f(x)=0的根，則x-a一定能夠整除f(x)；（3）方程可能會出現(xiàn)虛根。

下面，我們通過兩個例子來分析笛卡爾的幾何與歐幾里得幾何的差別，從而分析笛卡爾是如何發(fā)明解析幾何的。第一個例子：作圖求二次方程的根，考慮下面的二次方程

y²=ay+b²

y²=-ay+b²

y²=ay-b²

因為笛卡爾出版這部書是在韋達之后半個世界，因此他應當知道上面三種形式是有統(tǒng)一解的，可是笛卡爾希望用幾何作圖的方法給出方程的解，因此必須分別討論。比如第一種形式可以等價地得到

(y-a/2)²=a²/4+b²

進一步可以得到

y=a/2+√a²/4+b²

這樣，如圖（1）所示

令LM為b，NL為a/2且垂直于LM，延長MN至P使得NP的長等于a/2，則MP就是所求線段y。其他兩種形式的根可以類似地作圖得到。

然后，笛卡爾把問題推廣到四次方程

x⁴=ax²+b2

的形式，利用二次方程的結果可以作圖得到

x=√a/2+√a²/4+b²

我們看到，笛卡爾的心靈確實閃耀著理性的光芒，他已經(jīng)給出了現(xiàn)代代數(shù)學中“數(shù)域擴張”的雛形。

第二個例子就是所謂的“帕波斯問題”問題：

如圖（2）所示

有四條給定的直線AB，AD，EF和GH，求點C描出的軌跡，使得過點C 的四條線段CB，CD，CF和CH與給定直線成給定角時，CB與CF的積等于CD與CH的積。

由條件知道，這個軌跡中只有兩個自由變量。如果令A和B之間的線段為x，B和C之間的線段為y，利用條件就可以建立x和y之間的關系表達式，這是一個軌跡為橢圓的曲線方程。在這個過程中，笛卡爾明確地建立了坐標系，并利用這個坐標系討論了曲線的方程，雖然這個坐標系不是直角坐標系，但在后來的論述中，笛卡爾建立的坐標系大多數(shù)都是直角坐標系。

通過上面的兩個例子我們可以看到，歐幾里得幾何在本質上研究的是靜態(tài)的圖形，而笛卡爾幾何則考慮了圖形的運動，特別考慮了點的運動軌跡，并且用曲線來刻畫這樣的運動軌跡，這個變化是根本的，這個變化是現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)端。我們說過，觀察運動是需要參照物的，為了刻畫運動軌跡就必須借助坐標系，在這個意義上，隨著幾何學和代數(shù)學的發(fā)展，人們發(fā)明坐標系是必然的。